-
[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 16:39
행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자.
정의1.
정사각행렬 A=(aij)n×n에서 A의 각 원소 aij의 여인수 Aij로 이루어진 행렬 (Aij)n×n을 A의 여인수행렬 이라 한다. 또, A의 여인수 행렬의 전치행렬을 A의 수반행렬이라고 하고 adjA로 나타낸다. 즉,
adjA=(Aij)Tn×n=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋯⋮A1nA2n⋯Ann)
예1. 행렬 A=(1−2321−1−2−12)의 수반행렬을 구해보자.
A11=|1−1−12|=1, A12=−|2−1−22|=−2, A13=|21−2−1|=0,
A21=−|−23−12|=1, A22=|13−22|=8, A23=−|1−2−2−1|=5,
A31=|−231−1|=−1, A32=−|132−1|=7, A33=|1−221|=5
따라서 수반행렬 adjA는
adjA=(11−1−287055)
이다.
정리2. n차 정사각행렬 A=(aij)n×n에 대하여
(i) A의 제 i행의 원소 ai1, ai2, ⋯, ain을 c1, c2, ⋯, cn으로 바꾸어 놓은 행렬을 B라 하면
|B|=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮c1c2⋯cn⋮⋮⋮an1an2⋯ann|=c1Ai1+c2Ai2+⋯+cnAin
이다.
(ii) A의 제 j열의 원소 a1j, a2j, ⋯, anj을 c1, c2, ⋯, cn으로 바꾸어 놓은 행렬을 C라 하면
|C|=|a11⋯c1⋯a1na21⋯c2⋯a2n⋮⋮⋮an1⋯c2⋯ann|=c1A1j+c2A2j+⋯+cnAnj이다.
정리3. n차 정사각행렬 A=(aij)n×n에 대하여 다음이 성립한다.
(1) aj1Ai1+aj2Ai2+⋯+ajnAin={|A|(i=j일 때)0(i≠j일 때)
(2) a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj={|A|(i=j일 때)0(i≠j일 때)
(3) A(adjA)=(adjA)A=|A|I
(증명)
(1) i=j이면 i(=j)행에서 여인수 전개한 것이므로 |A|이다.
i≠j이면 i행에 j행의 원소가 들어가 있는 행렬의 여인수 전개이다. 따라서 행렬식의 성질에 의해 두 행이 서로 같은 행렬의 행렬식은 0이 된다. 즉 이것을 나타내면
0=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮aj1aj2⋯ajn⋮⋮⋮aj1aj2⋯ajn⋮⋮⋮an1an2⋯ann|→i행→j행
예를 들어 보자. 행렬 A=(1−2321−1−2−12)에 대하여
2A31+1A32+−1A33=2|−231−1|+1×(−1)|132−1|+−1|1−221|=|1−2321−121−1|=0
행렬 A의 3행에 2행을 대입하여 만든 행렬의 행렬식이므로 행렬의 두 행이 서로 같으므로 행렬식의 값은 0이 된다.
(2) (1)의 과정을 열에 대하여 진행해도 똑같으므로 성립한다.
(3)
A(adjA)=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋯⋮an1an2⋯ann)(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋯⋮A1nA2n⋯Ann)
여기서 위의 행렬을 곱한 행렬의 (1, 2)의 성분을 구해보자. 앞의 행렬을 1행 a11, a12, ⋯, a1n과 뒤의 행렬의 2열 A21, A22, ⋯, A2n을 곱하면
a11A21+a12A22+⋯+a1nA2n=0
이번엔 (3, 3)의 성분을 구해보자. 앞의 행렬을 3행 a31, a32, ⋯, a3n과 뒤의 행렬의 3열 A31, A32, ⋯, A3n을 곱하면
a31A31+a32A32+⋯+a3nAnn=|A|
위의 예처럼 i=j이면 |A|이고 i≠j이면 0이 되므로
A(adjA)=(|A|0⋯000|A|⋯00⋮⋮⋯⋮⋮00⋯|A|000⋯0|A|)=|A|(10⋯0001⋯00⋮⋮⋯⋮⋮00⋯1000⋯01)
또, 위의 과정처럼 (adjA)A를 구하면 |A|I가 된다. 따라서
∴ A(adjA)=(adjA)A=|A|I
정리4. n차 정사각행렬 A에 대하여 |A|≠0이면 행렬 A는 정칙행렬이고,
A−1=1|A|adjA
이다.
(증명) 정리 3에서 A(adjA)=(adjA)A=|A|I이고 |A|≠0이면
A(1|A|adjA)=(1|A|adjA)A=1|A|(A adjA)=1|A||A|I=I
이므로 행렬 A는 정칙이고, 역행렬의 유일성에 의해 A−1=1|A|adjA이다.
예2. 행렬 A=(1−2321−1−2−12)의 역행렬을 구해보자.
(풀이)
|A|=|1−2321−1−2−12|=|1−2321−1001|=1|1−221|=5
즉 |A|=5≠0이므로 A는 정칙행렬이다. 또, 정리 4에 의해
A−1=1|A|adjA=15(11−1−287055)=(1515−15−258575011)
이다.
과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.
더플러스수학 https://www.youtube.com/@THEPLUSMATH/channels
더플러스수학 블로그 https://plusthemath.tistory.com/
더플러스수학 네이버블로그 https://m.blog.naver.com/plusthemath
'수학과 공부이야기 > 선형대수학' 카테고리의 다른 글
[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -2 (0) 2021.09.06 [더플러스수학] 고급수학1 det(AB)=det(A)det(B) (0) 2021.08.26 [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2) (0) 2021.08.24 [더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬 (0) 2021.08.23 [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) (0) 2021.08.23