[더플러스수학] 고급수학1 det(AB)=det(A)det(B)

이 글에서는 \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A,~B\)에 대하여 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)임을 증명해 보도록 하자.

먼저 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬(특이행렬)일 때와 가역행렬일 때로 나누어서 증명한다. 먼저 비가역행렬일 때의 증명에 앞어서 다음의 보조정리를 증명하자.

보조정리1. 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬이면 행렬 \(\displaystyle AB\)도 비가역행렬이다.

주의하자. 행렬식의 성질 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)을 이용하여 위의 보조정리를 증명할 수 있다. 그러나 여기서는 쓰면 안된다. 왜냐하면 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)를 증명할 때 보조정리가 필요하기 때문이다. 만약 쓰게 되면 순환논증에 빠지게 된다.

(증명) 첫째 행렬 \(\displaystyle B\)도 역시 비가역행렬일 때,

\(\displaystyle B\)가 비가역행렬이면 방정식

\(\displaystyle B \vec x =\vec 0\)     (1)

을 만족하는 \(\displaystyle \vec 0\)이 아닌 \(\displaystyle \vec x \)가 존재한다. 

(1)의 양변에 행렬 \(\displaystyle A\)를 곱하면

\(\displaystyle A(B \vec x ) =A \vec 0 = \vec 0\)  \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)  \(\displaystyle (A B) \vec x  = \vec 0\)

즉,  \(\displaystyle \vec x \neq \vec 0\)이므로 \(\displaystyle AB  \vec x  = \vec 0\) 가 자명해가 아닌 해를 가진다. 따라서 \(\displaystyle AB \)는 비가역행렬이다.

둘째, 행렬 \(\displaystyle B\)도 가역행렬일 때,

행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬이므로

\(\displaystyle A \vec y = \vec 0\)    (2) 

을 만족하는 \(\displaystyle \vec 0 \)이 아닌 벡터 \(\displaystyle   \vec y \)가 존재한다. 

\(\displaystyle B\)도 가역행렬이므로

\(\displaystyle \vec y = B \vec x \)   (3)

를 만족하는 \(\displaystyle \vec x (\neq  \vec 0 )\)가 존재한다. 즉 \(\displaystyle \vec x =B^{-1}\vec y \)이다.

따라서 이제 (3)을 (2)에 대입하면

\(\displaystyle A \vec y = \vec 0\)   \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)  \(\displaystyle A ( B \vec x ) = (AB) \vec x = \vec 0\)    (4)

여기서 \(\displaystyle \vec 0 \)가 아닌 \(\displaystyle   \vec x \)가 존재하므로 행렬 \(\displaystyle AB\)는 비가역이다. (왜냐하면 가역이라고 하면 (4)의 양변에 \(\displaystyle (AB)^{-1}\)를 곱하면

\(\displaystyle  (AB)^{-1}\left\{(AB)  \vec x \right\} = (AB)^{-1} \vec 0 = \vec 0 \)   \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)  \(\displaystyle  \vec x = \vec 0 \)

이것은 \(\displaystyle  \vec x \neq \vec 0 \)이라는 가정에 모순이다. )

참고. "행렬 \(\displaystyle B\)가 비가역행렬이면 행렬 \(\displaystyle AB\)도 비가역행렬이다."도 성립하고 증명은 위의 방식과 비슷하다. 함 증명해 보삼!!!

 

 

지난 글에서 기본 행 연산과 기본행렬에 대하여 고찰해 보았다.

2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬

[더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬

 

또, 기본행렬의 행렬식 (\(\displaystyle det\))에 대한 글이 있으니 읽어 보기를.....

2021.08.24 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)

[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)

 

 

정의1. 행동등(row equivalence)

행렬 \(\displaystyle A\)를 기본행연산을 통해 행렬 \(\displaystyle B \)를 얻을 수 있다면 두 행렬 \(\displaystyle A,~B\)는 행동등이라 하고 기호로 \(\displaystyle A~B\)로 나타낸다.

 

정리2. 행렬 \(\displaystyle A\)가 \(\displaystyle n \times n\)일 때, 다음 명제들을 동치이다. 

(1) 행렬 \(\displaystyle A\)는 가역(inversible)이다.

(2) \(\displaystyle A \vec x = \vec 0\)은 자명해(trivial solution)만 갖는다.

(3) 행렬 \(\displaystyle A\)의 기약행사다리꼴은 \(\displaystyle I_n\)이다. 

(4) 행렬 \(\displaystyle A\)는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.

(증명)

(1) \(\displaystyle \Rightarrow \) (2)

행렬 \(\displaystyle A\)가 가역이라고 가정하면 방정식 \(\displaystyle A \vec x = \vec 0\)의 양변에 \(\displaystyle A^{-1} \)을 곱하면

\(\displaystyle A^{-1}( A \vec x ) = A^{-1} \vec 0\)      \(\displaystyle (A^{-1} A) \vec x  = \vec 0\)

\(\displaystyle \therefore~ \vec x   =  \vec 0\)

(2) \(\displaystyle \Rightarrow \) (3)

\(\displaystyle A \vec x = \vec 0\)은 자명해(trivial solution  \(\displaystyle   \vec 0\))만 갖는다고 가정하자.

이를 연립방정식으로 나타내면

\(\displaystyle \begin{cases} a_{11}   x_1 +a_{12}x_2  +  \cdots +a_{1n}  x_n = 0 \\a_{11} x_1  +a_{12}x_2  +\cdots  +a_{1n} x_n = 0\\   \cdots     \\a_{n1} x_1  +a_{n2}x_2  +\cdots  +a_{nn} x_n = 0 \end{cases}\)

위의 연립방정식이 \(\displaystyle (0,~0,~\cdots,~0)\)만을 해로 갖는다.

이것을 첨가행렬로 나타내어 기본행연산을 해서 기약행사다리꼴로 나타내면 다음과 같다.

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0&\vert &0\\ 0&1&\cdots&0&\vert &0\\ \vdots&\vdots& \vdots&\vdots&\vert &0\\ 0&0&\cdots&1&\vert &0\\    \end{pmatrix}\)

마지막 열을 지우면 행렬 \(\displaystyle  A\)의 기약행사다리꼴은 \(\displaystyle I_n \)이다.

(3) \(\displaystyle \Rightarrow \) (4) 

행렬 \(\displaystyle  A\)에 기본 행연산을 하여 기약행사다리꼴을 만들면 \(\displaystyle I_n \)라고 가정하면 기본행연산을 하는 행위는 행렬 \(\displaystyle A \) 앞에 기본행렬을 곱하는 것과 같으므로 

\(\displaystyle E_n E_{n-1} \cdots E_2 E_1 A=I_n \)

또 모든 기본행렬을 가역이고 각각의 역행렬도 역시 기본행렬이므로 위의 식의 양변에 기본행렬의 역행렬을 곱하여 정리하면

\(\displaystyle A=E_1 ^{-1} E_2 ^{-1} \cdots E_{n-1}^{-1} E_{n}^{-1}\)

따라서 행렬 \(\displaystyle A\)는 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.

(4) \(\displaystyle \Rightarrow \) (1) 

행렬 \(\displaystyle A\)는 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있다고 가정하자. 그러면 기본행렬 \(\displaystyle E'_1 ,~E'_2 ,~\cdots ,~E'_r \)이 존재하여 

\(\displaystyle A = E'_1 E'_2 \cdots E'_r \)

기본행렬 \(\displaystyle E'_1 ,~E'_2 ,~\cdots ,~E'_r \)은 가역이고, 가역 행렬의 곱도 역시 가역이므로 행렬 \(\displaystyle A\)도 가역이다. 따라서

\(\displaystyle A^{-1}  = (E'_r ) ^{-1}  (E'_{r-1} )^{-1}  \cdots (E'_2 )^{-1} (E'_1 )^{-1} \)

 

 

이제 다음을 증명할 때가 왔다.

 

정리3.

\(\displaystyle n\)차 정사행렬 \(\displaystyle A\)와 \(\displaystyle n\)차 기본행렬  \(\displaystyle E\)에 대하여

\(\displaystyle det(EA)=det(E)det(A)\)

(증명) 이 부분의 증명을 위해서는 앞의 글의 정리4와 정리5가 필요하다. 

2021.08.24 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)

(1) 정리4에서 행렬 \(\displaystyle A\)의 특정한 두 행를 교환하면 행렬식의 부호가 반대가 되고, 이 연산을 하는 기본행렬을 \(\displaystyle E\)라 하면 \(\displaystyle det(E)=-1\)이고 특정 두 행을 교환한 행렬은 \(\displaystyle EA\)이다. 따라서 

\(\displaystyle det(EA)=-det(A) =\textcolor {red}{det(E)}det(A) \)

\(\displaystyle \therefore~det(EA)=det(E)det(A)\)

(2) 정리4에서 행렬 \(\displaystyle A\)의 특정한 행을 \(\displaystyle k\)배 한 행렬의 행렬식은 행렬 \(\displaystyle A\)의 행렬식은 \(\displaystyle k\)배하면 된다. 또, 이 연산을 하는 기본행렬을 \(\displaystyle E\)라 하면 \(\displaystyle det(E)=k\)이고 특정한 행을  \(\displaystyle k\)배 한 행렬은 \(\displaystyle EA\)이다. 따라서

\(\displaystyle det(EA)=\textcolor{red}{k} det(A) =\textcolor {red}{det(E)}det(A) \)

\(\displaystyle \therefore~det(EA)=det(E)det(A)\)

(3) 정리4에서 행렬 \(\displaystyle A\)의 특정한 행을 다른 행에 더하여 얻어지는 행렬의 행렬식은 행렬 \(\displaystyle A\)의 행렬식과 같다. 또, 이 연산을 하는 기본행렬을 \(\displaystyle E\)라 하면 \(\displaystyle det(E)=1\)이고 특정한 행을 다른 행에 더하여 얻어지는 행렬은 \(\displaystyle EA\)이다. 따라서

\(\displaystyle det(EA)=\textcolor{red}{1} det(A) =\textcolor {red}{det(E)}det(A) \)

\(\displaystyle \therefore~det(EA)=det(E)det(A)\)

참조  여기서 행렬 \(\displaystyle A\)가 기본행렬이 되어도 위가 성립한다. 

 

 

정리4.

\(\displaystyle n\)차 정사행렬 \(\displaystyle A,~B\)에 대하여

\(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B)\)

증명)

(i) \(\displaystyle A\)가 가역이 아닐때,

보조정리 1에 의해 \(\displaystyle A\)가 비가역이면 \(\displaystyle AB \)도 비가역이다. 따라서

\(\displaystyle det(A)=0 \), \(\displaystyle det(AB)=0 \)

따라서 \(\displaystyle det(AB)= 0=0 \times det(B)=det(A)det(B)\)

(ii) \(\displaystyle A\)가 가역일 때, 정리2에 의해 행렬 \(\displaystyle A\)는 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.  즉, 기본행렬 \(\displaystyle E_1 ,~E_2 ,~\cdots ,~E_r \)에 대하여

\(\displaystyle A=E_1  E_2  ~\cdots  ~E_r \)

따라서 \(\displaystyle AB=(E_1  E_2  ~\cdots  ~E_r) B\)이고 행렬의 곱셈은 결합법칙이 성립함과 정리3을 이용하면 

\(\displaystyle \begin{align} det(AB)& =det \left\{(E_1  E_2  ~\cdots  ~E_r) B \right\} \\&=det \left\{E_1 ( E_2  ~\cdots  ~E_r B ) \right\}   \\&= det(E_1 ) det \left\{(E_2  E_3  ~\cdots  ~E_r) B\right\} \\&=\cdots\\&=det(E_1 )det(E_2 )\cdots det(E_r )det(B)\\& =det(E_1   E_2  ~\cdots  E_r ) det(B) \\&=det(A)det(B) \end{align}\)