[더플러스수학] [1회] 2020학년도 과고1학년 2학기 중간대비

☞ 답안지에 학년, 계열, 반, 번호, 이름을 표기하고 해당란에 바르게 ●표한 후 답안을 작성하시오. 답안지에는 정답 외의 예비마킹을 하지 않도록 주의 바랍니다.

 

1. $$\displaystyle 6\sin ^ {2} \theta -\sin \theta \cos \theta -2\cos ^ {2} \theta =0 $$일 때, $\displaystyle \sin \theta $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \frac {\pi } {2} < \theta < \pi $) [4.3점] [2008 과고1 1학기 기말 11 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle \frac {1} {\sqrt {5} } $

 

 

 

 

 

 

 

2. $\displaystyle \frac {\sin ( \pi + \theta )\tan ^ {2} ( \pi - \theta )} {\cos \left ( \frac {3} {2} \pi + \theta \right )} - \frac {\sin \left ( \frac {3 \pi } {2} - \theta \right )} {\sin \left ( \frac {\pi } {2} + \theta \right ) \cos ^ {2} \theta } $의 값을 간단히 하시오. [4.6 ] [2008 과고1 1학기 기말 12 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle 1 $

 

 

 

 

 

 

 

3. 이차함수 $\displaystyle f ( x)=x ^ {2} +2 ( \sin \theta -\cos \theta )x-4\sin \theta \cos \theta $의 꼭짓점을 $\displaystyle ( x,~y) $라 두자. 이 때, $\displaystyle \theta $의 변화에 따라 꼭짓점의 자취가 그리는 함수 $\displaystyle y=g ( x) $의 최댓값을 구하여라.[5.4점] [2008 과고1 1학기 기말 13]

 

 

 

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*해설: $\displaystyle 0 $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. 두 집합

$\displaystyle \mathrm { A}= \left\{ \left ( \frac {\sqrt {3} a} {2} +\cos \theta ,~ \frac {a} {2} -\sin \theta \right ) \left | \matrix{\!\\\!} a>0,~ \theta  \right . \right. $는 실수$\displaystyle \left. \matrix {\!\\\!} \right\} $,

$\displaystyle \mathrm { B}= \left\{ ( x,~y)|x ^ {2} +y ^ {2} =4 \right\} $에 대하여 $\displaystyle n ( \mathrm { A \cap B})=2 $가 될 양수 $\displaystyle a $의 범위를 구하여라.

[2008 과고1 1학기 기말 14 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle 1<a<3 $

 

 

 

 

 

 

 

5. 다음 등식을 증명하여라.[5점] [2008 과고1 1학기 기말 서술형3]

$$\displaystyle \frac {1+2\sin x\cos x} {\cos ^ {2} x-\sin ^ {2} x} = \frac {1+\tan x} {1-\tan x} $$

 

 

 

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*해설: $\displaystyle ( \sin \theta \pm \cos \theta ) ^ {2} =1\pm 2\sin \theta \cos \theta $임을 이용하자.

$\displaystyle \frac {1+2\sin x\cos x} {\cos ^ {2} x-\sin ^ {2} x} = \frac {\left ( \sin x+\cos x \right ) ^ {2} } {\cos ^ {2} x-\sin ^ {2} x} $$\displaystyle = \frac {\sin x+\cos x} {\cos x-\sin x} $

양변을 $\displaystyle \cos x $로 나누면

$\displaystyle \frac {1+ \frac {\sin x} {\cos x} } {1- \frac {\sin x} {\cos x} } = \frac {1+\tan x} {1-\tan x} $

 

 

 

 

 

 

 

6. $\displaystyle 0< \theta < \pi $인 각의 크기 $\displaystyle \theta $에 대하여 $\displaystyle \theta $의 동경과 $\displaystyle 7 \theta $의 동경이 $\displaystyle y $축에 대하여 대칭이 되는 $\displaystyle \theta $의 값을 모두 구하여라.[5점] [2008 과고1 1학기 기말 서술형4]

 

 

 

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*해설: $\displaystyle \frac {\pi } {8} ,~ \frac {3 \pi } {8} , \frac {5 \pi } {8} ,~ \frac {7 \pi } {8} $

 

 

 

7. 아래 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm { A,~B} $에서 만나는 반지름의 길이가 $\displaystyle r $인 두 원 $\displaystyle \mathrm { O,~O ' }$의 공통부분의 넓이가 원 $\displaystyle \mathrm { O }$의 넓이의 $\displaystyle \frac {1} {2} $일 때, $\displaystyle \mathrm { \angle AOB}= \frac {\pi } {2} + \theta $라 하면 $\displaystyle \theta =\cos \theta $임을 증명하여라. (단, $\displaystyle ( △ \mathrm { AOB $의 넓이$\displaystyle )= \frac {1} {2} \mathrm { \overline {OA} \cdot \overline {OB} \sin ( \angle AOB) }$) [2008 과고1 1학기 기말 서술형5]

 

 

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해설: 공통부분의 넓이는 (부채꼴$\displaystyle \mathrm { AOB} $-삼각형 $\displaystyle \mathrm { OAB} $)$\displaystyle \times 2 $이므로

$\displaystyle \pi r ^ {2} \times \frac {1} {2} $$\displaystyle = \frac {1} {2} r ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} + \theta \right ) - \frac {1} {2} r ^ {2} \sin \left ( \angle \mathrm { AOB} \right ) $$\displaystyle $ $\displaystyle = \frac {1} {2} r ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} + \theta \right ) - \frac {1} {2} r ^ {2} \sin \left ( \frac {\pi } {2} + \theta \right ) $$\displaystyle = \frac {1} {2} r ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} + \theta \right ) - \frac {1} {2} r ^ {2} \cos \left ( \theta \right ) $

$\displaystyle \therefore $$\displaystyle \theta =\cos \theta $

 

 

 

 

 

 

 

8. 다음과 같이 정의된 수열 $\displaystyle a _ {1} =1,~a _ {n+1} = \frac {3a _ {n} +2} {a _ {n} +2} $의 제 $\displaystyle 10 $항 $\displaystyle a _ {10} $의 값을 구하면 다음과 같은 형태의 기약분수이다.

자연수 $\displaystyle m,~n $과 정수 $\displaystyle a,~b $에 대하여 $\displaystyle \frac {2 ^ {n} +a} {2 ^ {m} +b} $이다.

이 때, $\displaystyle m+n+a+b $의 값을 구하여라.[2.9점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간2 주관식변형]

 

 

 

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*해설: $\displaystyle 39 $

$\displaystyle a _ {10} = \frac {2 ^ {20} -1} {2 ^ {19} +1} $

 

 

 

 

 

 

 

9. $\displaystyle u _ {1} =a,~u _ {n+1} = - \frac {1} {u _ {n} +1} $ ($\displaystyle n=1,~2,~3,~ \cdots $)으로 정의되는 수열이 있다. 임의의 양수 $\displaystyle a $에 대하여 $\displaystyle u _ {n} =a $가 되는 $\displaystyle 100 $이하의 자연수 $\displaystyle n $의 개수를 구하여라.[3.3점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간3 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle 34 $개

$\displaystyle 3n+1 $일 때 모두 $\displaystyle a $가 됨

 

 

https://youtu.be/pwHu0v_a0Ic (좋아요와 구독을...)

 

 

 

 

10. 다음 방정식을 풀어라.[2.5점]

$\displaystyle ( \sqrt {4+ \sqrt {15} } ) ^ {x} + ( \sqrt {4- \sqrt {15} } ) ^ {x} =8 $

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간13 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle \pm 2 $

 

 

 

 

 

11. $\displaystyle t>1 $인 임의의 실수 $\displaystyle t $에 대하여, 부등식 $\displaystyle k\log _ {2} t< ( \log _ {2} t) ^ {2} -\log _ {2} t+2 $가 성립하는 $\displaystyle k $의 범위를 구하여라.[2.9점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간14 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle k<-1+2 \sqrt {2} $

 

 

 

 

 

12. 직선 $\displaystyle \frac {x} {2} + \frac {y} {3} =c $가 곡선 $\displaystyle \logx+\logy=\log2+\log3 $에 접하도록 하는 상수 $\displaystyle c $의 값을 구하여라.[2.5점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간15 주관식변형]

 

 

 

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*해설: $\displaystyle 2 $

 

 

 

 

 

13. $\displaystyle 2 ^ {2x} -3 ^ {2y} =55 $이고 $\displaystyle x,~y $가 정수일 때, $\displaystyle x+y $의 값을 구하여라.[2.5점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간16 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle x=3,~y=1 $

 

 

 

 

 

 

14. $\displaystyle 1 $보다 큰 수 $\displaystyle x,~y,~z $가 $\displaystyle x ^ {xyz} =y ^ {2} ,~y ^ {xyz+1} =z ^ {3} ,~z ^ {xyz+2} =x ^ {4} $를 만족할 때, $\displaystyle ( x+y+z) ^ {3} $의 값을 구하여라.[3.4점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간17 주관식변형]

 

 

 

 

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*해설: $\displaystyle 54 $

$\displaystyle x=y=z= \root {3} \of {2} $

 

 

 

 

 

 

15. 실수 $\displaystyle x,~y,~z $사이에 $\displaystyle 2 ^ {x+1} +3 ^ {y} -5 ^ {z} =10,~2 ^ {x+3} +3 ^ {y} +5 ^ {z+1} =58 $인 관계가 있을 때, $\displaystyle 4 ^ {x} +3 ^ {y+1} +5 ^ {z} $의 최솟값을 구하여라.[3.3점]

[2011 과고1 심화수학 2학기 중간18 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle 37 $

$\displaystyle x=\log _ {2} 5 $, $\displaystyle y=1 $, $\displaystyle z=\log _ {5} 3 $

 

 

 

 

 

 

 

16. $\displaystyle f ( x)= \frac {a ^ {x} -a ^ {-x} } {a ^ {x} +a ^ {-x} } $(단, $\displaystyle a \neq 1,~a>0 $)에 있어서 $\displaystyle f ( x)= \frac {1} {2} $일 때, $\displaystyle f ( 2x) $의 값을 구하여라.[2.8점]

[2013 과고1 2학기 중간 3 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle \frac {4} {5} $

 

 

 

 

 

 

17. $\displaystyle a,~b,~c $는 양의 실수이고, $\displaystyle a ^ {x} =b ^ {y} =c ^ {z} =8 $, $\displaystyle \log _ {2} abc=6 $일 때, $\displaystyle \frac {1} {x} + \frac {1} {y} + \frac {1} {z} $의 값을 구하여라.[2.9점]

[2013 과고1 2학기 중간 4 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle 2 $

 

 

 

 

 

 

 

18. 세 집합 $\displaystyle X= \left\{ x|x>0 \right\} $, $\displaystyle Y= \left\{ y|y \right . $는 정수$\displaystyle \left . \right\} $, $\displaystyle Z= \left\{ z|0 \leq z<1 \right\} $에 대하여 두 함수 $\displaystyle f:X \rightarrow Y $, $\displaystyle g:X \rightarrow Z $가 다음을 만족한다.

집합 $\displaystyle X $의 임의의 원소 $\displaystyle x $에 대하여 $\displaystyle 10 ^ {f ( x)+g ( x)} =x $이다.

$\displaystyle f ( a)=3 $을 만족하는 양수 $\displaystyle a $에 대하여 $\displaystyle g ( a)+g ( \sqrt {a} )=1 $이 되는 $\displaystyle a $의 값을 구하면 상수 $\displaystyle p $에 대하여 $\displaystyle a=10 ^ {p} $이다. 이 때, $\displaystyle p $를 구하여라.[2.9점]

[2013 과고1 2학기 중간 6 주관식변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle \frac {10} {3} $

 

 

 

 

 

 

 

19. $\displaystyle a,~b $는 $\displaystyle 10 ^ {n} $ ($\displaystyle n $은 자연수)꼴의 수이고, $\displaystyle \log \frac {b} {a} = \frac {\logb} {\loga} $가 성립할 때, $\displaystyle ab $의 값을 구하면 $\displaystyle 10 ^ {\alpha } $이다. $\displaystyle \alpha $를 구하여라.[3점]

[2013 과고1 2학기 중간 7 주관식변형]

 

 

 

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*해설: $\displaystyle 6 $

 

 

 

 

 

 

20. 다음 두 조건을 모두 만족시키는 자연수 $\displaystyle n $의 개수를 구하시오.(단, $\displaystyle [x] $는 $\displaystyle x $보다 크지 않는 최대의 정수이다.)[5점]

[2013 과고1 2학기 중간 서술형1]

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(가) $\displaystyle n $은 $\displaystyle 100 $이하의 자연수이다.

(나) $\displaystyle \left [ \log4n \right ] =1+ \left [ \logn \right ] $

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*해설: $\displaystyle 82 $

 

 

 

 

 

 

21. $\displaystyle \mathrm { \overline {AB} = \overline {AC} }$인 이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm { ABC} $에서 $\displaystyle \mathrm { \angle A}=120 ^{\circ } $, $\displaystyle \mathrm { \overline {BC}} =4 $이고 변 $\displaystyle \mathrm { \overline {AC}} $ 위를 움직이는 점을 $\displaystyle \mathrm { P }$라고 하면 $\displaystyle \mathrm { \overline {BP} ^ {2} + \overline {CP} ^ {2} }$의 최솟값은?[2.8점]

[2013 과고1 2학기 중간 13 주관식변형]

 

 

 

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*해설: 10

 

 

 

 

22. 수직선 위에 놓인 두 점 $\displaystyle \mathrm { X} _ {0} ( a _ {0} ),~ \mathrm { X }_ {1} ( a _ {1} ) $에 대하여 $\displaystyle a _ {2} =2a _ {1} -a _ {0} $을 계산하여 점 $\displaystyle \mathrm { X }_ {2} ( a _ {2} ) $를 잡자. 또, $\displaystyle a _ {3} =2a _ {2} -a _ {1} $을 계산하여 $\displaystyle \mathrm { X}_ {3} ( a _ {3} ) $를 잡자. 이러한 과정을 점 $\displaystyle \mathrm { X }_ {100} ( a _ {100} ) $을 찾을 때까지 반복할 때, $\displaystyle a _ {100} $을 구하여라.(단, $\displaystyle a _ {0} =0,~a _ {1} = \frac {1} {20} $) [2.9점]

[2015 과고1 1학기 기말 12 서술형변형]

 

 

 

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*해설: 5

 

 

 

 

23. 첫째항부터 제 $\displaystyle n $항까지의 합 $\displaystyle S _ {n} $이 $\displaystyle S _ {n} =2n ^ {2} +3n $인 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 일반항 $\displaystyle a _ {n} $을 구하면 $\displaystyle a _ {n} = \alpha n+ \beta $이다. 이 때, $\displaystyle \alpha ^ {2} + \beta ^ {2} $의 값을 구하여라.[3점]

[2015 과고1 1학기 기말 18 서술형변형]

 

 

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*해설: 17

 

 

 

 

 

 

24. 등차수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 공차와 각 항이 $\displaystyle 0 $이 아닌 실수일 때, 방정식 $\displaystyle a _ {n+2} x ^ {2} +2a _ {n+1} x+a _ {n} =0 $의 한 근을 $\displaystyle b _ {n} $이라 하자. 이 때, 등차수열 $\displaystyle \left\{ \frac {3b _ {n} } {b _ {n} +1} \right\} $의 공차를 구하면 $\displaystyle \alpha $이다. 이 때, $\displaystyle 4 \alpha ^ {2} $의 값을 구하여라.(단, $\displaystyle b _ {n} \neq -1 $) [3점]

[2015 과고1 1학기 기말 21 서술형변형]

 

 

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*해설: 9

 

 

 

 

 

 

 

25. $\displaystyle a _ {n} = \frac {n} {2016} ,~f ( a _ {n} )= \frac {a _ {n} ^ {3} } {1-3a _ {n} +3a _ {n} ^ {2} } $이라 할 때, $\displaystyle f ( a _ {0} )+f ( a _ {1} )+f ( a _ {2} )+ \cdots +f ( a _ {2016} ) $의 값을 구하면 $\displaystyle \frac {\beta } {\alpha } $이다. 이 때, $\displaystyle \alpha + \beta $의 값을 구하여라.[3.1점]

[2015 과고1 1학기 기말 24 서술형변형]

 

 

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*해설: $\displaystyle 504 $

 

 

 

 

 

 

26. 실수 $\displaystyle x $의 소수부분을 기호 $\displaystyle <x> $로 표시한다. 실수 $\displaystyle a $에 대하여, 무한수열 $\displaystyle a _ {n} $ ($\displaystyle n=1,~2,~ \cdots $)을 다음과 같이 순차적으로 정한다.

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(가) $\displaystyle a _ {1} =<a> $

(나) $\displaystyle { \begin {cases} a _ {n} \neq 0일때,~a _ {n+1} = \left < \frac {1} {a _ {n} } \right >\\a _ {n} =0일때,~a _ {n+1} =0\end {cases} } $

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[2015 과고1 1학기 기말 서술형6]

(1) $\displaystyle a= \sqrt {2} $일 때, 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 일반항 $\displaystyle a _ {n} $을 구하여라.[1점]

(2) 임의의 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle a=a _ {n} $가 되도록 $\displaystyle \frac {1} {3} $이상의 실수 $\displaystyle a $를 구하여라.

 

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*해설: (1) $\displaystyle a _ {n} = \sqrt {2} -1 $

(2) $\displaystyle \frac {-1+ \sqrt {5} } {2} $, $\displaystyle -1+ \sqrt {2} $