[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1

행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자.

정의1.

정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에서 \(\displaystyle A\)의 각 원소 \(\displaystyle a_{ij}\)의 여인수 \(\displaystyle A_{ij}\)로 이루어진 행렬 \(\displaystyle \left(A_{ij} \right) _{n \times n}\)을 \(\displaystyle A\)의 여인수행렬 이라 한다. 또, \(\displaystyle A\)의 여인수 행렬의 전치행렬을 \(\displaystyle A\)의 수반행렬이라고 하고 \(\displaystyle adj A\)로 나타낸다. 즉,

\(\displaystyle adj A = \left(A_{ij} \right) _{n \times n} ^T =\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots &A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots &A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \cdots& \vdots\\A_{1n} & A_{2n} & \cdots &A_{nn} \end{pmatrix}\)

예1. 행렬 \(\displaystyle  A =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\2 & 1 & -1 \\-2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\)의 수반행렬을 구해보자.

\(\displaystyle  A_{11} =\left|\begin{matrix}1&-1\\-1&2 \end{matrix}\right|=1\), \(\displaystyle  A_{12} =- \left|\begin{matrix}2&-1\\-2&2 \end{matrix}\right|=-2\), \(\displaystyle  A_{13} =\left|\begin{matrix}2&1\\-2&-1 \end{matrix}\right|=0\),

\(\displaystyle  A_{21} =-\left|\begin{matrix}-2&3\\-1&2 \end{matrix}\right|=1\), \(\displaystyle  A_{22} =\left|\begin{matrix}1&3\\-2&2 \end{matrix}\right|=8\), \(\displaystyle  A_{23} =-\left|\begin{matrix}1&-2\\-2&-1 \end{matrix}\right|=5\),

\(\displaystyle  A_{31} =\left|\begin{matrix}-2&3\\1&-1 \end{matrix}\right|=-1\), \(\displaystyle  A_{32} =-\left|\begin{matrix}1&3\\2&-1 \end{matrix}\right|=7\), \(\displaystyle  A_{33} =\left|\begin{matrix}1&-2\\2&1 \end{matrix}\right|=5\)

따라서 수반행렬 \(\displaystyle adj A\)는

\(\displaystyle  adj A =\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\-2 & 8 & 7 \\0 & 5 & 5 \end{pmatrix}\)

이다. 

 

정리2. \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에 대하여

(i) \(\displaystyle A\)의 제 \(\displaystyle \textcolor{red}{i}\)행의 원소 \(\displaystyle a_{\textcolor{red}{i}1}, ~a_{\textcolor{red}{i}2}, ~\cdots,~ a_{\textcolor{red}{i}n} \)을 \(\displaystyle \textcolor{red} {c_{1}, ~c_{2}, ~\cdots,~ c_{n}} \)으로 바꾸어 놓은 행렬을 \(\displaystyle B\)라 하면

\(\displaystyle |B|   =\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\\textcolor{red} {c_{1}} & \textcolor{red} {c_{2}}  & \cdots &\textcolor{red} {c_{n}} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| =c_1 A_{\textcolor{red}{i} 1}+c_2 A_{\textcolor{red}{i}2}+\cdots +c_n A_{\textcolor{red}{i}n}\)

이다. 

(ii) \(\displaystyle A\)의 제 \(\displaystyle \textcolor{blue}{j}\)열의 원소 \(\displaystyle a_{1\textcolor{blue}{j}}, ~a_{2\textcolor{blue}{j}}, ~\cdots,~ a_{n\textcolor{blue}{j}} \)을 \(\displaystyle \textcolor{blue} {c _{1}}, ~\textcolor{blue} {c _{2}}, ~\cdots,~ \textcolor{blue} {c _{n}}\)으로 바꾸어 놓은 행렬을 \(\displaystyle C\)라 하면

\(\displaystyle |C|   =\left| \begin{matrix} a_{11} &\cdots& \textcolor{blue} {c _{1}} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21}& \cdots & \textcolor{blue} {c _{2}}& \cdots & a_{2n}\\ \vdots &   & \vdots &&\vdots \\ a_{n1} & \cdots &\textcolor{blue} {c _{2}}  & \cdots&a_{nn}\end{matrix}\right| =c_1 A_{1\textcolor{blue}{j} }+c_2 A_{2\textcolor{blue}{j} }+\cdots +c_n A_{n \textcolor{blue}{j} } \)

이다. 

 

정리3. \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle a_{ \textcolor{blue}{j}1} A_{\textcolor{red}{i} 1}+a_{ \textcolor{blue}{j}2} A_{\textcolor{red}{i}2}+\cdots +a_{ \textcolor{blue}{j}n} A_{\textcolor{red}{i}n}= \begin{cases} \left| A \right| &(i =j일~때)\\0 &(i \neq j 일~때)\end{cases}\)

(2) \(\displaystyle a_{ 1\textcolor{blue}{i}} A_{1\textcolor{red}{j}}+a_{ 2\textcolor{blue}{i}} A_{2\textcolor{red}{j}}+\cdots +a_{ n \textcolor{blue}{i}} A_{n\textcolor{red}{j}}= \begin{cases} \left| A \right| &(i =j일~때)\\0 &(i \neq j 일~때)\end{cases}\)

(3) \(\displaystyle A (adj A)=(adj A)A= \left|A\right| I\)

(증명) 

(1) \(\displaystyle i=j\)이면 \(\displaystyle  i(=j)\)행에서 여인수 전개한 것이므로 \(\displaystyle |A|\)이다.

\(\displaystyle i \neq j\)이면 \(\displaystyle i \)행에 \(\displaystyle j\)행의 원소가 들어가 있는 행렬의 여인수 전개이다. 따라서 행렬식의 성질에 의해 두 행이 서로 같은 행렬의 행렬식은 \(\displaystyle 0\)이 된다. 즉 이것을 나타내면

\(\displaystyle 0= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\a_{\textcolor{red} {j} 1} & a_{\textcolor{red} {j} 2}  & \cdots &a_{\textcolor{red} {j} n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots\\  a_{\textcolor{blue} {j} 1} & a_{\textcolor{blue} {j} 2}  & \cdots &a_{\textcolor{blue} {j} n} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix}\right| \begin{matrix}\\ \\ \rightarrow \textcolor{red}{i행}\\\\ \rightarrow \textcolor{blue}{j행} \\\\ \end{matrix}\)

예를 들어 보자. 행렬 \(\displaystyle  A =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}1 &\textcolor{red} { -1} \\-2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\)에 대하여 

\(\displaystyle \begin{align}  \textcolor{red} 2 A_{\textcolor {blue}{3}1} + \textcolor{red} 1 A_{\textcolor {blue}{3}2}+\textcolor{red} {-1} A_{\textcolor {blue}{3}3} & =\textcolor{red} 2 \left|\begin{matrix} -2&3\\1&-1 \end{matrix}\right|   + \textcolor{red} 1 \times (-1) \left|\begin{matrix} 1&3\\2&-1 \end{matrix}\right|  +\textcolor{red} {-1} \left|\begin{matrix} 1&-2\\2&1 \end{matrix}\right| \\&= \left|\begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}1 &\textcolor{red} { -1} \\\textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}1 &\textcolor{blue} { -1} \end{matrix}\right|=0\end{align} \)

행렬 \(\displaystyle A\)의 \(\displaystyle 3\)행에 \(\displaystyle 2\)행을 대입하여 만든 행렬의 행렬식이므로 행렬의 두 행이 서로 같으므로 행렬식의 값은 \(\displaystyle 0\)이 된다.

(2) (1)의 과정을 열에 대하여 진행해도 똑같으므로 성립한다.

(3) 

\(\displaystyle A(adj A) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots& \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots &A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots &A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \cdots& \vdots\\A_{1n} & A_{2n} & \cdots &A_{nn} \end{pmatrix}\)

여기서 위의 행렬을 곱한 행렬의 \(\displaystyle (1,~2)\)의 성분을 구해보자. 앞의 행렬을 \(\displaystyle 1\)행 \(\displaystyle a_{\textcolor {red}{1} 1} , ~a_{\textcolor {red}{1}2},~  \cdots,~a_{\textcolor {red}{1}n}\)과 뒤의 행렬의 \(\displaystyle 2\)열 \(\displaystyle A_{\textcolor{blue}{2} 1} ,~ A_{\textcolor{blue}{2} 2} ,~ \cdots ,~A_{\textcolor{blue}{2}n} \)을 곱하면

\(\displaystyle a_{\textcolor {red}{1} 1} A_{ \textcolor{blue}{2} 1} +a_{\textcolor {red}{1} 2} A_{ \textcolor{blue}{2}2 }+ \cdots+a_{\textcolor {red}{1} n} A_{ \textcolor{blue}{2} n } =0\)

이번엔 \(\displaystyle (3,~3)\)의 성분을 구해보자. 앞의 행렬을 \(\displaystyle 3\)행 \(\displaystyle a_{\textcolor {red}{3} 1} , ~a_{\textcolor {red}{3}2},~  \cdots,~a_{\textcolor {red}{3}n}\)과 뒤의 행렬의 \(\displaystyle 3\)열 \(\displaystyle A_{\textcolor{blue}{3} 1} ,~ A_{\textcolor{blue}{3} 2} ,~ \cdots ,~A_{\textcolor{blue}{3}n} \)을 곱하면

\(\displaystyle a_{\textcolor {red}{3} 1} A_{ \textcolor{blue}{3} 1} +a_{\textcolor {red}{3} 2} A_{ \textcolor{blue}{3}2 }+ \cdots+a_{\textcolor {red}{3} n} A_{ \textcolor{blue}{n} n } =|A|\)

위의 예처럼 \(\displaystyle i=j\)이면 \(\displaystyle |A| \)이고 \(\displaystyle i \neq j\)이면 \(\displaystyle 0\)이 되므로

\(\displaystyle A(adj A) = \begin{pmatrix} |A| & 0 & \cdots &0&0 \\0& |A|& \cdots &0&0 \\ \vdots & \vdots &  \cdots&\vdots&\vdots\\0 &0 & \cdots& |A| &0  \\0 & 0 & \cdots &0&|A| \end{pmatrix} =|A| \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots &0&0 \\0& 1& \cdots &0&0 \\ \vdots & \vdots &  \cdots&\vdots &\vdots\\0 &0 & \cdots& 1&0  \\0 & 0 & \cdots &0&1 \end{pmatrix} \)

또, 위의 과정처럼 \(\displaystyle (adj A)A\)를 구하면  \(\displaystyle |A| I\)가 된다. 따라서 

\(\displaystyle \therefore~A(adj A)=(adj A)A= |A| I\)

 

정리4. \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A\)에 대하여 \(\displaystyle |A| \neq 0\)이면 행렬 \(\displaystyle A\)는 정칙행렬이고,

\(\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{|A|} adj A\)

이다.

(증명) 정리 3에서 \(\displaystyle  A(adj A)=(adj A)A= |A| I\)이고 \(\displaystyle |A| \neq 0\)이면 

\(\displaystyle A \left( \frac{1}{|A|} adj A \right)= \left( \frac{1}{|A|} adj A \right)A=\frac{1}{|A|} \left(A ~adj A \right)=\frac{1}{|A|} |A| I=I\)

이므로 행렬 \(\displaystyle A\)는 정칙이고, 역행렬의 유일성에 의해 \(\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{|A|} adj A\)이다.

예2. 행렬 \(\displaystyle  A =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\2 & 1 & -1 \\-2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\)의 역행렬을 구해보자. 

(풀이)

\(\displaystyle \begin{align} |A| &= \left|\begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\2 & 1 & -1 \\-2 & -1 & 2 \end{matrix}\right| =  \left|\begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\2 & 1 & -1 \\0 & 0& 1 \end{matrix}\right| \\&=1  \left|\begin{matrix} 1 & -2   \\2 & 1 \end{matrix}\right| =5   \end{align}\)

즉 \(\displaystyle   |A| =5 \neq 0\)이므로 \(\displaystyle A\)는 정칙행렬이다. 또, 정리 4에 의해

\(\displaystyle A^{-1}= \frac{1}{|A|} adj A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\-2 & 8 & 7 \\0 & 5 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5}  & -\frac{1}{5}  \\-\frac{2}{5}  & \frac{8}{5}  & \frac{7}{5}  \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

이다.

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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