2021학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-경제,자유전공

문제 1. 다항식 \(\displaystyle g(x)=x^4 +x^3 +x^2 +x+1 \)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

1-1. \(\displaystyle x^5 \)을 \(\displaystyle g(x) \)로 나눈 나머지를 구하시오.

1-2. 자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여 \(\displaystyle f_n (x)=(x^3 +x^2 +3)^n \)이라 하자. \(\displaystyle f_n (x) \)를 \(\displaystyle g (x)\)로 나눈 나머지를

\(\displaystyle r_n (x)= a_n x^3 +b_n x^2 +c_n x+d \) (단, \(\displaystyle a_n ,~b_n ,~c_n ,~d_n \)은 정수)

라고 쓰자. 모든 \(\displaystyle n \geq 1\)에 대하여 \(\displaystyle a_n=b_n ,~c_n =0 \) 임을 보이시오.

1-3. 모든 \(\displaystyle n \geq 1\)에 대하여 \(\displaystyle a_n^2 +a_n d_n -d_n^2 \) 의 값을 구하시오.

 

 

문제 2. 실수 \(\displaystyle s\) 에 대하여 좌표평면 위의 세 점 \(\displaystyle A(s,~2),~B(-1+s,~0),~C(1+s,~0)\)을 꼭짓 점으로 하는 삼각형 \(\displaystyle \triangle ABC \)와 세 점 \(\displaystyle A' (-2,~3),~B' (0,~1),~C' (2,~3)\)를 꼭짓점으로 하는 삼 각형 \(\displaystyle \triangle A'B'C' \) 을 생각하자. 삼각형 \(\displaystyle \triangle ABC \)의 내부와 \(\displaystyle \triangle A'B'C' \) 의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 \(\displaystyle R(s) \) 라고 하자(단, 겹치는 부분이 없으면 \(\displaystyle R(s)=0 \) 으로 정한다). 다음 물음에 답하시 오.

2-1. 함수 \(\displaystyle y=R(s) \) 를 구하고, 그래프의 개형을 그리시오.

2-2. 함수 \(\displaystyle y=R(s) \)가 미분가능임을 설명하고 도함수 \(\displaystyle y=R'(s) \) 를 구하시오.