[더플러스수학] 2회-2020학년도 울산과고1학년 2학기 중간대비

 

1. $\displaystyle 0 $이 아닌 세 실수 $\displaystyle a,~b,~c $와 양수 $\displaystyle x $가 다음 조건을 만족시킨다.

$$\displaystyle \frac {1} {ab} + \frac {1} {bc} + \frac {1} {ca} = \frac {3} {abc} $$

$$\displaystyle a\log _ {15} x=b\log _ {10} x=c\log _ {6} x=1 $$

이 때 $\displaystyle \sqrt {x} $의 값을 구하시오. [$\displaystyle 8.0 $점]

 

 

 

https://youtu.be/uhW-3hO2_SU

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle  {\sqrt {x} = \root {3} \of {30} } $

[풀이] $\displaystyle \frac {1} {ab} + \frac {1} {bc} + \frac {1} {ca} = \frac {3} {abc} $에서 양변에 $\displaystyle abc $를 곱하면 $\displaystyle a+b+c=3 $ ……㉠

$\displaystyle a\log _ {15} x=b\log _ {10} x=c\log _ {6} x=1 $

$\displaystyle a= \frac {1} {\log _ {15} x} =\log _ {x} 15 $

$\displaystyle b=\log _ {x} 10 $

$\displaystyle c=\log _ {x} 6 $

㉠에 $\displaystyle a,~b,~c $를 대입하면

$\displaystyle \log _ {x} 15+\log _ {x} 10+\log _ {x} 6=\log _ {x} ( 15 \times 10 \times 6)=3 $

$\displaystyle \log _ {x} 900=3 $

$\displaystyle x ^ {3} =900 $

$\displaystyle \left ( x ^ {3} \right ) ^ { \frac {1} {3} } =900 ^ { \frac {1} {3} } $

따라서 $\displaystyle x= \left ( 30 ^ {2} \right ) ^ { \frac {1} {3} } = \root {3} \of {30 ^ {2} } $

 

 

 

 

 

 

 

2. $\displaystyle x=\log _ {9} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right ) $일 때, $\displaystyle 3 ^ {x} +3 ^ {-x} $의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [$\displaystyle 5 $점]

 

 

 

 

https://youtu.be/1aLwfDQQnV4

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 2 \sqrt {2} $

[풀이] $\displaystyle x=\log _ {9} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right ) =\log _ {3} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right ) ^ { \frac {1} {2} } $

$\displaystyle \left ( 3 ^ {x} +3 ^ {-x} \right ) ^ {2} $$\displaystyle =3 ^ {2x} +3 ^ {-2x} +2 $$\displaystyle =3 ^ {\log _ {3} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right )} +3 ^ {-\log _ {3} \left ( 3-2 \sqrt {2} \right )} +2 $$\displaystyle =3-2 \sqrt {2} + \frac {1} {3-2 \sqrt {2} } +2 $$\displaystyle =3-2 \sqrt {2} +3+2 \sqrt {2} +2=8 $

$\displaystyle \therefore ~3 ^ {x} +3 ^ {-x} =2 \sqrt {2} $, ($\displaystyle \because ~3 ^ {x} +3 ^ {-x} >0 $)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 양수 $\displaystyle x,~y,~z $가 $\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =xy+yz+zx $를 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {5} ( \log _ {xyz} x ^ {7-2k} y ^ {3+k} z ^ {2+k} ) ^ {k-1} $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle xyz \neq 1 $)

[$\displaystyle 8.0 $점]

 

 

 

 

https://youtu.be/r8Xm9hVTc-Y

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 341 $

[풀이] $\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} -3xyz= ( x+y+z) ( x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} -xy-yz-zx) $

$\displaystyle \therefore ~~x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} =3xyz~ ( \because ~x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =xy+yz+zx) $

그런데 산술 ․ 기하평균에 의하면

$\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} \geq 3 \root {3} \of {x ^ {3} y ^ {3} z ^ {3} } =3xyz~ ( \because ~x,~y,~z>0) $

등호는 $\displaystyle x ^ {3} =y ^ {3} =z ^ {3} $일 때 성립하므로

$\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} =3xyz $ 이려면 $\displaystyle x=y=z $ 이어야 한다.

$\displaystyle \therefore ~~ \sum\limits _ {k=1} ^ {5} ( \log _ {xyz} x ^ {7-2k} y ^ {3+k} z ^ {2+k} ) ^ {k-1} $

$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {5} ( \log _ {x ^ {3} } x ^ {12} ) ^ {k-1} = \sum\limits _ {k=1} ^ {5} 4 ^ {k-1} =4 ^ {0} +4 ^ {1} + \cdots +4 ^ {4} $

$\displaystyle = \frac {4 ^ {0} ( 4 ^ {5} -1)} {4-1} = \frac {1024-1} {3} = \frac {1023} {3} =341 $

 

 

 

 

 

 

 

4. $\displaystyle 100 $의 모든 양의 약수들을 $\displaystyle a _ {1} $, $\displaystyle a _ {2} $, $\displaystyle a _ {3} $, $\displaystyle \cdots $, $\displaystyle a _ {9} $라고 할 때, $\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \log _ {2} a _ {k} $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \log _ {10} 2= 0.3 $으로 계산한다.) [$\displaystyle 5 $점]

 

 

 

https://youtu.be/c_y9sDu17g0

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle {30} $

[풀이] $\displaystyle 100=2 ^ {2} \times 5 ^ {2} $

	$\displaystyle 5 ^ {0} $	$\displaystyle 5 ^ {1} $	$\displaystyle 5 ^ {2} $
$\displaystyle 2 ^ {0} $	$\displaystyle 2 ^ {0} \times 5 ^ {0} $	$\displaystyle 2 ^ {0} \times 5 ^ {1} $	$\displaystyle 2 ^ {0} \times 5 ^ {2} $
$\displaystyle 2 ^ {1} $	$\displaystyle 2 ^ {1} \times 5 ^ {0} $	$\displaystyle 2 ^ {1} \times 5 ^ {1} $	$\displaystyle 2 ^ {1} \times 5 ^ {2} $
$\displaystyle 2 ^ {2} $	$\displaystyle 2 ^ {2} \times 5 ^ {0} $	$\displaystyle 2 ^ {2} \times 5 ^ {1} $	$\displaystyle 2 ^ {2} \times 5 ^ {2} $

$\displaystyle 100 $의 모든 양의 약수의 곱은 $\displaystyle ( 2 ^ {0+1+2} ) ^ {3} \times ( 5 ^ {0+1+2} ) ^ {3} =2 ^ {9} \times 5 ^ {9} $

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \log _ {2} a _ {k} $$\displaystyle =\log _ {2} 2 ^ {9} \times 5 ^ {9} =\log _ {2} 10 ^ {9} =9\log _ {2} 10 $$\displaystyle = \frac {9} {\log _ {10} 2} = \frac {9} {0.3} = \frac {90} {3} =30 $

 

 

 

 

 

 

 

5. 수열$\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 $\displaystyle a _ {n} =2+\sin \frac {n \pi } {2} $일 때,

좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n  } $을 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n   } \left ( a _ { n  } \cos \frac {n \pi  } {3} ,~a _ { n  } \sin \frac {n \pi } {3} \right ) $라 하자.

이 때, 다음 물음에 답하시오. [총 $\displaystyle 2 $점]

(1) $\displaystyle a _ {1} $의 값을 구하시오. [$\displaystyle 1 $점]

(2) 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $\displaystyle n $의 합을 구하시오.

(가) $\displaystyle n \leq 100 $

(나) 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n } $은 원 $\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} =1 $ 위의 점이고, 제 $\displaystyle 4 $사분면에 있다.

 

 

 

https://youtu.be/JNs9NNj9zfI

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] (1) $\displaystyle 3 $ (2) $\displaystyle 424 $

[풀이] (1) $\displaystyle a _ {1} =2+\sin \frac {\pi } {2} =3 $

(2)함수 $\displaystyle y=\sin \frac {\pi } {2} x $의 주기는 $\displaystyle \frac {2 \pi } { \frac {\pi } {2} } =4 $이므로

$\displaystyle n=1,~2,~3, \cdots $일 때 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 각 항을 차례로 나열하면 $\displaystyle 3,~2,~1,~2 $가 반복하여 나타난다.

한 편, $\displaystyle a _ {n} >0 $이므로 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n } \left ( a _ { n  } \cos \frac {n \pi } {3} ,~a _ { n  } \sin \frac {n \pi } {3} \right ) $는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle a _ {n} $인 원 위의 점 중에서 동경 $\displaystyle \mathrm { OP} _ { n  } $이 나타내는 각의 크기가 $\displaystyle \frac {n \pi } {3} $인 점이다. (점 $\displaystyle \mathrm { O} $는 원점이다.)

 

이때 함수 $\displaystyle y=\cos \frac {\pi } {3} x $와 함수 $\displaystyle y=\sin \frac {\pi } {3} x $의 주기는 모두 $\displaystyle \frac {2 \pi } { \frac {\pi } {3} } =6 $이므로 $\displaystyle n=1,~2,~3,~ \cdots $일 때 점 $\displaystyle \mathrm { P} _ { n  } $이 속하는 사분면 또는 좌표축을 차례로 나열하면 제$\displaystyle 1 $사분면, 제$\displaystyle 2 $사분면, $\displaystyle x $축, 제$\displaystyle 3 $사분면, $\displaystyle x $축이 반복되어 나타난다. 따라서 조건(나)를 만족시키는 최소의 자연수 $\displaystyle n $은 $\displaystyle 11 $이고, $\displaystyle 4 $와 $\displaystyle 6 $의 최소공배수는 $\displaystyle 12 $이므로 조건 (나)를 만족시키는 자연수 $\displaystyle n $을 차례로 나열하면 첫째항이 $\displaystyle 11 $이고 공차가 $\displaystyle 12 $인 등차수열을 이룬다.

이 등차수열을 $\displaystyle \left\{ b _ {k} \right\} $라 하면

$\displaystyle b _ {k} =11+ ( k-1) \times 12=12k-1 $이다.

따라서 수열 $\displaystyle \left\{ b _ {k} \right\} $의 항 중 $\displaystyle 100 $이하인 항들의 합은

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {8} ( 12k-1)=12 \sum\limits _ {k=1} ^ {8} k-8 $

$\displaystyle =12 \times \left ( \frac {8 \times 9} {2} \right ) -8 $

$\displaystyle =424 $

 

 

 

 

 

 

 

 

6. 함수 $\displaystyle f ( x)=-\sin 2 \pi x ( x \geq 0) $의 그래프와 직선 $\displaystyle y=- \frac {\sqrt {3} } {3} $가 만나는 점의 $\displaystyle x $좌표를 작은 것부터 차례로 $\displaystyle \alpha ,~ \beta ,~ \gamma $라 할 때, $\displaystyle f ( \alpha + \beta + \gamma ) \times f \left ( \alpha + \beta + \frac {1} {3} \right ) $의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[$\displaystyle 7.0 $점]

 

 

 

https://youtu.be/ZD7yLX6pZ48

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {1} {2} $

[풀이]

우선 $\displaystyle \alpha ,~ \beta $는 $\displaystyle x= \frac {1} {4} $에 대해 대칭이므로 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac {1} {2} $를 만족한다.

그러므로

$\displaystyle f ( \alpha + \beta + \gamma ) \times f \left ( \alpha + \beta + \frac {1} {3} \right ) $$\displaystyle = $$\displaystyle f \left ( \frac {1} {2} + \gamma \right ) \times f \left ( \frac {5} {6} \right ) $$\displaystyle = $$\displaystyle \left\{ -\sin 2 \pi \left ( \frac {1} {2} + \gamma \right ) \right\} \times \left ( -\sin \frac {5} {3} \pi \right ) $$\displaystyle = $$\displaystyle \left\{ -\sin \left ( \pi +2 \pi \gamma \right ) \right\} \times \left\{ - \left ( - \frac {\sqrt {3} } {2} \right ) \right\} $$\displaystyle = $$\displaystyle \left ( \sin 2 \pi \gamma \right ) \times \frac {\sqrt {3} } {2} $$\displaystyle = $$\displaystyle \frac {\sqrt {3} } {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} $$\displaystyle = $$\displaystyle \frac {1} {2} $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. 이차방정식 $\displaystyle x ^ {2} -3x+1=0 $의 두 근 $\displaystyle \alpha ,~ \beta $에 대하여

$\displaystyle \left ( 1- \frac {1} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {1} {\beta } \right ) + \left ( 1- \frac {2} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {2} {\beta } \right ) + \cdots + \left ( 1- \frac {9} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {9} {\beta } \right ) $의 값을 구하시오. [$\displaystyle 6 $점]

 

 

 

https://youtu.be/tGyAsZ5TcaI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 159 $

[풀이] 이차방정식 $\displaystyle x ^ {2} -3x+1=0 $의 두 근의 합은 $\displaystyle \alpha + \beta =3 $이고 두 근의 곱은 $\displaystyle \alpha \beta =1 $이 된다.

주어진 식 $\displaystyle \left ( 1- \frac {1} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {1} {\beta } \right ) + \left ( 1- \frac {2} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {2} {\beta } \right ) + \cdots + \left ( 1- \frac {9} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {9} {\beta } \right ) $을 수열의 합으로 정리하면

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \left ( 1- \frac {k} {\alpha } \right ) \left ( 1- \frac {k} {\beta } \right ) = \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \frac {1} {\alpha \beta } \left ( \alpha -k \right ) \left ( \beta -k \right ) $

$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {9} \left ( k ^ {2} -3k+1 \right ) = \frac {9 \times 10 \times 19} {6} -3 \frac {9 \times 10} {2} +9 $

이므로 정답은 $\displaystyle 159 $가 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. 모든 항이 양수인 등비수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $이

$\displaystyle a _ {10} =8a _ {4} $ , $\displaystyle a _ {3} +a _ {7} =10 $

을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _ {n=1} ^ {8} \frac {a _ {n+1} -a _ {n} } { ( a _ {n} +1) ( a _ {n+1} +1)} = \frac {q} {p} $이다.

이 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p $, $\displaystyle q $는 서로소인 자연수) [$\displaystyle 5 $점]

 

 

 

 

https://youtu.be/nH2t7Va9oII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle  {49} $

[풀이] 등비수열의 일반항 $\displaystyle a _ {n} =ar ^ {n-1} $이므로

$\displaystyle ar ^ {9} =8 \times ar ^ {3} $ $\displaystyle r ^ {6} =8 $ $\displaystyle \therefore ~r= \sqrt {2} $

$\displaystyle ar ^ {2} +ar ^ {6} =2a+8a=10a=10 $ $\displaystyle \therefore ~a=1 $

$\displaystyle \therefore ~a _ {n} = ( \sqrt {2} ) ^ {n-1} $

$\displaystyle \sum\limits _ {n=1} ^ {8} \frac {a _ {n+1} -a _ {n} } { ( a _ {n} +1) ( a _ {n+1} +1)} $

$\displaystyle = \sum\limits _ {n=1} ^ {8} \left ( \frac {1} {a _ {n} +1} - \frac {1} {a _ {n+1} +1} \right ) $

$\displaystyle = \frac {1} {a _ {1} +1} - \frac {1} {a _ {2} +1} + \frac {1} {a _ {2} +1} - \frac {1} {a _ {3} +1} $$\displaystyle + \cdots + \frac {1} {a _ {8} +1} - \frac {1} {a _ {9} +1} $

$\displaystyle = \frac {1} {1+1} - \frac {1} {16+1} = \frac {1} {2} - \frac {1} {17} = \frac {15} {34} $

$\displaystyle 34+15=49 $

 

 

 

 

 

 

 

 

9. $\displaystyle n \geq 2 $인 모든 자연수 $\displaystyle n $에 대해 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [$\displaystyle 8 $점]

$\displaystyle ( 1+2+3+ \cdots +n) \left ( 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) >n ^ {2} $

 

 

 

 

https://youtu.be/TMyb-swkZUk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] 풀이참조

[풀이] $\displaystyle 1+2+3+ \cdots +n= \frac {n ( n+1)} {2} $이므로 주어진 식의 양변을 $\displaystyle \frac {n ( n+1)} {2} $로 나누면

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} > \frac {2n} {n+1} \cdots $㉠

$\displaystyle n \geq 2 $ 인 자연수 $\displaystyle n $에 대하여

ⅰ) $\displaystyle n=2 $ 일 때

(좌변) $\displaystyle =1+ \frac {1} {2} = \frac {3} {2} $ (우변) $\displaystyle = \frac {4} {3} $이므로 ㉠이 성립한다.

ⅱ) $\displaystyle n=k ( k \geq 2) $일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {k} > \frac {2k} {k+1} \cdots $㉡ 이고

㉡의 양변에 $\displaystyle \frac {1} {k+1} $을 더하면

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {k} + \frac {1} {k+1} > \frac {2k+1} {k+1} $

한편 $\displaystyle \frac {2k+1} {k+1} - \frac {2 ( k+1)} {k+2} = \frac {k} { ( k+1) ( k+2)} >0 $ 이므로

$\displaystyle \frac {2k+1} {k+1} > \frac {2 ( k+1)} {k+2} $ 이고,

$\displaystyle 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {k} + \frac {1} {k+1} > \frac {2 ( k+1)} {k+2} $이다.

따라서 $\displaystyle n=k+1 $일 때도 ㉠이 성립한다.

ⅰ), ⅱ) 에 의하여 $\displaystyle n \geq 2 $인 모든 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 ㉠이 성립하므로

주어진 부등식도 성립한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. 이차함수 $\displaystyle y=x ^ {2} -2x \cos \theta +\sin ^ {2} \theta $의 그래프의 꼭짓점이 $\displaystyle y>x $을 만족하도록 하는 $\displaystyle \theta $의 값의 범위는 $\displaystyle \alpha < \theta < \beta $이다. 이때, $\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) $의 값을 구하는 풀이과정을 쓰고, 답을 구하시오. $\displaystyle \left ( 단,~0 \leq \theta < \frac {\pi } {2} \right ) $ [$\displaystyle 5.0 $점]

 

 

 

 

 

https://youtu.be/pPo0a1BRJd0

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] 서술형 $\displaystyle 2 $. $\displaystyle - \frac {\sqrt {3} } {3} $

[풀이] 주어진 함수의 꼭짓점을 구하면

$\displaystyle y=x ^ {2} -2x\cos \theta +\sin ^ {2} \theta $$\displaystyle = ( x-\cos \theta ) ^ {2} + ( \sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta ) $으로

꼭짓점은 $\displaystyle ( \cos \theta ,~\sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta ) $이다.

그런데 꼭짓점이 $\displaystyle y=x $ 윗 부분에 있어야 하므로

$\displaystyle \cos \theta <\sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta $이어야 한다.

$\displaystyle \cos \theta <\sin ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta $을 정리하면

$\displaystyle 1-\cos ^ {2} \theta -\cos ^ {2} \theta -\cos \theta >0 $

$\displaystyle 2\cos ^ {2} \theta +\cos \theta -1<0 $

$\displaystyle ( 2\cos \theta -1) ( \cos \theta +1)<0 $

∴ $\displaystyle -1<\cos \theta < \frac {1} {2} $

단, $\displaystyle 0 \leq \theta < \frac {\pi } {2} $에서 $\displaystyle \cos \theta $의 범위는 $\displaystyle 0<\cos \theta < \frac {1} {2} $이므로

$\displaystyle 60 ^{\circ } < \theta <90 ^{\circ } $이다.

따라서 $\displaystyle \alpha =60 ^{\circ } ,~ \beta =90 ^{\circ } $이므로 $\displaystyle \alpha + \beta =60 ^{\circ } +90 ^{\circ } =150 ^{\circ } $

$\displaystyle \tan ( \alpha + \beta )=\tan 150 ^{\circ } =\tan ( \pi -30 ^{\circ } )= -\tan 30 ^{\circ } $

$\displaystyle = - \frac {1} {\sqrt {3} } $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. $\displaystyle 0 \leq x<2 \pi $에서 방정식 $\displaystyle \log _ {\cos x} \left ( \frac {1} {2} \sin x+ \frac {1} {2} \right ) =2 $의 해를 구하고, 각각의 조건과 그 과정을 서술하시오. [$\displaystyle 8.0 $점]

 

 

 

 

https://youtu.be/ZdphAdhHbMk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {\pi } {6} $, 해설 참조

[풀이] 먼저 로그의 조건으로 $\displaystyle \cos x>0 $이고 $\displaystyle \cos x not= 1 $이다.

그러므로 $\displaystyle 0<x< \frac {\pi } {2} ~or~ \frac {3} {2} \pi <x<2 \pi $

$\displaystyle \log _ {\cos x} \left ( \frac {1} {2} \sin x+ \frac {1} {2} \right ) =\log _ {\cos x} \left ( \cos x \right ) ^ {2} $이므로

$\displaystyle \frac {1} {2}  \sin x+ \frac {1} {2} = \left ( \cos x \right ) ^ {2} $

$\displaystyle \sin x+1=2 \left ( 1-\sin ^ {2} x) \right . $

$\displaystyle 2\sin ^ {2} x+\sin x-1=0 $

$\displaystyle \sin x= -1~or~ \frac {1} {2} $

$\displaystyle x= \frac {3} {2} \pi ,~ \frac {\pi } {6} ,~ \frac {5} {6} \pi $

그런데 조건에 맞는 범위에서 해당되는 $\displaystyle x $는 $\displaystyle \frac {\pi } {6} $

 

 

 

 

 

 

 

12. 정수 $\displaystyle n $에 대하여 함수 $\displaystyle f ( n) $을

$\displaystyle f ( n)=\sin \left ( \frac {n \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) $

로 정의할 때,

$\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \log _ {2} \left | f ( 2k) \right | + \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \sqrt {3} f ( 2k-1) $의 값을 구하시오. [$\displaystyle 8 $점]

 

 

 

https://youtu.be/CqZm3YZFez4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle - \frac {27} {2} $

[풀이] $\displaystyle f ( 2k)=\sin \left ( k \pi + \frac {\pi } {6} \right ) $이므로

$\displaystyle f ( 2)=\sin \left ( \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =-\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {1} {2} $

$\displaystyle f ( 4)=\sin \left ( 2 \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {1} {2} $

$\displaystyle f ( 6)=\sin \left ( 3 \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =-\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {1} {2} $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle f ( 30)=\sin \left ( 15 \pi + \frac {\pi } {6} \right ) =-\sin \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {1} {2} $

$\displaystyle \therefore ~ \sum\limits _ {k \rightarrow 1} ^ {15} \log _ {2} |f ( 2k)| $

$\displaystyle =\log _ {2} \left | - \frac {1} {2} \right | +\log _ {2} \left | \frac {1} {2} \right | + \cdots +\log _ {2} \left | - \frac {1} {2} \right | =-15 $

$\displaystyle f ( 2k-1)=\sin \left ( \frac {2k-1} {2} + \frac {\pi } {6} \right ) $ 이므로

$\displaystyle f ( 1)=\sin \left ( \frac {\pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {\sqrt {3} } {2} $

$\displaystyle f ( 3)=\sin \left ( \frac {3 \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =-\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) =- \frac {\sqrt {3} } {2} $

$\displaystyle f ( 5)=\sin \left ( \frac {5 \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {\sqrt {3} } {2} $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle f ( 29)=\sin \left ( \frac {29 \pi } {2} + \frac {\pi } {6} \right ) =\cos \left ( \frac {\pi } {6} \right ) = \frac {\sqrt {3} } {2} $

$\displaystyle \therefore ~ \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \sqrt {3} f ( 2k-1) $

$\displaystyle = \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} - \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} + \cdots + \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} = \frac {3} {2} $

$\displaystyle \therefore ~ \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \log _ {2} \left | f ( 2k) \right | + \sum\limits _ {k=1} ^ {15} \sqrt {3} f ( 2k-1)=-15+ \frac {3} {2} =- \frac {27} {2} $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. 양수 $\displaystyle x $에 대하여 $\displaystyle \log x $의 소수 부분을 $\displaystyle f ( x) $라고 하자.

다음 조건을 만족시키는 모든 양수 $\displaystyle x $의 곱을 $\displaystyle 10 ^ { \frac {q} {p} } $라고 할 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle p $, $\displaystyle q $는 서로소인 자연수이다.) [9점]

(가) $\displaystyle 10 \leq x<100 $

(나) $\displaystyle f ( x ^ {3} )=f ( x) $

 

 

 

https://youtu.be/NSz_Df5CT5k

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] 풀이 참조

[풀이] 조건 (가)에 의해 $\displaystyle 1 \leq \log x < 2 $이므로 $\displaystyle \log x=1+ \alpha ~ ( 0 \leq \alpha <1) $으로 나타낼 수 있고 $\displaystyle f ( x)= \alpha $이다.

$\displaystyle \log x ^ {3} =3\log x=3+3 \alpha $의 소수 부분은

ⅰ) $\displaystyle 0 \leq 3 \alpha <1 $일 때, $\displaystyle f ( x ^ {3} )=3 \alpha $이므로 $\displaystyle 3 \alpha = \alpha ~ \rightarrow ~ \alpha =0 $

ⅱ) $\displaystyle 1 \leq 3 \alpha <2 $일 때, $\displaystyle f ( x ^ {3} )=3 \alpha -1 $이므로 +$\displaystyle 3 \alpha -1= \alpha ~ \rightarrow ~ \alpha = \frac {1} {2} $

ⅲ) $\displaystyle 2 \leq 3 \alpha <3 $일 때, $\displaystyle f ( x ^ {3} )=3 \alpha -2 $이므로 $\displaystyle 3 \alpha -2= \alpha ~ \rightarrow ~ \alpha =1 $$\displaystyle 0 \leq \alpha <1 $이므로 $\displaystyle \alpha =0 $ 또는 $\displaystyle \alpha = \frac {1} {2} $이다.

따라서 $\displaystyle \log x=1 $ 또는 $\displaystyle \log x=1+ \frac {1} {2} $이므로 $\displaystyle x=10 $ 또는 $\displaystyle x=10 ^ { \frac {3} {2} } $

모든 양수 $\displaystyle x $의 곱은 $\displaystyle 10 \times 10 ^ { \frac {3} {2} } =10 ^ { \frac {5} {2} } $이다.

$\displaystyle \therefore ~p+q=7 $

 

 

 

 

 

 

 

14. 아래 그림은 함수 $\displaystyle f ( x)=a\sin ( bx-c \pi )+d $의 그래프의 일부이다.

 

(1) $\displaystyle a+b+c+d $의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

(단, $\displaystyle a>0,~b>0,~0<c<2 \pi $이다.) [$\displaystyle 5.0 $점]

 

(2) 위의 그림과 같이 함수 $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프가 $\displaystyle y= \pi $와 만나는 점의 양의 $\displaystyle x $좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $\displaystyle n $번째 수를 $\displaystyle a _ {n} $이라 하자. $\displaystyle f ( a _ {1} +a _ {2} +a _ {3} ) $의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[$\displaystyle 3.0 $점]

 

 

 

 

https://youtu.be/xnRjyDfcdbE

 

 

 

 

*해설: [정답] (1) $\displaystyle \frac {15} {2} $ (2) $\displaystyle \pi $

[풀이] (1) 주어진 함수의 최댓값은 $\displaystyle 4 $, 최솟값은 $\displaystyle 0 $이므로 $\displaystyle a=2,~d=2 $이다.

주기는 $\displaystyle \pi $이므로 $\displaystyle b=2 $,

또한 $\displaystyle y=f ( x) $는 $\displaystyle y=2\sin 2x+2 $의 그래프를 $\displaystyle x $축의 양의 방향으로 $\displaystyle \frac {3} {4} \pi $만큼 평행이동 시킨 그래프이므로

$\displaystyle f ( x)=2\sin 2 \left ( x- \frac {3} {4} \pi \right ) +2 $

따라서 $\displaystyle c= \frac {3} {2} $

$\displaystyle \therefore ~a+b+c+d= \frac {15} {2} $

(2) 주어진 그래프에서 $\displaystyle a _ {2} +a _ {3} =2 \pi $이므로

$\displaystyle f ( a _ {1} +a _ {2} +a _ {3} )=f ( 2 \pi +a _ {1} ) $이다.

한편 (1)에서 $\displaystyle y=f ( x) $는 주기가 $\displaystyle \pi $인 함수이므로

$\displaystyle f ( 2 \pi +a _ {1} )=f ( a _ {1} ) $이므로

$\displaystyle f ( a _ {1} +a _ {2} +a _ {3} )=f ( a _ {1} )= \pi $이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. 함수 $\displaystyle f ( x)= ( 2\sin \theta -1)x ^ {2} +2 ( \cos \theta -\sin \theta )x-\cos \theta $의 그래프가 $\displaystyle x $축과 오직 한 점에서만 만나도록 하는 $\displaystyle \theta $의 최댓값을 $\displaystyle M $, 최솟값을 $\displaystyle m $이라 하자. $\displaystyle M+m $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0 \leq \theta <4 \pi $) [$\displaystyle 5.0 $점]

(답안지에 함수의 그래프를 그릴 필요 없음)

 

 

 

https://youtu.be/_ABB1QEhHPs

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {17 \pi } {6} $

[풀이] 최고차항이 $\displaystyle 0 $인지 모르므로 최고차항이 $\displaystyle 0 $인 경우와 $\displaystyle 0 $이 아닌 경우로 나누어 본다.

1) $\displaystyle 2\sin \theta -1=0 $인 경우

$\displaystyle \sin \theta = \frac {1} {2} $, $\displaystyle \theta = \frac {\pi } {6} ,~ \frac {5 \pi } {6} ,~ \frac {13 \pi } {6} ,~ \frac {17 \pi } {6} $

이 때 $\displaystyle \cos \theta = \frac {\sqrt {3} } {2} ,~- \frac {\sqrt {3} } {2} $이므로

$\displaystyle f ( x)= \left ( \pm \frac {\sqrt {3} } {2} - \frac {1} {2} \right ) x -+ \frac {\sqrt {3} } {2} $

일차함수이므로 반드시 $\displaystyle x $축과 오직 한 점에서 만난다.

2) $\displaystyle 2\sin \theta -1 not= 0 $인 경우

$\displaystyle f ( x) $는 이차함수이므로 $\displaystyle D=0 $이 된다.

$\displaystyle D/4= ( \cos \theta -\sin \theta ) ^ {2} +\cos \theta ( 2\sin \theta -1) $

$\displaystyle =\cos ^ {2} \theta -2\sin \theta \cos \theta +\sin ^ {2} \theta +2\sin \theta \cos \theta -\cos \theta $

$\displaystyle =\cos ^ {2} \theta +\sin ^ {2} \theta -\cos \theta $

$\displaystyle =1-\cos \theta =0 $

그러므로 $\displaystyle \cos \theta =1 $

$\displaystyle \theta =0,~2 \pi $

따라서 $\displaystyle \theta =0,~ \frac {\pi } {6} ,~ \frac {5 \pi } {6} ,~2 \pi ,~ \frac {13 \pi } {6} ,~ \frac {17 \pi } {6} $

$\displaystyle M= \frac {17 \pi } {6} ,~m=0 $

$\displaystyle M+m= \frac {17 \pi } {6} $

 

 

 

 

 

 

 

16. 함수 $\displaystyle f ( x) $가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle 0 \leq x \leq 1 $일 때, $\displaystyle f ( x)=x $이다.

(나) 모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여 $\displaystyle f ( 1-x)=f ( 1+x) $이다.

(다) 모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여 $\displaystyle f ( x)=f ( -x) $이다.

$\displaystyle n \geq 2 $인 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle x $에 대한 방정식 $\displaystyle f ( x)- \frac {1} {\log _ {2} n} = \frac {x} {\log _ {2} n} $의 서로 다른 실근의 개수를 $\displaystyle a _ {n} $이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _ {n=2} ^ {100} a _ {n} $의 값을 구하시오. [$\displaystyle 5.0 $점]

 

 

 

 

https://youtu.be/zTUuRHZYor4

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle 534 $

[풀이] $\displaystyle f ( x)= \frac {x} {\log _ {2} n} + \frac {1} {\log _ {2} n} $의 서로 다른 근의 개수는

$\displaystyle y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} n} ( x+1) $ 두 함수의 교점의 개수와 같다.

$\displaystyle y=f ( x) $의 그래프는 아래와 같고, $\displaystyle y= \frac {1} {\log _ {2} n} ( x+1) $는 항상 $\displaystyle ( -1,~0) $을 지나므로

 

$\displaystyle n=2,~y=f ( x),~y=x+1,~a _ {2} =1 $

$\displaystyle n=3,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 3} ( x+1),~a _ {3} =1 $

$\displaystyle n=4,~y=f ( x),~y= \frac {1} {2} ( x+1),~a _ {4} =2 $

$\displaystyle n=5,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 5} ( x+1),~a _ {5} =3 $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle n=8,~y=f ( x),~y= \frac {1} {3} ( x+1),~a _ {8} =3 $

$\displaystyle n=9,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 9} ( x+1),~a _ {9} =3 $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle n=15,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 15} ( x+1),~a _ {15} =3 $

$\displaystyle n=16,~y=f ( x),~y= \frac {1} {4} ( x+1),~a _ {16} =4 $

$\displaystyle n=17,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 17} ( x+1),~a _ {17} =5 $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle n=63,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 63} ( x+1),~a _ {63} =5 $

$\displaystyle n=64,~y=f ( x),~y= \frac {1} {6} ( x+1),~a _ {64} =6 $

$\displaystyle n=65,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 65} ( x+1),~a _ {65} =7 $

$\displaystyle \vdots $

$\displaystyle n=100,~y=f ( x),~y= \frac {1} {\log _ {2} 100} ( x+1),~a _ {100} =7 $

$\displaystyle \sum\limits _ {n=2} ^ {100} a _ {n} =1 \times 2+2+3 \times 11+4+5 \times 47+6+7 \times 36=534 $

 

 

 

 

 

 

 

 

17. 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 수열의 합 $\displaystyle S _ {n} $을 $\displaystyle n $에 관한 다항식으로 나타내는 과정과 정답을 서술하시오. [$\displaystyle 7 $점]

$\displaystyle S _ {n} $$\displaystyle = \left ( 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) $$\displaystyle +2 \left ( \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) $ $\displaystyle +3 \left ( \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \frac {1} {5} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) $$\displaystyle + \cdots +n \left ( \frac {1} {n} \right ) $

 

 

 

 

https://youtu.be/Gjcc8kwKImw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle S _ {n} $$\displaystyle = \frac {n ( n+3)} {4} $

[풀이] $\displaystyle S _ {n} $$\displaystyle = \left ( 1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) $ $\displaystyle +2 \left ( \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) $ $\displaystyle +3 \left ( \frac {1} {3} + \frac {1} {4} + \frac {1} {5} + \cdots + \frac {1} {n} \right ) $$\displaystyle + \cdots +n \left ( \frac {1} {n} \right ) $$\displaystyle =1 \cdot 1+ \frac {1} {2} \left ( 1+2 \right ) + \frac {1} {3} \left ( 1+2+3 \right ) $ $\displaystyle + \cdots + \frac {1} {n} ( 1+2+ \cdots +n) $$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {1} {k} \cdot \frac {k ( k+1)} {2} $$\displaystyle = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \frac {k+1} {2} $$\displaystyle = \frac {1} {2} \left ( \frac {n ( n+1)} {2} +n \right ) $$\displaystyle = \frac {n ( n+3)} {4} $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle S _ {n} $$\displaystyle = \frac {n ( n+3)} {4} $

 

 

 

 

 

 

 

 

18. $\displaystyle \left [ \log _ {5} \frac {1} {5} \right ] + \left [ \log _ {5} \frac {1} {6} \right ] + \left [ \log _ {5} \frac {1} {7} \right ] + \cdots + \left [ \log _ {5} \frac {1} {100} \right ] $

의 값을 구하는 풀이과정을 서술하고 답을 구하시오.

(단, $\displaystyle \left [ x \right ] $는 $\displaystyle x $보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [$\displaystyle 8.0 $점]

 

 

 

 

 

https://youtu.be/TjNa8TRXecI

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle -266 $

[풀이] $\displaystyle \left [ \log _ {5} \frac {1} {n} \right ] =k $

$\displaystyle \Leftrightarrow k \leq \log _ {5} \frac {1} {n} <k+1 $

$\displaystyle \Leftrightarrow 5 ^ {k} \leq \frac {1} {n} <5 ^ {k+1} $

$\displaystyle \Leftrightarrow 5 ^ {-k-1} <n \leq 5 ^ {-k} $

$\displaystyle k=-1,~1<n \leq 5~~ \therefore ~n=5 $

$\displaystyle k=-2,~5<n \leq 5 ^ {2} ~~\therefore~n=6,~ \cdots ,~25 $

$\displaystyle k=-3,~5 ^ {2} <n \leq 5 ^ {3} ~~\therefore~n=26,~ \cdots ,~100 $

$\displaystyle \Rightarrow \left [ \log _ {5} \frac {1} {5} \right ] + \left [ \log _ {5} \frac {1} {6} \right ] + \cdots + \left [ \log _ {5} \frac {1} {100} \right ] $

$\displaystyle =-1 \times 1+ \left ( -2 \right ) \times 20+ \left ( -3 \right ) \times \left ( 75 \right ) $

$\displaystyle =-1-40-225 $

$\displaystyle =-266 $

 

 

 

 

 

 

 

 

19. 두 수 $\displaystyle 2 $와 $\displaystyle 30 $사이에 $\displaystyle 8 $개의 수를 넣어서 첫째항이 $\displaystyle 2 $이고, 제 $\displaystyle 10 $항이 $\displaystyle 30 $인 등비수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $, $\displaystyle \left\{ \frac {1} {a _ {n} } \right\} $의 첫째항부터 제 $\displaystyle 10 $항까지의 합을 각각 $\displaystyle S,~T $라 하자. [$\displaystyle 40 $점]

(1) 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 $\displaystyle S=a _ {1} +a _ {2} + \cdots ＋a _ {10}$ 를 구하여라. [$\displaystyle 15 $점]

(2) 수열 $\displaystyle \left\{ \frac {1} {a _ {n} } \right\} $의 $\displaystyle T= \frac {1} {a _ {1} } + \frac {1} {a _ {2} } ＋ \cdots + \frac {1} {a _ {10} } $를 구하여라.[$\displaystyle 10 $점]

(3) $\displaystyle \frac {T} {S} = \frac {q} {p} $일 때, $\displaystyle p+q $의 값을 구하여라.[$\displaystyle 15 $점]

$\displaystyle ( $단, $\displaystyle p $와 $\displaystyle q $는 서로소인 자연수이다.$\displaystyle ) $

 

 

 

 

https://youtu.be/LjPUG0Fk-7A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*해설: [정답] (1) $\displaystyle \frac {2 ( r ^ {10} -1)} {r-1} $ (2) $\displaystyle T= \frac {r ^ {10} -1} {2r ^ {9} ( r-1)} $ (3) $\displaystyle 61 $

[풀이] $\displaystyle 2,~a _ {2} ,~a _ {3} ,~ \cdots ,~a _ {9} ,~30 $이고,

$\displaystyle 2,~2r,~2r ^ {2} ,~ \cdots ,~2r ^ {9} $이므로

(1) $\displaystyle S=2+2r+2r ^ {2} + \cdots +2r ^ {9} = \frac {2 ( r ^ {10} -1)} {r-1} $

(2) $\displaystyle T= \frac {1} {2} + \frac {1} {2r} + \frac {1} {2r ^ {2} } + \cdots + \frac {1} {2r ^ {9} } = \frac { \frac {1} {2} \left\{ 1- \left ( \frac {1} {r} \right ) ^ {10} \right\} } {1- \frac {1} {r} } $을 정리하면

$\displaystyle T= \frac {r ^ {10} -1} {2r ^ {9} ( r-1)} $

(3) $\displaystyle \frac {T} {S} = $$\displaystyle \frac { \frac {r ^ {10} -1} {2r ^ {9} ( r-1)} } { \frac {2 ( r ^ {10} -1)} {r-1} } = \frac {1} {4r ^ {9} } $이고

$\displaystyle 2r ^ {9} =30 $이므로 $\displaystyle r ^ {9} =15 $이므로

$\displaystyle \frac {T} {S} = \frac {1} {60} = \frac {q} {p} $이므로 $\displaystyle p+q=61 $

 

 

 

 

 

 

 

20. 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle f \left ( n \right ) = \frac {1} {n+ \sqrt {n} } $이라 할 때,

$$\displaystyle f \left ( 4 \right ) +f \left ( 9 \right ) +f \left ( 16 \right ) + \cdots +f \left ( 400 \right ) $$

의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [$\displaystyle 6 $점]

 

 

 

https://youtu.be/5XbtpqSkmI4

 

 

 

*해설: [정답] $\displaystyle \frac {19} {42} $

[풀이]

$\displaystyle \begin{align} f \left ( n \right ) & = \frac {1} {n+ \sqrt {n} } = \frac {1} {\sqrt {n} \left ( \sqrt {n} +1 \right )} \\& = \frac {1} {\sqrt {n} +1- \sqrt {n} } \left ( \frac {1} {\sqrt {n} } - \frac {1} {\sqrt {n} +1} \right ) \\& = \frac {1} {\sqrt {n} } - \frac {1} {\sqrt {n} +1} \end{align}$

$\displaystyle \begin{align} &f \left ( 4 \right ) +f \left ( 9 \right ) +f \left ( 16 \right ) + \cdots +f \left ( 400 \right ) \\ & = \left ( \frac {1} {2} - \frac {1} {3} \right ) + \left ( \frac {1} {3} - \frac {1} {4} \right ) + \left ( \frac {1} {4} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \left ( \frac {1} {20} - \frac {1} {21} \right ) \\&= \frac {1} {2} - \frac {1} {21} = \frac {19} {42} \end{align}$