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 2차곡선

1. 점 $\displaystyle \mathrm { P} \left ( 2,~a \right ) $에서 원 $\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} =1 $에 두 개의 접선을 긋고, 두 접점의 중점을 $\displaystyle \mathrm { Q} $라 한다. 점 $\displaystyle \mathrm { P }\left ( 2,~a \right ) $가 직선 $\displaystyle x=2 $ 위의 $\displaystyle y > 0 $인 부분을 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm { Q} $가 그리는 도형의 방정식을 구하여라.

풀이

풀이1)

위의 그림처럼 점들을 정의하자. 직선 $\displaystyle\mathrm{\overleftrightarrow{RS}}$의 그래프는 우리가 극선의 방정식(2019/12/13 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 이차곡선과 극선-1)이라 불리는 직선이다. 이 직선의 방정식은 $$\displaystyle \textcolor{red}{2}x+\textcolor{red}{a}y=1$$

이 직선은 $\displaystyle a >0$로 임의로 변할 때, 반드시 지나는 점은 $\displaystyle \left(\textcolor{red}{\frac{1}{2},~0}\right)$이다. 또, $\displaystyle \overline{\mathrm{RS}} \bot \overline{\mathrm{OQ}}$이므로 점 $\displaystyle Q$의 자취는 $\displaystyle(0,~0)$과 $\displaystyle \left( \frac{1}{2},~0\right)$을 지름의 양끝으로 하는 원이다. 또, $\displaystyle a>0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{ Q}$는 제 $\displaystyle 1$사분면에 있으므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 자취방정식은 $\displaystyle \left(x- \frac{1}{4}\right)^2 +y^2 = \frac{ 1}{16}$ ($\displaystyle x>0,~y>0$)

풀이2) 

직각삼각형 $\displaystyle \triangle \mathrm{ORP}$에서 닮음의 성질에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OR}^2 = \overline{OQ} \times \overline{OP}}$이므로

$\displaystyle 1^2 = \overline{\mathrm{OQ}} \times \sqrt{4+a^2}$

$\displaystyle \therefore~ \overline{\mathrm{OQ}}= \frac{1}{\sqrt{4+a^2}}$

또, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{1}{4+a^2}\overrightarrow{\mathrm{OP}} $이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{1}{4+a^2} \left(2,~a\right)$

벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} $의 자취를 구하기 위해 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} =  \left(x,~y\right)$라 두면

$\displaystyle \begin{align} &x= \frac{2}{4+a^2}\\&y= \frac{a}{4+a^2} \end{align}$ 

여기서 $\displaystyle a>0$임을 고려하여 $\displaystyle a$를 소거하면 $\displaystyle \left(x- \frac{1}{4}\right)^2 +y^2 = \frac{ 1}{16}$ ($\displaystyle x>0,~y>0$)

 

2. $\displaystyle t $에 관한 함수 $\displaystyle f ( t) $는 연속함수라 한다. 좌표평면에서 직선 $\displaystyle f \left ( k \right ) y+x+k=0 $이 모든 실수 $\displaystyle k $에 대하여 항상 일정한 점을 지날 필요충분조건은 $\displaystyle f \left ( t \right ) $가 $\displaystyle t $에 관한 일차함수임을 증명하여라.

풀이 

($\displaystyle \Leftarrow $) $\displaystyle f(t)=at+b ~(a \neq 0) $이라 두자.

이 식을 직선 $\displaystyle f \left ( k \right ) y+x+k=0 $에 대입하면

$\displaystyle (ak+b)y+x+k=0 $

직선 $\displaystyle k $에 대하여 내림차순 정리하면

$\displaystyle k(ay+1)+by+x=0 $

이 식에 $\displaystyle k $에 관계없이 성립하므로 $$\displaystyle ay+1=0,~by+x=0~~\therefore ~x= \frac{b}{a},~y=-\frac{1}{a} $$이다. 따라서 항상 점 $\displaystyle \left(\frac{b}{a},~- \frac{1}{a} \right) $를 지난다.

($\displaystyle \Rightarrow $) 직선 $\displaystyle f \left ( k \right ) y+x+k=0 $이 직선 $\displaystyle k$에 관계없이 항상 $\displaystyle \left( \textcolor{red}{\alpha,~\beta} \right)$를 지난다고 하자. 따라서 이 점 $\displaystyle \left( \textcolor{red}{\alpha,~\beta} \right)$을 직선 $\displaystyle f \left ( k \right ) y+x+k=0 $에 대입하면

$\displaystyle f \left ( k \right ) \beta +\alpha+k=0~\cdots\cdots~(\mathrm{i}) $

여기서 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle 0 $이 아니다. 왜냐하면 만약 $\displaystyle \beta=0$이라면 $\displaystyle (\mathrm{i}) $에 $\displaystyle \beta=0$를 대입하면

$\displaystyle f \left ( k \right ) \times 0  +\alpha+k=0,~~\alpha +k=0 $

이다. 이것은 임의의 $\displaystyle k $에 대하여 성립하는 $\displaystyle \alpha $가 존재하지 않기 때문이다.

따라서 $\displaystyle \beta \neq 0$

$\displaystyle (\mathrm{i})$에서 $\displaystyle \beta (\neq 0)$로 나누면 $\displaystyle f(k)$는

$\displaystyle f \left ( k \right )= \frac{-k-\alpha} {\beta}  $

여기서 $\displaystyle  k$는 임의의 실수이므로 $\displaystyle f \left ( k \right ) $는 일차함수이다.

 

 

3. $\displaystyle x $축에 평행으로 들어온 빛이 포물선 $\displaystyle x=y ^ {2} $ 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P} $에서 반사한다. 이 반사된 빛이 포물선의 초점을 지나 이 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { Q }$에서 다시 반사하여 오던 방향으로 되돌아 간다.

이 때, 점 $\displaystyle \mathrm { P} $의 $\displaystyle y $ 좌표를 $\displaystyle k $ ($\displaystyle k > 0 $)라 한다. 다음 물음에 답하여라.

(1) 선분 $\displaystyle \mathrm { PQ} $의 길이를 $\displaystyle k $로 나타내어라.

(2) 선분 $\displaystyle \mathrm { PQ} $의 길이를 최소가 되게 하는 $\displaystyle k $의 값을 구하여라.

 

풀이

 

(1) 포물선 $\displaystyle x=y ^ {2} $의 초점 $\displaystyle \mathrm{F} \left(\frac{1}{4},~0\right) $을지나는 직선을 다음과 같이 놓을 수 있다. $$\displaystyle x=m y + \frac{1}{4} $$

이 식을 $\displaystyle x=y ^ {2} $에 대입하여 정리하면

$$\displaystyle y^2=m y + \frac{1}{4},~y^2 -my - \frac{1}{4} $$

이 방정식의 한 근이 $\displaystyle k$이므로 다른 한근을 $\displaystyle \alpha $라 두면 근과 계수의 관계에 의해

$$\displaystyle k\times \alpha = -\frac{1}{4}$$

이므로 $\displaystyle \alpha =- \frac{1}{4k} $

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P} $의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P} \left(k^2,~ k \right)$, 점 $\displaystyle \mathrm{Q} $의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Q} \left(\frac{1}{16k^2},~- \frac{1}{4k} \right)$이다.

선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} $의 길이는

$\displaystyle \begin{align} \mathrm{\overline{PQ}}& =\sqrt{\left(k^2 - \frac{1}{16k^2}\right)^2 +\left(k+ \frac{1}{4k} \right)^2} \\& =\left( k+ \frac{1}{4k} \right)^2 \end{align}$

즉 $\displaystyle  \mathrm{\overline{PQ}}=\left( k+ \frac{1}{4k} \right)^2 $

(2) $\displaystyle k>0$이므로 산술기하평균의 관계에 의해

$\displaystyle  k+ \frac{1}{4k}  \geq 2 \sqrt{k \times \frac{1}{4k}} =1 $

이므로 $\displaystyle  \mathrm{\overline{PQ}}$의 길이의 최솟값은 $\displaystyle  1 $이다.

등호는 $\displaystyle  k=\frac{1}{2}$일 때 성립한다.

 

 

 

4. $\displaystyle a $가 모든 양의 실숫값을 가지며 변할 때, 타원 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a} +ay ^ {2} =1$ 위에 있는 점 전체는 어떤 범위에 있는가? 그 범위를 도시하여라.

풀이

$\displaystyle a $가 양숫값을 가지고 변하므로 먼저 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a} +ay ^ {2} =1$을 $\displaystyle a$에 대한 이차방정식으로 변형하자. 그러면

$$\displaystyle a^2 y ^ {2}-a +x^2=0$$

이 이차방정식의 두 근의 곱 $\displaystyle \frac{x^2}{y^2} $이 양수이므로 이차방정식은 모두 양수인 근을 가진다. 따라서 두 근을 $\displaystyle \alpha,~\beta $라 할 때, $\displaystyle \alpha+\beta>0,~\alpha \beta>0,~D \ge 0$이다. 즉

$$\displaystyle \alpha+\beta= \frac{1}{y^2}>0,~\alpha \beta= \frac{x^2}{y^2}>0,~D = 1-4 x^2 y^2 \ge 0$$

이 부등식을 풀면 $$\displaystyle -\frac{1}{2} \leq xy \leq \frac{1}{2}$$

이를 좌표평면에 나타내면 아래 그림과 같다.

 

 

 

 

5. 쌍속선 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $ 위의 한 점을 $\displaystyle \mathrm { P} $라 하고, 원점을 지나 $\displaystyle \mathrm { OP }$와 직교하는 직선이 쌍곡선 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =-1 $과 만나는 점 중 하나를 $\displaystyle \mathrm { Q} $라 한다.

점 $\displaystyle \mathrm { P} $가 움직일 때, $\displaystyle \frac {1} {\mathrm { \overline {OP ^ {2} } } }- \frac {1} {\mathrm { \overline {OQ ^ {2} } } }$은 일정함을 증명하여라.

 

 

(풀이)

쌍곡선 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $와 직선 $\displaystyle y=mx $의 교점을 구하기 위해 $\displaystyle y $에 $\displaystyle mx$를 대입하여 정리하면

$$\displaystyle (b^2 -a^2 m^2 )x^2 =a^2 b^2,~~x^2 = \frac{a^2 b^2}{b^2 -a^2m^2}$$

따라서

$$\displaystyle \begin{align} \frac {1 } {\mathrm{\overline{OP}^2}} &= \frac{1}{x^2 +m^2 x^2} \\& =  \frac {b ^ {2}-a^2 m^2 } {(1+m^2)a^2 b ^ {2} } \end{align} $$

마찬가지로 쌍곡선 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } - \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =-1 $와 직선 $\displaystyle y=-\frac{1}{m}x $의 교점의 $\displaystyle \mathrm{Q}$에 대해 $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\overline{OQ}}^2}$은

$$\displaystyle   \frac {1 } {\mathrm{\overline{OQ}^2}} =  \frac {a^2 -m^2 b ^ {2}  } {(1+m^2)a^2 b ^ {2} }   $$

따라서

$$\displaystyle \begin{align} \frac {1} {\mathrm { \overline {OP ^ {2} } } }- \frac {1} {\mathrm { \overline {OQ ^ {2} } } }&=\frac{(b^2 -a^2)(1+m^2)}{a^2 b^2 (1+m^2)} \\&= \frac{b^2 -a^2 }{a^2 b^2 }= \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} =(일정)\end{align}$$

 

 

 

6. $\displaystyle 3x+y \geq 1 $, $\displaystyle 2x+4y \geq 1 $, $\displaystyle x \geq 0 $, $\displaystyle y \geq 0 $의 범위에서 $\displaystyle x+y $의 최솟값 $\displaystyle s $를 구하여라. 또한, 두 수 $\displaystyle p,~q $를 $\displaystyle p+q=1,~p \geq 0,~q \geq 0 $이 되도록 잡으면 $\displaystyle \min \left\{ 3p+q,~2p+4q \right\} \leq \frac {1} {s} $이 성립함을 보여라. 단, $\displaystyle \min \left\{ a,~b \right\} $는 $\displaystyle a,~b $ 중 크지 않은 쪽을 나타낸다.

 

부등식 $\displaystyle 3x+y \geq 1 $, $\displaystyle 2x+4y \geq 1 $, $\displaystyle x \geq 0 $, $\displaystyle y \geq 0 $을 좌표평면에 나타내면 위의 그림과 같다. 이 영역에 속하는 $\displaystyle x,~y$에 대하여 $\displaystyle x+y=k $라 하면 이 직선이 그림처럼 $\displaystyle \left(\frac{3}{10},~\frac{1}{10}\right)$을 지날 때 최솟값을 가진다. $\displaystyle \left(\frac{3}{10},~\frac{1}{10}\right)$을 $\displaystyle x+y=k $에 대입하면 $\displaystyle k \geq \frac{2}{5} $이다. 따라서 $\displaystyle s $는 $\displaystyle \frac{2}{5}$이다.

두 수 $\displaystyle p,~q $를 $\displaystyle p+q=1,~p \geq 0,~q \geq 0 $이 되도록 잡으면 $$\displaystyle \begin{cases}  3p+q=2p+(p+q)=2p+1\\ 2p+4q=4(p+q)-2p=-2p+4 \end{cases}$$이다.

$\displaystyle \begin{cases}  f(p)=2p+1\\ g(p)=-2p+4 \end{cases}$라 놓고 ($\displaystyle 0\leq p \leq 1$)의 범위에서 그래프를 그리면 아래와 같다. 

위의 그림에서 $\displaystyle \min \left\{ 3p+q,~2p+4q \right\} $는 $\displaystyle f(p),~g(p)$의 그래프 중 아랫쪽 그림을 선택한 그래프이므로 빨간색으로 칠한 부분이다. 이 부분의 최댓값은 점 $\displaystyle \left(\frac{3}{4},~\frac{5}{2} \right)  $일 때이다. 즉 $\displaystyle \frac{5}{2}=\frac{1}{s}$이다.

 

 

7. 좌표평면 위의 원점을 출발한 점이 이 평면 위에서 운동을 한다. $\displaystyle \mathrm { x }$ 축을 따라 움직일 때는 운동방향으로 $\displaystyle 2 \mathrm { m/\sec }$의 속력으로 움직이고 $\displaystyle \mathrm { x }$축과 다른 방향으로 움직일 때는 $\displaystyle 1 \mathrm { m/\sec} $의 속력으로 움직인다. 이 점이 원점을 출발하여 $\displaystyle 1 $초 동안에 도달할 수 있는 최대의 영역을 좌표평면 위에 도시하고, 이 영역의 넓이를 구하여라.

 

 

 

 

 

 

공간도형과 벡터

1. 한 변의 길이가 $\displaystyle 1 $인 정사면체의 내부에 서로 외접하는 두 구 $\displaystyle P,~Q $가 있다. 구 $\displaystyle P $는 정사면체의 네면 모두에 접하고, 구 $\displaystyle Q $는 정사면체의 세 면에 접하고 있다.

(1) 구 $\displaystyle P $의 반지름을 구하여라.

(2) 구 $\displaystyle Q $의 반지름을 구하여라.

 

2. 세 점 $\displaystyle \mathrm { A} \left ( 1,~0,~0 \right ) $, $\displaystyle \mathrm { B }\left ( 0,~ \sqrt {3} ,~0 \right ) $, $\displaystyle \mathrm { C} \left ( -1,~0,~0 \right ) $이 이루는 정삼각형과 평면 $\displaystyle z = 3 $이 있다. 평면 $\displaystyle z=3 $ 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P }\left ( x,~y,~z \right ) $ 중에서 $\displaystyle \mathrm { \triangle PAB= \triangle PBC= \triangle PCA} $를 성립시키는 점 $\displaystyle \mathrm { P} $의 좌표를 다음 경에에 따라 구하여라. <서울대>

(1) $\displaystyle \mathrm { P} $의 $\displaystyle xy $ 평면 위로의 정사영이 $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC }$ 안에 있는 경우

(2) $\displaystyle \mathrm { P} $의 $\displaystyle xy $ 평면 위로의 정사영이 $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC }$ 밖에 있는 경우

 

 

3. 사각뿔 $\displaystyle \mathrm { V-ABCD} $에 대하여, 그 밑면은 정사각형이고 네 변 $\displaystyle \mathrm { VA,~VB,~VC,~VD} $의 길이는 모두 같다. 이 사각뿔의 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm { V} $에서 밑면에 내린 수선 $\displaystyle \mathrm { VH }$의 길이는 $\displaystyle 6 $이고, 밑면 한 변의 길이는 $\displaystyle 4 \sqrt {3} $이다. $\displaystyle \mathrm { VH} $ 위에 $\displaystyle \mathrm { VK}=4 $가 되는 점 $\displaystyle \mathrm { K} $를 잡아 점 $\displaystyle \mathrm { K} $와 밑면의 한 변 $\displaystyle \mathrm { AB} $를 포함하는 평면으로 이 사각뿔을 두 부분으로 나눌 때, 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm { V }$를 포함하는 부분의 부피를 구하여라.

 

4. 길이가 $\displaystyle 2 $인 선분 $\displaystyle \mathrm { NS} $를 지름으로 하는 구면 $\displaystyle K $가 있다. 점 $\displaystyle \mathrm { S }$에서 구면 $\displaystyle K $에 접하는 평면 위에서 $\displaystyle \mathrm { S} $를 중심으로 하는 반지름 $\displaystyle 2 $인 사분원 (원둘레의 $\displaystyle \frac {1} {4} $길이를 갖는 원호) $\displaystyle \stackrel {\huge \frown} {\mathrm{AB}} $와 선분 $\displaystyle \mathrm { AB} $를 합쳐서 얻어진 곡선 위를 점 $\displaystyle \mathrm { P} $가 일주한다. 이 때, 선분 $\displaystyle \mathrm { NP} $와 구면 $\displaystyle K $와의 교점 $\displaystyle \mathrm { Q} $가 그리는 곡선의 길이를 구하여라.

 

 

5. 원점을 $\displaystyle \mathrm { O} $라 하고 $\displaystyle \mathrm { O }$를 지나는 반직선 위에 두 점 $\displaystyle \mathrm { P,~Q }$를 $\displaystyle \mathrm { OP \bullet OQ=1} $이 되게 잡는다. 점 $\displaystyle \mathrm { P} $가 평면 $\displaystyle z=1 $ 위를 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm { Q} $의 자취의 방정식을 구하여라.

 

6. $\displaystyle \mathrm { \angle BDC=}90 ^{\circ } $인 사면체 $\displaystyle \mathrm { ABCD} $의 점 $\displaystyle \mathrm { D} $에서 평면 $\displaystyle \mathrm { ABC }$에 내린 수선의 발 $\displaystyle \mathrm { H} $가 $\displaystyle \mathrm { \triangle ABC} $의 수심과 일치할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) $\displaystyle \mathrm { \angle ADC,~ \angle ADB}$는 모두 직각임을 증명하여라.

(2) $\displaystyle \mathrm { \left ( AB+BC+CA \right ) ^ {2} \leq 6 \left ( AD ^ {2} +BD ^ {2} +CD ^ {2} \right ) }$임을 증명하여라. 또, 어떤 사면체일 때 등호가 성립하는가?