2021학년도 서울대 일반전형 구술문제-공과대학, 농업생명과학대학

공과대학 | 농업생명과학대학

 

문제 1. 두 함수 \(\displaystyle g_1 (x)\)와 \(\displaystyle g_2 (x)\)가 아래와 같이 주어져 있다.

\(\displaystyle g_1 (x)=\begin{cases} 0&(-1 \leq x < 0)\\1&(0 \leq x \leq 1)\end{cases}\)

\(\displaystyle g_2 (x)=\sin(4\pi x)~(0 \leq x \leq 1)\)

합성함수 \(\displaystyle h(x)=(g_1 \circ g_2 )(x)\)에 대하여 다음 질문에 답하시오.

1-1. 함수 \(\displaystyle y=h(x) ~(0 \leq x \leq 1\) 의 그래프와 이차함수 \(\displaystyle y=-6x(x-b)\)의 그래프의 교점의 개수가 최대가 되는 실수 \(\displaystyle b\)의 값의 범위를 구하시오.

 

1-2. 함수 \(\displaystyle y=h(x)~(0 \leq x \leq 1)\)의 그래프와 \(\displaystyle x\)축 그리고 직선들 \(\displaystyle x=0,~x=\frac{1}{4},~x=\frac{1}{2},~x=\frac{3}{4}\)으로 둘러싸인 영역에서 \(\displaystyle x\)좌표가 실수 \(\displaystyle t\) 이하인 부분의 넓이를 \(\displaystyle f(t)\)라고 하자(단, 선분이나 공집합의 넓이는 \(\displaystyle 0\)이라고 한다). 이 때, 함수 \(\displaystyle f(t)\)의 한 부정적분을 \(\displaystyle F(t)\) 라고 할 때, \(\displaystyle F(0)=0\)을 만족하는 함수 \(\displaystyle F(t)\)를 구하시오.

 

 

 

문제 3. 공간의 많은 점들로 이루어진 데이터가 주어지면 그 분포를 분석하기 위해 평면이나 직선으로 정사영하기도 한다. 다음은 평면의 점들을 정사영하기에 적당한 직선을 구하는 방법 중 하나이다.

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자연수 \(\displaystyle n\) 에 대하여 다음과 같은 \(\displaystyle 4n\)개의 평면벡터를 생각하자.

\(\displaystyle  \vec {v_k }=\begin{cases} (2,-1)+\left( \frac{1}{2}\right)^{k} (2,1) &(1\leq k \leq n)\\(2,-1)-\left( \frac{1}{2}\right)^{k-n} (2,1) &(n+1\leq k \leq 2n)\\(-2,1)+\left( \frac{1}{3}\right)^{k-2n} (5,7) &(2n+1\leq k \leq 3n)\\(-2,1)-\left( \frac{1}{3}\right)^{k-3n} (5,7) &(3n+1\leq k \leq 4n)\\ \end{cases}\)

각 \(\displaystyle \theta \in \left[ -\frac{\pi}{2},~\frac{\pi}{2}\right]\) 에 대해 위의 벡터들과 단위 벡터 \(\displaystyle \vec {u_{\theta} }=(\cos \theta,~\sin \theta)\)의 내적으로 얻은 \(\displaystyle 4n\)개의 실수값 \(\displaystyle \vec {v_k}\cdot \vec {u_{\theta} } ~(1 \leq k \leq 4n )\) 의 분산을 \(\displaystyle V_n (\theta)\) 라 하자.

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3-1. \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}  V_n (\theta)\) 의 극한값 \(\displaystyle V  (\theta)\)를 구하시오.

 

3-2. \(\displaystyle V  (\theta)\)가 \(\displaystyle \theta=\theta_0\)에서 최댓값을 가질 때, \(\displaystyle \tan   (\theta_0 )\)의 값과 \(\displaystyle V  (\theta_0)\)을 구하시오