[더플러스수학] 2008학년도 성균관대 수시 과고전형 기출

[2008학년도 성균관대 수시2 문제]

$p$는 1보다 큰 양의 실수이다. 임의의 자연수 $n \geq 2$에 대하여 $I _ {p} ( n)$을 다음과 같이 정의한다.

$$I _ {p} ( n)= \frac {1} {2 ^ {p} } + \frac {1} {3 ^ {p} } + \cdots + \frac {1} {n ^ {p} }$$

(a) 다음 부등식이 성립함을 보여라.

$$I _ {p} ( n) \leq \frac {1} {p-1}$$

(b) 다음 부등식이 성립함을 보여라.

$$\sum\limits _ {k=2} ^ {\infty } I _ {k} ( n)I _ {k+1} ( n) \leq 1$$

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힌트

a) $f ( x)= \frac {1} {x ^ {p} }$의 그래프를 생각하자.

(b) (a)를 이용하자.