2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-경제,자유전공

문제 1. 곡선 \(\displaystyle C \) 와 직선 \(\displaystyle l\)이 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서 만나고, 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서의 곡선 \(\displaystyle C\)에 대한 접선이 직선 \(\displaystyle l\)과 수직일 때 \(\displaystyle C\) 와 \(\displaystyle l\)이 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서 수직으로 만난다고 한다. 곡선 \(\displaystyle y=x^3\)을 \(\displaystyle T\) 라고 하자

1-1. 좌표평면 위의 한 점 \(\displaystyle (a,~b)\)를 지나는 직선 \(\displaystyle l\)이 점 \(\displaystyle \mathrm{P}(t,~t^3)\)에서 곡선 \(\displaystyle T\)와 수직으로 만날 때, \(\displaystyle a,~b,~t\)사이의 관계식을 \(\displaystyle t\)에 대한 다항식으로 구하시오. 또한 곡선 \(\displaystyle T\)  와 직선 \(\displaystyle l\)이 수직으로 만날 수 있는 점은 많아야 하나임을 설명하시오. (단, \(\displaystyle t\)는 \(\displaystyle 0\)이 아닌 실수)

 

1-2. 점 \(\displaystyle (a,~b)\)가 제  \(\displaystyle 4\)사분면에 속할 때, 점  \(\displaystyle (a,~b)\)를 지나고 제 \(\displaystyle 1\)사분면 위의 점에서 곡선 \(\displaystyle T\)와 수직으로 만나는 직선의 개수를 구하시오.

 

1-3. 점 \(\displaystyle \mathrm{A}(-1,~-1)\) 에서 곡선 \(\displaystyle T\)와 수직으로 만나는 직선 \(\displaystyle l_1\)과, 점 \(\displaystyle \mathrm{B} \left(\frac{1}{5},~- \frac{7}{5}\right)\)를 지나고 \(\displaystyle T\)에 접하는 직선 \(\displaystyle l_2\) 및 곡선 \(\displaystyle T\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

 

1-4. 곡선 \(\displaystyle T\) 위의 점 \(\displaystyle \mathrm{A}_1 (t,~t^3 )\)  을 지나 점 \(\displaystyle \mathrm{A_2}\) (단, \(\displaystyle \mathrm{A_1 \not =A_1}\)) 에서 곡선 \(\displaystyle T\)에 접하는 직선을 \(\displaystyle l_1\)이라고 하자. 단, \(\displaystyle t\) 는 양의 실수이다. 이번에는 점 \(\displaystyle \mathrm{A}_2 \) 를 지나 점 \(\displaystyle \mathrm{A}_3 \)(단,  \(\displaystyle \mathrm{A_3 \not =A_2}\) ) 에서 곡선 \(\displaystyle T\) 에 접하는 직선을 \(\displaystyle l_2\)라고 하자. 이러한 시행을 반복하여 점 \(\displaystyle \mathrm{A_1 ,~A_2 ,~A_3 ,~\cdots} \)과 직선 \(\displaystyle  l_1 ,~l_2 ,~l_3 ,~\cdots \) 을 얻었을 때, 곡선 \(\displaystyle T\)와 접선 \(\displaystyle l_n\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(\displaystyle S_n\) 이라고 하자 (단, \(\displaystyle n\) 은 자연수). 이 때,

\(\displaystyle \lim\sum_{n=1}^{\infty}S_n =1\)

을 만족하는 \(\displaystyle t\) 의 값을 구하시오.