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  • [더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1
    수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 16:39

    행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자.

    정의1.

    정사각행렬 A=(aij)n×n에서 A의 각 원소 aij의 여인수 Aij로 이루어진 행렬 (Aij)n×nA여인수행렬 이라 한다. 또, A의 여인수 행렬의 전치행렬을 A수반행렬이라고 하고 adjA로 나타낸다. 즉,

    adjA=(Aij)Tn×n=(A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn)

    예1. 행렬 A=(123211212)의 수반행렬을 구해보자.

    A11=|1112|=1, A12=|2122|=2, A13=|2121|=0,

    A21=|2312|=1, A22=|1322|=8, A23=|1221|=5,

    A31=|2311|=1, A32=|1321|=7, A33=|1221|=5

    따라서 수반행렬 adjA

    adjA=(111287055)

    이다. 

     

    정리2. n차 정사각행렬 A=(aij)n×n에 대하여

    (i) A의 제 i행의 원소 ai1, ai2, , ainc1, c2, , cn으로 바꾸어 놓은 행렬을 B라 하면

    |B|=|a11a12a1nc1c2cnan1an2ann|=c1Ai1+c2Ai2++cnAin

    이다. 

    (ii) A의 제 j열의 원소 a1j, a2j, , anj을 c1, c2, , cn으로 바꾸어 놓은 행렬을 C라 하면

    |C|=|a11c1a1na21c2a2nan1c2ann|=c1A1j+c2A2j++cnAnj

    이다. 

     

    정리3. n차 정사각행렬 A=(aij)n×n에 대하여 다음이 성립한다.

    (1) aj1Ai1+aj2Ai2++ajnAin={|A|(i=j )0(ij )

    (2) a1iA1j+a2iA2j++aniAnj={|A|(i=j )0(ij )

    (3) A(adjA)=(adjA)A=|A|I

    (증명) 

    (1) i=j이면 i(=j)행에서 여인수 전개한 것이므로 |A|이다.

    ij이면 i행에 j행의 원소가 들어가 있는 행렬의 여인수 전개이다. 따라서 행렬식의 성질에 의해 두 행이 서로 같은 행렬의 행렬식은 0이 된다. 즉 이것을 나타내면

    0=|a11a12a1naj1aj2ajnaj1aj2ajnan1an2ann|ij

    예를 들어 보자. 행렬 A=(123211212)에 대하여 

    2A31+1A32+1A33=2|2311|+1×(1)|1321|+1|1221|=|123211211|=0

    행렬 A3행에 2행을 대입하여 만든 행렬의 행렬식이므로 행렬의 두 행이 서로 같으므로 행렬식의 값은 0이 된다.

    (2) (1)의 과정을 열에 대하여 진행해도 똑같으므로 성립한다.

    (3) 

    A(adjA)=(a11a12a1na21a22a2nan1an2ann)(A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn)

    여기서 위의 행렬을 곱한 행렬의 (1, 2)의 성분을 구해보자. 앞의 행렬을 1a11, a12, , a1n과 뒤의 행렬의 2A21, A22, , A2n을 곱하면

    a11A21+a12A22++a1nA2n=0

    이번엔 (3, 3)의 성분을 구해보자. 앞의 행렬을 3행 a31, a32, , a3n과 뒤의 행렬의 3열 A31, A32, , A3n을 곱하면

    a31A31+a32A32++a3nAnn=|A|

    위의 예처럼 i=j이면 |A|이고 ij이면 0이 되므로

    A(adjA)=(|A|0000|A|0000|A|0000|A|)=|A|(1000010000100001)

    또, 위의 과정처럼 (adjA)A를 구하면  |A|I가 된다. 따라서 

     A(adjA)=(adjA)A=|A|I

     

    정리4. n차 정사각행렬 A에 대하여 |A|0이면 행렬 A는 정칙행렬이고,

    A1=1|A|adjA

    이다.

    (증명) 정리 3에서 A(adjA)=(adjA)A=|A|I이고 |A|0이면 

    A(1|A|adjA)=(1|A|adjA)A=1|A|(A adjA)=1|A||A|I=I

    이므로 행렬 A는 정칙이고, 역행렬의 유일성에 의해 A1=1|A|adjA이다.

    예2. 행렬 A=(123211212)의 역행렬을 구해보자. 

    (풀이)

    |A|=|123211212|=|123211001|=1|1221|=5

    |A|=50이므로 A는 정칙행렬이다. 또, 정리 4에 의해

    A1=1|A|adjA=15(111287055)=(151515258575011)

    이다.

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