[더플러스수학] 2회-2020학년도 울산과고1학년 2학기 중간대비

 

1. $\displaystyle 0$이 아닌 세 실수 $\displaystyle a,~b,~c$와 양수 $\displaystyle x$가 다음 조건을 만족시킨다.

$$\displaystyle \frac {1} {ab} + \frac {1} {bc} + \frac {1} {ca} = \frac {3} {abc}$$

$$\displaystyle a\log _ {15} x=b\log _ {10} x=c\log _ {6} x=1$$

이 때 $\displaystyle \sqrt {x}$의 값을 구하시오. [$\displaystyle 8.0$점]

 

 

 

https://youtu.be/uhW-3hO2_SU

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle  {\sqrt {x} = \root {3} \of {30} }$

[풀이] $\displaystyle \frac {1} {ab} + \frac {1} {bc} + \frac {1} {ca} = \frac {3} {abc}$에서 양변에 $\displaystyle abc$를 곱하면 $\displaystyle a+b+c=3$ ……㉠

$\displaystyle a\log _ {15} x=b\log _ {10} x=c\log _ {6} x=1$

$\displaystyle a= \frac {1} {\log _ {15} x} =\log _ {x} 15$

$\displaystyle b=\log _ {x} 10$

$\displaystyle c=\log _ {x} 6$

㉠에 $\displaystyle a,~b,~c$를 대입하면

$\displaystyle \log _ {x} 15+\log _ {x} 10+\log _ {x} 6=\log _ {x} ( 15 \times 10 \times 6)=3$

$\displaystyle \log _ {x} 900=3$

$\displaystyle x ^ {3} =900$

$\displaystyle \left ( x ^ {3} \right ) ^ { \frac {1} {3} } =900 ^ { \frac {1} {3} }$

따라서 $\displaystyle x= \left ( 30 ^ {2} \right ) ^ { \frac {1} {3} } = \root {3} \of {30 ^ {2} }$

 

 

 

 

 

 

 

2. $\displaystyle x=\log _ {9} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right )$일 때, $\displaystyle 3 ^ {x} +3 ^ {-x}$의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [$\displaystyle 5$점]

 

 

 

 

https://youtu.be/1aLwfDQQnV4

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 2 \sqrt {2}$

[풀이] $\displaystyle x=\log _ {9} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right ) =\log _ {3} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right ) ^ { \frac {1} {2} }$

$\displaystyle \left ( 3 ^ {x} +3 ^ {-x} \right ) ^ {2}$$\displaystyle =3 ^ {2x} +3 ^ {-2x} +2$$\displaystyle =3 ^ {\log _ {3} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right )} +3 ^ {-\log _ {3} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right )} +2$$\displaystyle =3-2 \sqrt {2} + \frac {1} {3-2 \sqrt {2} } +2$$\displaystyle =3-2 \sqrt {2} +3+2 \sqrt {2} +2=8$

$\displaystyle \therefore ~3 ^ {x} +3 ^ {-x} =2 \sqrt {2}$, ($\displaystyle \because ~3 ^ {x} +3 ^ {-x} >0$)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 양수 $\displaystyle x,~y,~z$가 $\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =xy+yz+zx$를 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {5} ( \log _ {xyz} x ^ {7-2k} y ^ {3+k} z ^ {2+k} ) ^ {k-1}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle xyz \neq 1$)

[$\displaystyle 8.0$점]

 

 

 

 

https://youtu.be/r8Xm9hVTc-Y

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 341$

[풀이] $\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} -3xyz= ( x+y+z) ( x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} -xy-yz-zx)$

$\displaystyle \therefore ~~x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} =3xyz~ ( \because ~x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =xy+yz+zx)$

그런데 산술 ․ 기하평균에 의하면

$\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} \geq 3 \root {3} \of {x ^ {3} y ^ {3} z ^ {3} } =3xyz~ ( \because ~x,~y,~z>0)$

등호는 $\displaystyle x ^ {3} =y ^ {3} =z ^ {3}$일 때 성립하므로

$\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} =3xyz$ 이려면 $\displaystyle x=y=z$ 이어야 한다.

$\displaystyle \therefore ~~ \sum\limits _ {k=1} ^ {5} ( \log _ {xyz} x ^ {7-2k} y ^ {3+k} z ^ {2+k} ) ^ {k-1}$

$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {5} ( \log _ {x ^ {3} } x ^ {12} ) ^ {k-1} = \sum\limits _ {k=1} ^ {5} 4 ^ {k-1} =4 ^ {0} +4 ^ {1} + \cdots +4 ^ {4}$

$\displaystyle = \frac {4 ^ {0} ( 4 ^ {5} -1)} {4-1} = \frac {1024-1} {3} = \frac {1023} {3} =341$

 

 

 

 

 

 

 

4. $\displaystyle 100$의 모든 양의 약수들을 $\displaystyle a _ {1}$, $\displaystyle a _ {2}$, $\displaystyle a _ {3}$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle a _ {9}$라고 할 때, $\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \log _ {2} a _ {k}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \log _ {10} 2= 0.3$으로 계산한다.) [$\displaystyle 5$점]

 

 

 

https://youtu.be/c_y9sDu17g0

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle {30}$

[풀이] $\displaystyle 100=2 ^ {2} \times 5 ^ {2}$

	$\displaystyle 5 ^ {0}$	$\displaystyle 5 ^ {1}$	$\displaystyle 5 ^ {2}$
$\displaystyle 2 ^ {0}$	$\displaystyle 2 ^ {0} \times 5 ^ {0}$	$\displaystyle 2 ^ {0} \times 5 ^ {1}$	$\displaystyle 2 ^ {0} \times 5 ^ {2}$
$\displaystyle 2 ^ {1}$	$\displaystyle 2 ^ {1} \times 5 ^ {0}$	$\displaystyle 2 ^ {1} \times 5 ^ {1}$	$\displaystyle 2 ^ {1} \times 5 ^ {2}$
$\displaystyle 2 ^ {2}$	$\displaystyle 2 ^ {2} \times 5 ^ {0}$	$\displaystyle 2 ^ {2} \times 5 ^ {1}$	$\displaystyle 2 ^ {2} \times 5 ^ {2}$

$\displaystyle 100$의 모든 양의 약수의 곱은 $\displaystyle ( 2 ^ {0+1+2} ) ^ {3} \times ( 5 ^ {0+1+2} ) ^ {3} =2 ^ {9} \times 5 ^ {9}$

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \log _ {2} a _ {k}$$\displaystyle =\log _ {2} 2 ^ {9} \times 5 ^ {9} =\log _ {2} 10 ^ {9} =9\log _ {2} 10$$\displaystyle = \frac {9} {\log _ {10} 2} = \frac {9} {0.3} = \frac {90} {3} =30$

 

 

 

 

 

 

 

5. 수열$\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$의 $\displaystyle a _ {n} =2+\sin \frac {n \pi } {2}$일 때,

좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n  }$을 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n   } \left ( a _ { n  } \cos \frac {n \pi  } {3} ,~a _ { n  } \sin \frac {n \pi } {3} \right )$라 하자.

이 때, 다음 물음에 답하시오. [총 $\displaystyle 2$점]

(1) $\displaystyle a _ {1}$의 값을 구하시오. [$\displaystyle 1$점]

(2) 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $\displaystyle n$의 합을 구하시오.

(가) $\displaystyle n \leq 100$

(나) 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n }$은 원 $\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} =1$ 위의 점이고, 제 $\displaystyle 4$사분면에 있다.

 

 

 

https://youtu.be/JNs9NNj9zfI

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] (1) $\displaystyle 3$ (2) $\displaystyle 424$

[풀이] (1) $\displaystyle a _ {1} =2+\sin \frac {\pi } {2} =3$

(2)함수 $\displaystyle y=\sin \frac {\pi } {2} x$의 주기는 $\displaystyle \frac {2 \pi } { \frac {\pi } {2} } =4$이므로

$\displaystyle n=1,~2,~3, \cdots$일 때 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$의 각 항을 차례로 나열하면 $\displaystyle 3,~2,~1,~2$가 반복하여 나타난다.

한 편, $\displaystyle a _ {n} >0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n } \left ( a _ { n  } \cos \frac {n \pi } {3} ,~a _ { n  } \sin \frac {n \pi } {3} \right )$는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle a _ {n}$인 원 위의 점 중에서 동경 $\displaystyle \mathrm { OP} _ { n  }$이 나타내는 각의 크기가 $\displaystyle \frac {n \pi } {3}$인 점이다. (점 $\displaystyle \mathrm { O}$는 원점이다.)

 

이때 함수 $\displaystyle y=\cos \frac {\pi } {3} x$와 함수 $\displaystyle y=\sin \frac {\pi } {3} x$의 주기는 모두 $\displaystyle \frac {2 \pi } { \frac {\pi } {3} } =6$이므로 $\displaystyle n=1,~2,~3,~ \cdots$일 때 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n  }$이 속하는 사분면 또는 좌표축을 차례로 나열하면 제$\displaystyle 1$사분면, 제$\displaystyle 2$사분면, $\displaystyle x$축, 제$\displaystyle 3$사분면, $\displaystyle x$축이 반복되어 나타난다. 따라서 조건(나)를 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 11$이고, $\displaystyle 4$와 $\displaystyle 6$의 최소공배수는 $\displaystyle 12$이므로 조건 (나)를 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$을 차례로 나열하면 첫째항이 $\displaystyle 11$이고 공차가 $\displaystyle 12$인 등차수열을 이룬다.

이 등차수열을 $\displaystyle \left\{ b _ {k} \right\}$라 하면

$\displaystyle b _ {k} =11+ ( k-1) \times 12=12k-1$이다.

따라서 수열 $\displaystyle \left\{ b _ {k} \right\}$의 항 중 $\displaystyle 100$이하인 항들의 합은

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {8} ( 12k-1)=12 \sum\limits _ {k=1} ^ {8} k-8$

$\displaystyle =12 \times \left ( \frac {8 \times 9} {2} \right ) -8$

$\displaystyle =424$

 

 

 

 

 

 

 

 

6. 함수 $\displaystyle f ( x)=-\sin 2 \pi x ( x \geq 0)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=- \frac {\sqrt {3} } {3}$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 작은 것부터 차례로 $\displaystyle \alpha ,~ \beta ,~ \gamma$라 할 때, $\displaystyle f ( \alpha + \beta + \gamma ) \times f \left ( \alpha + \beta + \frac {1} {3} \right )$의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[$\displaystyle 7.0$점]

 

 

 

https://youtu.be/ZD7yLX6pZ48

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {1} {2}$

[풀이]

우선 $\displaystyle \alpha ,~ \beta$는 $\displaystyle x= \frac {1} {4}$에 대해 대칭이므로 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac {1} {2}$를 만족한다.

그러므로

$\displaystyle f ( \alpha + \beta + \gamma ) \times f \left ( \alpha + \beta + \frac {1} {3} \right )$$\displaystyle =$$\displaystyle f \left ( \frac {1} {2} + \gamma \right ) \times f \left ( \frac {5} {6} \right )$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{ -\sin 2 \pi \left ( \frac {1} {2} + \gamma \right ) \right\} \times \left ( -\sin \frac {5} {3} \pi \right )$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{ -\sin \left ( \pi +2 \pi \gamma \right ) \right\} \times \left\{ - \left ( - \frac {\sqrt {3} } {2} \right ) \right\}$$\displaystyle =$$\displaystyle \left ( \sin 2 \pi \gamma \right ) \times \frac {\sqrt {3} } {2}$$\displaystyle =$$\displaystyle \frac {\sqrt {3} } {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2}$$\displaystyle =$$\displaystyle \frac {1} {2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. 이차방정식 $\displaystyle x ^ {2} -3x+1=0$의 두 근 $\displaystyle \alpha ,~ \beta$에 대하여

$\displaystyle \left ( 1- \frac {1} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {1} {\beta } \right ) + \left ( 1- \frac {2} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {2} {\beta } \right ) + \cdots + \left ( 1- \frac {9} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {9} {\beta } \right )$의 값을 구하시오. [$\displaystyle 6$점]

 

 

 

https://youtu.be/tGyAsZ5TcaI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 159$

[풀이] 이차방정식 $\displaystyle x ^ {2} -3x+1=0$의 두 근의 합은 $\displaystyle \alpha + \beta =3$이고 두 근의 곱은 $\displaystyle \alpha \beta =1$이 된다.

주어진 식 $\displaystyle \left ( 1- \frac {1} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {1} {\beta } \right ) + \left ( 1- \frac {2} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {2} {\beta } \right ) + \cdots + \left ( 1- \frac {9} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {9} {\beta } \right )$을 수열의 합으로 정리하면

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \left ( 1- \frac {k} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {k} {\beta } \right ) = \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \frac {1} {\alpha \beta } \left ( \alpha -k \right ) \left ( \beta -k \right )$

$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \left ( k ^ {2} -3k+1 \right ) = \frac {9 \times 10 \times 19} {6} -3 \frac {9 \times 10} {2} +9$

이므로 정답은 $\displaystyle 159$가 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. 모든 항이 양수인 등비수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$이

$\displaystyle a _ {10} =8a _ {4}$ , $\displaystyle a _ {3} +a _ {7} =10$

을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _ {n=1} ^ {8} \frac {a _ {n+1} -a _ {n} } { ( a _ {n} +1) ( a _ {n+1} +1)} = \frac {q} {p}$이다.

이 때, $\displaystyle p+q$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$는 서로소인 자연수) [$\displaystyle 5$점]

 

 

 

 

https://youtu.be/nH2t7Va9oII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle  {49}$

[풀이] 등비수열의 일반항 $\displaystyle a _ {n} =ar ^ {n-1}$이므로

$\displaystyle ar ^ {9} =8 \times ar ^ {3}$ $\displaystyle r ^ {6} =8$ $\displaystyle \therefore ~r= \sqrt {2}$

$\displaystyle ar ^ {2} +ar ^ {6} =2a+8a=10a=10$ $\displaystyle \therefore ~a=1$

$\displaystyle \therefore ~a _ {n} = ( \sqrt {2} ) ^ {n-1}$

$\displaystyle \sum\limits _ {n=1} ^ {8} \frac {a _ {n+1} -a _ {n} } { ( a _ {n} +1) ( a _ {n+1} +1)}$

$\displaystyle = \sum\limits _ {n=1} ^ {8} \left ( \frac {1} {a _ {n} +1} - \frac {1} {a _ {n+1} +1} \right )$

$\displaystyle = \frac {1} {a _ {1} +1} - \frac {1} {a _ {2} +1} + \frac {1} {a _ {2} +1} - \frac {1} {a _ {3} +1}$$\displaystyle + \cdots + \frac {1} {a _ {8} +1} - \frac {1} {a _ {9} +1}$

$\displaystyle = \frac {1} {1+1} - \frac {1} {16+1} = \frac {1} {2} - \frac {1} {17} = \frac {15} {34}$

$\displaystyle 34+15=49$

 

 

 

 

 

 

 

 

9. $\displaystyle n \geq 2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [$\displaystyle 8$점]

$\displaystyle ( 1+2+3+ \cdots +n) \left ( 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) >n ^ {2}$

 

 

 

 

https://youtu.be/TMyb-swkZUk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] 풀이참조

[풀이] $\displaystyle 1+2+3+ \cdots +n= \frac {n ( n+1)} {2}$이므로 주어진 식의 양변을 $\displaystyle \frac {n ( n+1)} {2}$로 나누면

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} > \frac {2n} {n+1} \cdots$㉠

$\displaystyle n \geq 2$ 인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여

ⅰ) $\displaystyle n=2$ 일 때

(좌변) $\displaystyle =1+ \frac {1} {2} = \frac {3} {2}$ (우변) $\displaystyle = \frac {4} {3}$이므로 ㉠이 성립한다.

ⅱ) $\displaystyle n=k ( k \geq 2)$일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {k} > \frac {2k} {k+1} \cdots$㉡ 이고

㉡의 양변에 $\displaystyle \frac {1} {k+1}$을 더하면

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {k} + \frac {1} {k+1} > \frac {2k+1} {k+1}$

한편 $\displaystyle \frac {2k+1} {k+1} - \frac {2 ( k+1)} {k+2} = \frac {k} { ( k+1) ( k+2)} >0$ 이므로

$\displaystyle \frac {2k+1} {k+1} > \frac {2 ( k+1)} {k+2}$ 이고,

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {k} + \frac {1} {k+1} > \frac {2 ( k+1)} {k+2}$이다.

따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 ㉠이 성립한다.

ⅰ), ⅱ) 에 의하여 $\displaystyle n \geq 2$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 ㉠이 성립하므로

주어진 부등식도 성립한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. 이차함수 $\displaystyle y=x ^ {2} -2x \cos \theta +\sin ^ {2} \theta$의 그래프의 꼭짓점이 $\displaystyle y>x$을 만족하도록 하는 $\displaystyle \theta$의 값의 범위는 $\displaystyle \alpha < \theta < \beta$이다. 이때, $\displaystyle \tan ( \alpha + \beta )$의 값을 구하는 풀이과정을 쓰고, 답을 구하시오. $\displaystyle \left ( 단,~0 \leq \theta < \frac {\pi } {2} \right )$ [$\displaystyle 5.0$점]

 

 

 

 

 

https://youtu.be/pPo0a1BRJd0

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] 서술형 $\displaystyle 2$. $\displaystyle - \frac {\sqrt {3} } {3}$

[풀이] 주어진 함수의 꼭짓점을 구하면

$\displaystyle y=x ^ {2} -2x\cos \theta +\sin ^ {2} \theta$$\displaystyle = ( x-\cos \theta ) ^ {2} + ( \sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta )$으로

꼭짓점은 $\displaystyle ( \cos \theta ,~\sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta )$이다.

그런데 꼭짓점이 $\displaystyle y=x$ 윗 부분에 있어야 하므로

$\displaystyle \cos \theta <\sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta$이어야 한다.

$\displaystyle \cos \theta <\sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta$을 정리하면

$\displaystyle 1-\cos ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta -\cos \theta >0$

$\displaystyle 2\cos ^ {2} \theta +\cos \theta -1<0$

$\displaystyle ( 2\cos \theta -1) ( \cos \theta +1)<0$

∴ $\displaystyle -1<\cos \theta < \frac {1} {2}$

단, $\displaystyle 0 \leq \theta < \frac {\pi } {2}$에서 $\displaystyle \cos \theta$의 범위는 $\displaystyle 0<\cos \theta < \frac {1} {2}$이므로

$\displaystyle 60 ^{\circ } < \theta <90 ^{\circ }$이다.

따라서 $\displaystyle \alpha =60 ^{\circ } ,~ \beta =90 ^{\circ }$이므로 $\displaystyle \alpha + \beta =60 ^{\circ } +90 ^{\circ } =150 ^{\circ }$

$\displaystyle \tan ( \alpha + \beta )=\tan 150 ^{\circ } =\tan ( \pi -30 ^{\circ } )= -\tan 30 ^{\circ }$

$\displaystyle = - \frac {1} {\sqrt {3} }$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. $\displaystyle 0 \leq x<2 \pi$에서 방정식 $\displaystyle \log _ {\cos x} \left ( \frac {1} {2} \sin x+ \frac {1} {2} \right ) =2$의 해를 구하고, 각각의 조건과 그 과정을 서술하시오. [$\displaystyle 8.0$점]

 

 

 

 

https://youtu.be/ZdphAdhHbMk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {\pi } {6}$, 해설 참조

[풀이] 먼저 로그의 조건으로 $\displaystyle \cos x>0$이고 $\displaystyle \cos x not= 1$이다.

그러므로 $\displaystyle 0<x< \frac {\pi } {2} ~or~ \frac {3} {2} \pi <x<2 \pi$

$\displaystyle \log _ {\cos x} \left ( \frac {1} {2} \sin x+ \frac {1} {2} \right ) =\log _ {\cos x} \left ( \cos x \right ) ^ {2}$이므로

$\displaystyle \frac {1} {2}  \sin x+ \frac {1} {2} = \left ( \cos x \right ) ^ {2}$

$\displaystyle \sin x+1=2 \left ( 1-\sin ^ {2} x) \right .$

$\displaystyle 2\sin ^ {2} x+\sin x-1=0$

$\displaystyle \sin x= -1~or~ \frac {1} {2}$

$\displaystyle x= \frac {3} {2} \pi ,~ \frac {\pi } {6} ,~ \frac {5} {6} \pi$

그런데 조건에 맞는 범위에서 해당되는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \frac {\pi } {6}$

 

 

 

 

 

 

 

12. 정수 $\displaystyle n$에 대하여 함수 $\displaystyle f ( n)$을

$\displaystyle f ( n)=\sin \left ( \frac {n \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right )$

로 정의할 때,

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \log _ {2} \left | f ( 2k) \right | + \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \sqrt {3} f ( 2k-1)$의 값을 구하시오. [$\displaystyle 8$점]

 

 

 

https://youtu.be/CqZm3YZFez4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle - \frac {27} {2}$

[풀이] $\displaystyle f ( 2k)=\sin \left ( k \pi + \frac {\pi } {6} \right )$이므로

$\displaystyle f ( 2)=\sin \left ( \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =-\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {1} {2}$

$\displaystyle f ( 4)=\sin \left ( 2 \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {1} {2}$

$\displaystyle f ( 6)=\sin \left ( 3 \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =-\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {1} {2}$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle f ( 30)=\sin \left ( 15 \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =-\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {1} {2}$

$\displaystyle \therefore ~ \sum\limits _ {k \rightarrow 1} ^ {15} \log _ {2} |f ( 2k)|$

$\displaystyle =\log _ {2} \left | - \frac {1} {2} \right | +\log _ {2} \left | \frac {1} {2} \right | + \cdots +\log _ {2} \left | - \frac {1} {2} \right | =-15$

$\displaystyle f ( 2k-1)=\sin \left ( \frac {2k-1} {2} + \frac {\pi } {6} \right )$ 이므로

$\displaystyle f ( 1)=\sin \left ( \frac {\pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {\sqrt {3} } {2}$

$\displaystyle f ( 3)=\sin \left ( \frac {3 \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =-\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {\sqrt {3} } {2}$

$\displaystyle f ( 5)=\sin \left ( \frac {5 \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {\sqrt {3} } {2}$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle f ( 29)=\sin \left ( \frac {29 \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {\sqrt {3} } {2}$

$\displaystyle \therefore ~ \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \sqrt {3} f ( 2k-1)$

$\displaystyle = \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} - \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} + \cdots + \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} = \frac {3} {2}$

$\displaystyle \therefore ~ \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \log _ {2} \left | f ( 2k) \right | + \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \sqrt {3} f ( 2k-1)=-15+ \frac {3} {2} =- \frac {27} {2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \log x$의 소수 부분을 $\displaystyle f ( x)$라고 하자.

다음 조건을 만족시키는 모든 양수 $\displaystyle x$의 곱을 $\displaystyle 10 ^ { \frac {q} {p} }$라고 할 때, $\displaystyle p+q$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$는 서로소인 자연수이다.) [9점]

(가) $\displaystyle 10 \leq x<100$

(나) $\displaystyle f ( x ^ {3} )=f ( x)$

 

 

 

https://youtu.be/NSz_Df5CT5k

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] 풀이 참조

[풀이] 조건 (가)에 의해 $\displaystyle 1 \leq \log x < 2$이므로 $\displaystyle \log x=1+ \alpha ~ ( 0 \leq \alpha <1)$으로 나타낼 수 있고 $\displaystyle f ( x)= \alpha$이다.

$\displaystyle \log x ^ {3} =3\log x=3+3 \alpha$의 소수 부분은

ⅰ) $\displaystyle 0 \leq 3 \alpha <1$일 때, $\displaystyle f ( x ^ {3} )=3 \alpha$이므로 $\displaystyle 3 \alpha = \alpha ~ \rightarrow ~ \alpha =0$

ⅱ) $\displaystyle 1 \leq 3 \alpha <2$일 때, $\displaystyle f ( x ^ {3} )=3 \alpha -1$이므로 +$\displaystyle 3 \alpha -1= \alpha ~ \rightarrow ~ \alpha = \frac {1} {2}$

ⅲ) $\displaystyle 2 \leq 3 \alpha <3$일 때, $\displaystyle f ( x ^ {3} )=3 \alpha -2$이므로 $\displaystyle 3 \alpha -2= \alpha ~ \rightarrow ~ \alpha =1$$\displaystyle 0 \leq \alpha <1$이므로 $\displaystyle \alpha =0$ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac {1} {2}$이다.

따라서 $\displaystyle \log x=1$ 또는 $\displaystyle \log x=1+ \frac {1} {2}$이므로 $\displaystyle x=10$ 또는 $\displaystyle x=10 ^ { \frac {3} {2} }$

모든 양수 $\displaystyle x$의 곱은 $\displaystyle 10 \times 10 ^ { \frac {3} {2} } =10 ^ { \frac {5} {2} }$이다.

$\displaystyle \therefore ~p+q=7$

 

 

 

 

 

 

 

14. 아래 그림은 함수 $\displaystyle f ( x)=a\sin ( bx-c \pi )+d$의 그래프의 일부이다.

 

(1) $\displaystyle a+b+c+d$의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

(단, $\displaystyle a>0,~b>0,~0<c<2 \pi$이다.) [$\displaystyle 5.0$점]

 

(2) 위의 그림과 같이 함수 $\displaystyle y=f ( x)$의 그래프가 $\displaystyle y= \pi$와 만나는 점의 양의 $\displaystyle x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $\displaystyle n$번째 수를 $\displaystyle a _ {n}$이라 하자. $\displaystyle f ( a _ {1} +a _ {2} +a _ {3} )$의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[$\displaystyle 3.0$점]

 

 

 

 

https://youtu.be/xnRjyDfcdbE

 

 

 

 

*해설: [정답] (1) $\displaystyle \frac {15} {2}$ (2) $\displaystyle \pi$

[풀이] (1) 주어진 함수의 최댓값은 $\displaystyle 4$, 최솟값은 $\displaystyle 0$이므로 $\displaystyle a=2,~d=2$이다.

주기는 $\displaystyle \pi$이므로 $\displaystyle b=2$,

또한 $\displaystyle y=f ( x)$는 $\displaystyle y=2\sin 2x+2$의 그래프를 $\displaystyle x$축의 양의 방향으로 $\displaystyle \frac {3} {4} \pi$만큼 평행이동 시킨 그래프이므로

$\displaystyle f ( x)=2\sin 2 \left ( x- \frac {3} {4} \pi \right ) +2$

따라서 $\displaystyle c= \frac {3} {2}$

$\displaystyle \therefore ~a+b+c+d= \frac {15} {2}$

(2) 주어진 그래프에서 $\displaystyle a _ {2} +a _ {3} =2 \pi$이므로

$\displaystyle f ( a _ {1} +a _ {2} +a _ {3} )=f ( 2 \pi +a _ {1} )$이다.

한편 (1)에서 $\displaystyle y=f ( x)$는 주기가 $\displaystyle \pi$인 함수이므로

$\displaystyle f ( 2 \pi +a _ {1} )=f ( a _ {1} )$이므로

$\displaystyle f ( a _ {1} +a _ {2} +a _ {3} )=f ( a _ {1} )= \pi$이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. 함수 $\displaystyle f ( x)= ( 2\sin \theta -1)x ^ {2} +2 ( \cos \theta -\sin \theta )x-\cos \theta$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 오직 한 점에서만 만나도록 하는 $\displaystyle \theta$의 최댓값을 $\displaystyle M$, 최솟값을 $\displaystyle m$이라 하자. $\displaystyle M+m$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0 \leq \theta <4 \pi$) [$\displaystyle 5.0$점]

(답안지에 함수의 그래프를 그릴 필요 없음)

 

 

 

https://youtu.be/_ABB1QEhHPs

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {17 \pi } {6}$

[풀이] 최고차항이 $\displaystyle 0$인지 모르므로 최고차항이 $\displaystyle 0$인 경우와 $\displaystyle 0$이 아닌 경우로 나누어 본다.

1) $\displaystyle 2\sin \theta -1=0$인 경우

$\displaystyle \sin \theta = \frac {1} {2}$, $\displaystyle \theta = \frac {\pi } {6} ,~ \frac {5 \pi } {6} ,~ \frac {13 \pi } {6} ,~ \frac {17 \pi } {6}$

이 때 $\displaystyle \cos \theta = \frac {\sqrt {3} } {2} ,~- \frac {\sqrt {3} } {2}$이므로

$\displaystyle f ( x)= \left ( \pm \frac {\sqrt {3} } {2} - \frac {1} {2} \right ) x -+ \frac {\sqrt {3} } {2}$

일차함수이므로 반드시 $\displaystyle x$축과 오직 한 점에서 만난다.

2) $\displaystyle 2\sin \theta -1 not= 0$인 경우

$\displaystyle f ( x)$는 이차함수이므로 $\displaystyle D=0$이 된다.

$\displaystyle D/4= ( \cos \theta -\sin \theta ) ^ {2} +\cos \theta ( 2\sin \theta -1)$

$\displaystyle =\cos ^ {2} \theta -2\sin \theta \cos \theta +\sin ^ {2} \theta +2\sin \theta \cos \theta -\cos \theta$

$\displaystyle =\cos ^ {2} \theta +\sin ^ {2} \theta -\cos \theta$

$\displaystyle =1-\cos \theta =0$

그러므로 $\displaystyle \cos \theta =1$

$\displaystyle \theta =0,~2 \pi$

따라서 $\displaystyle \theta =0,~ \frac {\pi } {6} ,~ \frac {5 \pi } {6} ,~2 \pi ,~ \frac {13 \pi } {6} ,~ \frac {17 \pi } {6}$

$\displaystyle M= \frac {17 \pi } {6} ,~m=0$

$\displaystyle M+m= \frac {17 \pi } {6}$

 

 

 

 

 

 

 

16. 함수 $\displaystyle f ( x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle 0 \leq x \leq 1$일 때, $\displaystyle f ( x)=x$이다.

(나) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f ( 1-x)=f ( 1+x)$이다.

(다) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f ( x)=f ( -x)$이다.

$\displaystyle n \geq 2$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle x$에 대한 방정식 $\displaystyle f ( x)- \frac {1} {\log _ {2} n} = \frac {x} {\log _ {2} n}$의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle a _ {n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _ {n=2} ^ {100} a _ {n}$의 값을 구하시오. [$\displaystyle 5.0$점]

 

 

 

 

https://youtu.be/zTUuRHZYor4

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 534$

[풀이] $\displaystyle f ( x)= \frac {x} {\log _ {2} n} + \frac {1} {\log _ {2} n}$의 서로 다른 근의 개수는

$\displaystyle y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} n} ( x+1)$ 두 함수의 교점의 개수와 같다.

$\displaystyle y=f ( x)$의 그래프는 아래와 같고, $\displaystyle y= \frac {1} {\log _ {2} n} ( x+1)$는 항상 $\displaystyle ( -1,~0)$을 지나므로

 

$\displaystyle n=2,~y=f ( x),~y=x+1,~a _ {2} =1$

$\displaystyle n=3,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 3} ( x+1),~a _ {3} =1$

$\displaystyle n=4,~y=f ( x),~y= \frac {1} {2} ( x+1),~a _ {4} =2$

$\displaystyle n=5,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 5} ( x+1),~a _ {5} =3$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle n=8,~y=f ( x),~y= \frac {1} {3} ( x+1),~a _ {8} =3$

$\displaystyle n=9,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 9} ( x+1),~a _ {9} =3$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle n=15,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 15} ( x+1),~a _ {15} =3$

$\displaystyle n=16,~y=f ( x),~y= \frac {1} {4} ( x+1),~a _ {16} =4$

$\displaystyle n=17,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 17} ( x+1),~a _ {17} =5$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle n=63,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 63} ( x+1),~a _ {63} =5$

$\displaystyle n=64,~y=f ( x),~y= \frac {1} {6} ( x+1),~a _ {64} =6$

$\displaystyle n=65,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 65} ( x+1),~a _ {65} =7$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle n=100,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 100} ( x+1),~a _ {100} =7$

$\displaystyle \sum\limits _ {n=2} ^ {100} a _ {n} =1 \times 2+2+3 \times 11+4+5 \times 47+6+7 \times 36=534$

 

 

 

 

 

 

 

 

17. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 수열의 합 $\displaystyle S _ {n}$을 $\displaystyle n$에 관한 다항식으로 나타내는 과정과 정답을 서술하시오. [$\displaystyle 7$점]

$\displaystyle S _ {n}$$\displaystyle = \left ( 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} \right )$$\displaystyle +2 \left ( \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \cdots + \frac {1} {n} \right )$ $\displaystyle +3 \left ( \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \frac {1} {5} + \cdots + \frac {1} {n} \right )$$\displaystyle + \cdots +n \left ( \frac {1} {n} \right )$

 

 

 

 

https://youtu.be/Gjcc8kwKImw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle S _ {n}$$\displaystyle = \frac {n ( n+3)} {4}$

[풀이] $\displaystyle S _ {n}$$\displaystyle = \left ( 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} \right )$ $\displaystyle +2 \left ( \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \cdots + \frac {1} {n} \right )$ $\displaystyle +3 \left ( \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \frac {1} {5} + \cdots + \frac {1} {n} \right )$$\displaystyle + \cdots +n \left ( \frac {1} {n} \right )$$\displaystyle =1 \cdot 1+ \frac {1} {2} \left ( 1+2 \right ) + \frac {1} {3} \left ( 1+2+3 \right )$ $\displaystyle + \cdots + \frac {1} {n} ( 1+2+ \cdots +n)$$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {1} {k} \cdot \frac {k ( k+1)} {2}$$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {k+1} {2}$$\displaystyle = \frac {1} {2} \left ( \frac {n ( n+1)} {2} +n \right )$$\displaystyle = \frac {n ( n+3)} {4}$

$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle S _ {n}$$\displaystyle = \frac {n ( n+3)} {4}$

 

 

 

 

 

 

 

 

18. $\displaystyle \left [ \log _ {5} \frac {1} {5} \right ] + \left [ \log _ {5} \frac {1} {6} \right ] + \left [ \log _ {5} \frac {1} {7} \right ] + \cdots + \left [ \log _ {5} \frac {1} {100} \right ]$

의 값을 구하는 풀이과정을 서술하고 답을 구하시오.

(단, $\displaystyle \left [ x \right ]$는 $\displaystyle x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [$\displaystyle 8.0$점]

 

 

 

 

 

https://youtu.be/TjNa8TRXecI

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle -266$

[풀이] $\displaystyle \left [ \log _ {5} \frac {1} {n} \right ] =k$

$\displaystyle \Leftrightarrow k \leq \log _ {5} \frac {1} {n} <k+1$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5 ^ {k} \leq \frac {1} {n} <5 ^ {k+1}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5 ^ {-k-1} <n \leq 5 ^ {-k}$

$\displaystyle k=-1,~1<n \leq 5~~ \therefore ~n=5$

$\displaystyle k=-2,~5<n \leq 5 ^ {2} ~~\therefore~n=6,~ \cdots ,~25$

$\displaystyle k=-3,~5 ^ {2} <n \leq 5 ^ {3} ~~\therefore~n=26,~ \cdots ,~100$

$\displaystyle \Rightarrow \left [ \log _ {5} \frac {1} {5} \right ] + \left [ \log _ {5} \frac {1} {6} \right ] + \cdots + \left [ \log _ {5} \frac {1} {100} \right ]$

$\displaystyle =-1 \times 1+ \left ( -2 \right ) \times 20+ \left ( -3 \right ) \times \left ( 75 \right )$

$\displaystyle =-1-40-225$

$\displaystyle =-266$

 

 

 

 

 

 

 

 

19. 두 수 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle 30$사이에 $\displaystyle 8$개의 수를 넣어서 첫째항이 $\displaystyle 2$이고, 제 $\displaystyle 10$항이 $\displaystyle 30$인 등비수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$, $\displaystyle \left\{ \frac {1} {a _ {n} } \right\}$의 첫째항부터 제 $\displaystyle 10$항까지의 합을 각각 $\displaystyle S,~T$라 하자. [$\displaystyle 40$점]

(1) 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$의 $\displaystyle S=a _ {1} +a _ {2} + \cdots ＋a _ {10}$ 를 구하여라. [$\displaystyle 15$점]

(2) 수열 $\displaystyle \left\{ \frac {1} {a _ {n} } \right\}$의 $\displaystyle T= \frac {1} {a _ {1} } + \frac {1} {a _ {2} } ＋ \cdots + \frac {1} {a _ {10} }$를 구하여라.[$\displaystyle 10$점]

(3) $\displaystyle \frac {T} {S} = \frac {q} {p}$일 때, $\displaystyle p+q$의 값을 구하여라.[$\displaystyle 15$점]

$\displaystyle ($단, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 서로소인 자연수이다.$\displaystyle )$

 

 

 

 

https://youtu.be/LjPUG0Fk-7A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] (1) $\displaystyle \frac {2 ( r ^ {10} -1)} {r-1}$ (2) $\displaystyle T= \frac {r ^ {10} -1} {2r ^ {9} ( r-1)}$ (3) $\displaystyle 61$

[풀이] $\displaystyle 2,~a _ {2} ,~a _ {3} ,~ \cdots ,~a _ {9} ,~30$이고,

$\displaystyle 2,~2r,~2r ^ {2} ,~ \cdots ,~2r ^ {9}$이므로

(1) $\displaystyle S=2+2r+2r ^ {2} + \cdots +2r ^ {9} = \frac {2 ( r ^ {10} -1)} {r-1}$

(2) $\displaystyle T= \frac {1} {2} + \frac {1} {2r} + \frac {1} {2r ^ {2} } + \cdots + \frac {1} {2r ^ {9} } = \frac { \frac {1} {2} \left\{ 1- \left ( \frac {1} {r} \right ) ^ {10} \right\} } {1- \frac {1} {r} }$을 정리하면

$\displaystyle T= \frac {r ^ {10} -1} {2r ^ {9} ( r-1)}$

(3) $\displaystyle \frac {T} {S} =$$\displaystyle \frac { \frac {r ^ {10} -1} {2r ^ {9} ( r-1)} } { \frac {2 ( r ^ {10} -1)} {r-1} } = \frac {1} {4r ^ {9} }$이고

$\displaystyle 2r ^ {9} =30$이므로 $\displaystyle r ^ {9} =15$이므로

$\displaystyle \frac {T} {S} = \frac {1} {60} = \frac {q} {p}$이므로 $\displaystyle p+q=61$

 

 

 

 

 

 

 

20. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f \left ( n \right ) = \frac {1} {n+ \sqrt {n} }$이라 할 때,

$$\displaystyle f \left ( 4 \right ) +f \left ( 9 \right ) +f \left ( 16 \right ) + \cdots +f \left ( 400 \right )$$

의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [$\displaystyle 6$점]

 

 

 

https://youtu.be/5XbtpqSkmI4

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {19} {42}$

[풀이]

$\displaystyle \begin{align} f \left ( n \right ) & = \frac {1} {n+ \sqrt {n} } = \frac {1} {\sqrt {n} \left ( \sqrt {n} +1 \right )} \\& = \frac {1} {\sqrt {n} +1- \sqrt {n} } \left ( \frac {1} {\sqrt {n} } - \frac {1} {\sqrt {n} +1} \right ) \\& = \frac {1} {\sqrt {n} } - \frac {1} {\sqrt {n} +1} \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} &f \left ( 4 \right ) +f \left ( 9 \right ) +f \left ( 16 \right ) + \cdots +f \left ( 400 \right ) \\ & = \left ( \frac {1} {2} - \frac {1} {3} \right ) + \left ( \frac {1} {3} - \frac {1} {4} \right ) + \left ( \frac {1} {4} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \left ( \frac {1} {20} - \frac {1} {21} \right ) \\&= \frac {1} {2} - \frac {1} {21} = \frac {19} {42} \end{align}$