[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)

2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1)

[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1)

앞의 글에서 행렬식의 정의에 대하여 알아 보았다.

여기서는 행렬식의 성질을 고찰해 보자.

$\displaystyle n$차 정사각행렬 $\displaystyle A$의 행렬식(determinant)는 $\displaystyle A$의 임의의 어느 한 행이나 열에 대해 여인수 전개해도 똑같으면 그 전개한 값을 행렬 $\displaystyle A$의 행렬식이라고 한다는 것은 알고 시작해 보자.

행렬식의 값을 구하는 것을 여러번 하다 보면 행 또는 열 중에서 $\displaystyle 0$의 개수가 많은 쪽으로 여인수 전개하는 것이 편하다는 것을 알게 된다. 재치있게 열 또는 행을 선택해서 계산해 보자. 예를 들어 다음 행렬을 생각해 보면,

$\displaystyle   A=\begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\ 3&1&2&2\\ 2&0&1&-2\\ 1&0&1&0\end{pmatrix}$

$\displaystyle 0$의 개수가 많은 행이나 열을 찾아보면 $\displaystyle 4$열 이다. 따라서 우리는 $\displaystyle 4$열로 여인수 전개해서 행렬식을 구하면 된다.

$\displaystyle \begin{align} |A|&=1 \times \left| \begin{matrix} 1&-1&0\\ 2&1&-2\\ 1&1&0\end{matrix}\right| \end{align}$

또 이번에는  $\displaystyle 3$열로 여인수 전개한다.

$\displaystyle \begin{align} |A|&=1 \times \left| \begin{matrix} 1&-1&0\\ 2&1&-2\\ 1&1&0\end{matrix}\right| \\& =1\times (-1)^{3+2}\times (-2)  \left| \begin{matrix}1&-1\\ 1&1\end{matrix}\right| \\&=4\end{align}$

 

정리1. $\displaystyle n$차 정사각행렬 $\displaystyle A=\left( a_{ij} \right)$가 삼각행렬(상삼각행렬, 하삼각행렬,  또는 대칭행렬)의 $\displaystyle det(A)$는 주대각선의 성분들의 곱이다. 즉 $\displaystyle det(A)=a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

증명은 수학적 귀납법으로 하면 된다. 

가볍게 $\displaystyle 4 \times 4$의 위삼각행렬(upper triangle matrix)에서 행렬식을 구해보자.

수학적 귀납법으로 증명하기 위해 행렬식을 $\displaystyle 4$행으로 즉, 마지막 행으로 여인수 전개를 계속해 가자.

$\displaystyle \begin{align} |A|&=\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ 0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{44} \\ 0&0&0&a_{44}\end{matrix}\right| =a_{44} \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{matrix}\right| \\&= a_{44}a_{33}  \left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12} \\ 0&a_{22}  \end{matrix}\right|  =a_{44}a_{33}a_{22}a_{11} \end{align}$

위처럼 마지막 행에 대해 계속 여인수 전개하면 된다. 

이제 귀납법으로 보이자.

(i) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle |A|=\left|  a_{11}\right| =a_{11}$이므로 성립

(ii) $\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & a_{13} &\cdots &\cdots &a_{1k}\\ 0&a_{22}&a_{23}&a_{24}&\cdots&a_{2k}\\0&0&a_{33}&a_{34}&\cdots& a_{3k}\\ \vdots&\cdots&&&\cdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&\cdots&0&a_{kk}\end{matrix}\right| =a_{11} a_{22}\cdots a_{kk}$ 라고 가정하자. 그러면 $\displaystyle n=k+1$일 때, $\displaystyle k+1$행에 대해 전개하면

$\displaystyle \begin{align} & \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & a_{13} &\cdots &\cdots &a_{1k}&a_{1~k+1}\\ 0&a_{22}&a_{23}&a_{24}&\cdots&a_{2k}&a_{2~k+1}\\0&0&a_{33}&a_{34}&\cdots&a_{3k}& a_{3~k+1}\\ \vdots&\cdots&&&&\cdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&\cdots&0&a_{k~k}&a_{k~k+1} \\ 0&0&\cdots&\cdots&0&0&a_{k+1~k+1}\end{matrix}\right| \\&=a_{k+1~k+1} \times \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & a_{13} &\cdots &\cdots &a_{1k}\\ 0 & a_{22} &a_{23} & a_{24}&\cdots& a_{2k}\\0&0 &a_{33}& a_{34}&\cdots& a_{3k}\\ \vdots&\cdots&&&\cdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&\cdots&0&a_{kk}\end{matrix} \right|  \\&=a_{11} a_{22}\cdots a_{kk} a_{\textcolor {red}{k+1~k+1}}\end{align}$

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.

 

정리2. 정사각행렬 $\displaystyle A=\left(a_{ij} \right)$가 모든 성분이 $\displaystyle0$인 행이 있거나 열이 있으면 $\displaystyle det(A)=0$이다.

(증명)  $\displaystyle A$의 행렬식은 임의의 행 또는 열에 대하여 여인수($\displaystyle  A_{ij}$) 전개해서 얻을 수 있으므로 모든 성분이 $\displaystyle0$인 행(또는 열)-$\displaystyle i$행(또는 열)-로 여인수 전개하면

$\displaystyle det(A)=0\times A_{i1}+0 \times A_{i2}+\cdots+0 \times A_{in} =0$

 

정리3. 정사각행렬 $\displaystyle  A$에 대하여 $\displaystyle det(A^T )=det(A)$이다.

(증명) 행렬 $\displaystyle A^T$은 행렬 $\displaystyle A$의 행과 열을 바꾸는 행렬이므로 행렬 $\displaystyle A^T$의 $\displaystyle i$행에 대하여 여인수 전개한 것은 행렬 $\displaystyle A$의 $\displaystyle i$열에 대하여 여인수 전개한 것가 같다. 따라서 $\displaystyle det(A^T )=det(A)$

 

정리4. 정사각행렬 $\displaystyle  A=\left(a_{ij} \right)_{n \times n}$에 대하여 다음이 성립함이 알려져 있다. (증명하기는 쉽지 않으니 받아 들이자!)

(1) 행렬 $\displaystyle A$의 임의의 행(또는 열)을 서로 바꿔서 만든 행렬을 $\displaystyle B$라 하면

$\displaystyle det(B)=-det(A)$이다. 즉,

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=-\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

(증명) 이 증명은 여인수 전개를 이용하여 행렬식을 정의하는 방법으로 증명하나 치환(permuation)을 이용하여 행렬식을 정의하는 방법으로 증명하나 둘 다 복잡합여 넘어가자. 알려져 있다. (?)  나중에 공부하여 새롭게 글을 써보겠다. 

$\displaystyle s$행과 $\displaystyle r$행을 바꾸는 연산을 아래의 (4)번 식과 (2)번식을 이용하여 증명하자. 즉 "행렬 $\displaystyle A$의 임의의 행(또는 열)을 $\displaystyle k$배 하여 다른 행에 더하여 만든 행렬을 $\displaystyle D$라 하면 $\displaystyle det(D)= det(A)$이다."

"행렬 $\displaystyle A$의 임의의 행(또는 열)을 $\displaystyle k$배 하여 만든 행렬을 $\displaystyle C$라 하면 $\displaystyle det(B)=k det(A)$이다."

① 먼저 $\displaystyle s$행과 $\displaystyle r$행를 더하여 $\displaystyle s$행에 대입하자. 그래도 행렬식은 변함이 없다.

$\displaystyle  \begin{matrix}  \\ \! \\ \textcolor{red}{s}행 \\   \! \\  \textcolor{blue}{r}행 \\  \!  \\ \end{matrix}  \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } & \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1}+a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{red}{s}2}+a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{red}{s}n} +a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

② $\displaystyle s$행에 $\displaystyle(-1)$를 곱하여 $\displaystyle r$행을 더한 것을 $\displaystyle r$행에 대입한다. 그래도 행렬식의 값은 변함이 없다.

$\displaystyle \begin{matrix}  \\ \! \\ \textcolor{red}{s}행 \\   \! \\  \textcolor{blue}{r}행 \\  \!  \\ \end{matrix}   \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1}+a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{red}{s}2}+a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{red}{s}n} +a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|= \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1}+a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{red}{s}2}+a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{red}{s}n} +a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\ -a_{\textcolor{red}{s}1} &-a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & -a_{\textcolor{red}{s}n}  \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

③ $\displaystyle r$행과 $\displaystyle s$행을 더해 $\displaystyle s$행에 대입한다. 그래도 행렬식은 변함이 없다.

$\displaystyle \begin{matrix}  \\ \! \\ \textcolor{red}{s}행 \\   \! \\  \textcolor{blue}{r}행 \\  \!  \\ \end{matrix}  \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1}+a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{red}{s}2}+a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{red}{s}n} +a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\ -a_{\textcolor{red}{s}1} &-a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & -a_{\textcolor{red}{s}n}  \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\  -a_{\textcolor{red}{s}1} &-a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & -a_{\textcolor{red}{s}n}  \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

④ $\displaystyle r$행을 $\displaystyle (-1)$을 곱한다. 그러면 행렬식의 부호가 반대가 된다.

$\displaystyle \begin{matrix}  \\ \! \\ \textcolor{red}{s}행 \\   \! \\  \textcolor{blue}{r}행 \\  \!  \\ \end{matrix}  \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\  -a_{\textcolor{red}{s}1} &-a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & -a_{\textcolor{red}{s}n}  \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right| =-\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\  a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}  \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

따라서

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=-\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

 

 

(2) 행렬 $\displaystyle A$의 임의의 행(또는 열)을 $\displaystyle k$배 하여 만든 행렬을 $\displaystyle C$라 하면 $\displaystyle det(B)=k det(A)$이다. 즉,

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\k a_{\textcolor{blue}{r}1} &k a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& k a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|= k \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

(증명) 행렬 $\displaystyle A =(a_{ij})_{n \times n}$의 $\displaystyle r$행을 $\displaystyle k$배 해서 만든 행렬을 $\displaystyle C=(c_{ij})_{n \times n}$라 해도 일반성을 잃지 않는다. 그러면

$\displaystyle c_{ij} =\begin{cases} k a_{ij}& (i=r) \\ a_{ij} &(i \neq r) \end{cases}$ 

$\displaystyle r$행에서 소행렬은 행렬 $\displaystyle A$나 행렬 $\displaystyle C$는 같다. 즉 행렬 $\displaystyle A$의 여인수를 $\displaystyle A_{ij}$, 행렬 $\displaystyle C$의 여인수를 $\displaystyle C_{ij}$라 하면 $\displaystyle r$행에서는 

$\displaystyle C_{\textcolor{red}{r}  j} =  A_{\textcolor{red}{r}  j}$

이제 행렬 $\displaystyle C$의 $\displaystyle r$행에 대하여 여인수 전개를 하여 행렬식을 구해보자.

$\displaystyle \begin{align} det(C) &=\sum_{i=1}^n c_{r i} A_{r i} = \sum_{i=1}^n k a_{r i} A_{r i} \\&= \sum_{i=1}^n   a_{r i} A_{r i} =k det(A) \end{align}$

$\displaystyle \therefore ~det(C)=k det(A)$

 

 

 

(3) 행렬 $\displaystyle C$의 $\displaystyle r$번째 행이 $\displaystyle A$의 $\displaystyle r$번째 행과 $\displaystyle B$의  $\displaystyle r$번째 행의 합이고, 나머지 부분에서는 세 행렬 $\displaystyle A,~B,~C$가 같다면 $\displaystyle det(C)=det(A)+ det(B)$이다. 주의 : 일반적으로는 $\displaystyle det(C)$와 $\displaystyle det(A)+ det(B)$는 서로 같지 않다.

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ \textcolor {red} {a_{r 1}+ b_{r1}} &\textcolor {red} {a_{r 2}+ b_{r2}}   & \cdots& \textcolor {red} {a_{r n}+ b_{rn}}  \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=  \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ \textcolor {red} {a_{r 1}} &\textcolor {red} {a_{r 2}} & \cdots& \textcolor {red} {a_{r n} } \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right| +\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ \textcolor {red} { b_{r1}} &\textcolor {red} { b_{r2}} & \cdots& \textcolor {red} { b_{rn}} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

이 행렬식의 성질을 가지고 행렬식은 각 행(또는 열)에 대해서만 독립적으로 선형성이 있다고 말한다. 

(증명) 행렬 $\displaystyle A_{n \times n}=(a_{ij})$, 행렬 $\displaystyle B_{n \times n}=(b_{ij})$와 행렬 $\displaystyle C_{n \times n}=(c_{ij})$에 대하여 행렬 $\displaystyle C$ 의 $\displaystyle \textcolor{red}{r}$번째 행의 성분 $\displaystyle c_{\textcolor{red} {r}i }= a_{\textcolor{red} {r}i }+b_{\textcolor{red} {r}i }$이고 $\displaystyle r$행를 제외한 모든 행에서는 $\displaystyle c_{ ij}=a_{ij}=b_{ij}$이다.

따라서 행렬 $\displaystyle A$, 행렬 $\displaystyle B$와 행렬 $\displaystyle C$의 $\displaystyle r$행의 여인수는 모두 같다. 각각의 여인수를 $\displaystyle A_{ij},~B_{ij},~C_{ij}$라 하면 $\displaystyle 1\leq j \leq n$에 대하여 

$\displaystyle A_{\textcolor{red}{r} j}=B_{\textcolor{red}{r} j}=C_{\textcolor{red}{r} j}$

이제 $\displaystyle \textcolor{red} {r}$행에서 행렬 $\displaystyle C$를 여인수 전개하여 행렬식을 구해보자.

$\displaystyle \begin{align}  det(C)&= \sum_{j=1}^n c_{\textcolor {red} r j} C_{\textcolor{red}{r} j} =\sum_{j=1}^n (a_{\textcolor {red} r j}+b_{\textcolor {red} r j}) C_{\textcolor{red}{r} j}\\&   = \sum_{j=1}^n (a_{\textcolor {red} r j} A_{\textcolor{red}{r} j} +b_{\textcolor {red} r j} B_{\textcolor{red}{r} j} )\\&=  \sum_{j=1}^n a_{\textcolor {red} r j} A_{\textcolor{red}{r} j} +\sum_{j=1}^n b_{\textcolor {red} r j} B_{\textcolor{red}{r} j} \\&=det(A)+det(B) \end{align}$

$\displaystyle \therefore~det(C)=det(A)+det(B)$

 

 

(4) 행렬 $\displaystyle A$의 임의의 행(또는 열)을 $\displaystyle k$배 하여 다른 행에 더하여 만든 행렬을 $\displaystyle D$라 하면 $\displaystyle det(D)= det(A)$이다.

$\displaystyle \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1}+k a_{\textcolor{red}{s}1 }  &a_{\textcolor{blue}{r}2 } + k a_{\textcolor{red}{s}2 }  & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} +k a_{\textcolor{red}{s}n } \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } & a_{\textcolor{red}{s}3} \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|$

(증명) (3)의 성질을 이용하여 행렬 $\displaystyle D$의 행렬식을 두 행렬의 행렬식으로 분리하자. 또 (2)의 성질을 이용하여 $\displaystyle k$를 묶어 낼 수 있고 두 행이 같은 행렬이면 행렬식의 값이 $\displaystyle 0$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle\begin{align} det(D)&=\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1}+k a_{\textcolor{red}{s}1 }  &a_{\textcolor{blue}{r}2 } + k a_{\textcolor{red}{s}2 }  & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} +k a_{\textcolor{red}{s}n } \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|  \\& =\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } & a_{\textcolor{red}{s}3} \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|+ \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\ k a_{\textcolor{red}{s}1 }  & k a_{\textcolor{red}{s}2 }  & \cdots& k a_{\textcolor{red}{s}n } \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right| \\&=\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } & a_{\textcolor{red}{s}3} \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|+ \textcolor{red}{k} \left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } &  \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n} \\\vdots&\vdots & &\vdots \\   a_{\textcolor{red}{s}1 }  &   a_{\textcolor{red}{s}2 }  & \cdots&   a_{\textcolor{red}{s}n } \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|  =\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } & a_{\textcolor{red}{s}3} \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|+ \textcolor{red}{0} \\& =\left| \begin{matrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{red}{s}1} &a_{\textcolor{red}{s}2 } & a_{\textcolor{red}{s}3} \cdots & a_{\textcolor{red}{s}n}\\\vdots&\vdots & &\vdots \\a_{\textcolor{blue}{r}1} &a_{\textcolor{blue}{r}2 } & \cdots& a_{\textcolor{blue}{r}n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|  =det(A)\end{align}$

 

이 정리는 기본행연산을 했을 때, 행렬식이 어떻게 되는지에 관한 것으로 행렬을 행사다리꼴 행렬로 만든다면 행렬식 계산을 조금 더 쉽게 할 수 있다는 것을 보여 준다.

이제 $\displaystyle A$에 기본행연산을 하는 것은 행렬 $\displaystyle A$에 기본행렬을 곱하는 것으로 나타낼 수 있으므로 정리 4와 기본행렬의 행렬식의 값을 이용하면 행렬 $\displaystyle A$와 기본행렬 $\displaystyle E$에 대하여

$\displaystyle det(EA)=det(E) det(A)$

가 성립함을 보일 수 있고 이를 이용하여 선행대수학의 핵심인

$\displaystyle det(AB)=det(A) det(B)$

가 성립함을 보일 수 있다.

이제 기본행렬의 행렬식의 값을 구해보자. 그러기 위해서는 기본행렬이 무엇인지 정의한 아래의 글을 참조하자.

2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬

[더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬

위의 글에서 기본행 연산과 기본행렬을 정의했듯이 $\displaystyle n$차 단위행렬 $\displaystyle I_{n \times n}$에 기본행 연산을 오직 한번만 수행하여 얻어지는 행렬을 기본행렬(elementary matrix)라고 한다.

 

정리5. $\displaystyle E$는 기본행렬이고, $\displaystyle I_{n }$은 $\displaystyle n$차 단위행렬이라 할 때, 기본행렬의 행렬식은 다음이 성립한다.

(1) $\displaystyle E$가 $\displaystyle I_{n }$의 한 행에 영이 아닌 스칼라 $\displaystyle k$를 곱하여 얻어지는 기본행렬이면 $\displaystyle det(E)=k$이다.

(2) $\displaystyle E$가 $\displaystyle I_{n }$의 두 행을 교환하여 얻어지는 기본행렬이면 $\displaystyle det(E)=-1$이다.

(3) $\displaystyle E$가 $\displaystyle I_{n }$의 한 행의 상수배를 하여 다른 행에 더하여 얻어지는 기본행렬이면 $\displaystyle det(E)=1$이다.

 

(증명) (1) $\displaystyle I_{n }$의 $\displaystyle i$행에 영이 아닌 스칼라 $\displaystyle k$를 곱하여 얻어지는 기본행렬이라면 기본행렬 $\displaystyle E$은 $\displaystyle (i,~i)$의 성분이 $\displaystyle k$이고 다른 주대각선의 성분은 모두 $\displaystyle1$인 대각행렬이다. 

$\displaystyle E=\begin{pmatrix} \textcolor {red}{1} &0 & &\cdots& &0 \\ 0 &\textcolor {red}{1}  && \cdots& &0  \\\vdots&\vdots &&& &\vdots \\0 &\cdots  && \textcolor {red}{k}  &\cdots & 0\\ \vdots&\vdots &&& &\vdots \\0 &\cdots& &&\textcolor {red}{1}  &0 \\0 &\cdots&&& 0 &\textcolor {red}{1} \end{pmatrix}$

따라서 대각행렬의 행렬식은 주대각선의 곱이므로

$\displaystyle det(E)= 1 \times 1 \times \cdots \times k \times \cdots \times 1 =k$

(3)부터 먼저 증명하자. $\displaystyle I_{n }$의 $\displaystyle i$행에 영이 아닌 스칼라 $\displaystyle k$를 곱하여 $\displaystyle j$행하여 얻어지는 기본행렬이라면 기본행렬 $\displaystyle E$는 주대각선의 성분은 모두 $\displaystyle 1$이고 $\displaystyle (i,~j)$의 성분이 $\displaystyle k$인 행렬이다. 이 행렬은 삼각행렬이므로 이 행렬의 행렬식은 주대각선의 성분의 곱이므로 $\displaystyle det(E)= 1$이다.

행렬로 표현하기 힘들어 예를 들어 $\displaystyle 1$행에 $\displaystyle k$배하여 $\displaystyle 3$행에 더하는 기본행렬을 표현해 보면 아래와 같다.

$\displaystyle \left| \begin{matrix} \textcolor{red}{1}  &0 & 0& \cdots &0 \\ 0&\textcolor{red}{1}  & 0&\cdots &0\\ \textcolor{red}{k} &0 &\textcolor{red}{1}  &\cdots &0\\\vdots&\vdots & &\vdots \\\cdots  &\cdots  & \cdots& \textcolor{red}{1} &\cdots \\ 0&0 &0 &\cdots&\textcolor{red}{1}  \end{matrix}\right|=1$

(2) $\displaystyle E$가 $\displaystyle I_{n }$의 $\displaystyle i$행과 $\displaystyle j$행을 교환하여 얻어지는 기본행렬이고 하자. 그러면 $\displaystyle det(E)=-1$임을 보이자.

이해하기 쉽게 $\displaystyle1$과 $\displaystyle 3$행를 교환하는 기본행렬에서 생각하자.

단위행렬 $\displaystyle I_n$의 행렬식은 $\displaystyle 1$이다. 즉 $\displaystyle det(I_n )=1$

먼저 $\displaystyle I_n$의 $\displaystyle 1$행과 $\displaystyle 3$행을 더해 $\displaystyle1$행에 대입하자. 이 연산은 (3)의 연산이므로 $\displaystyle det$의 값은 변함이 없다.

$\displaystyle 1= \left| \begin{matrix} \textcolor{red}{1}  &0 & 0& \cdots &0 \\ 0&\textcolor{red}{1}  & 0&\cdots &0\\ 0 &0 &\textcolor{red}{1}  &\cdots &0\\\vdots&\vdots & &\vdots \\\cdots  &\cdots  & \cdots& \textcolor{red}{1} &\cdots \\ 0&0 &0 &\cdots&\textcolor{red}{1}  \end{matrix}\right| =\left| \begin{matrix} \textcolor{red}{1}  &0 & \textcolor{red}{1}& \cdots &0 \\ 0&\textcolor{red}{1}  & 0&\cdots &0\\ 0 &0 &\textcolor{red}{1}  &\cdots &0\\\vdots&\vdots & &\vdots \\\cdots  &\cdots  & \cdots& \textcolor{red}{1} &\cdots \\ 0&0 &0 &\cdots&\textcolor{red}{1}  \end{matrix}\right|$

여기서 $\displaystyle 1$행에 $\displaystyle (-1)$을 곱하여 $\displaystyle 3$행에 더하자. 이 연산 역시 (3)의 연산이므로 $\displaystyle det$의 값은 변함이 없다.

$\displaystyle 1=\left| \begin{matrix} \textcolor{red}{1}  &0 & \textcolor{red}{1}& \cdots &0 \\ 0&\textcolor{red}{1}  & 0&\cdots &0\\ \textcolor{red}{-1} &0 &\textcolor{red}{0}  &\cdots &0\\\vdots&\vdots & &\vdots \\\cdots  &\cdots  & \cdots& \textcolor{red}{1} &\cdots \\ 0&0 &0 &\cdots&\textcolor{red}{1}  \end{matrix}\right|$

또, $\displaystyle 3$행과 $\displaystyle 1$행을 더해 $\displaystyle 1$행에 대입하자. 그래도 여전히 $\displaystyle det$의 값은 변함이 없다.

$\displaystyle 1=\left| \begin{matrix} \textcolor{red}{0}  &0 & \textcolor{red}{1}& \cdots &0 \\ 0&\textcolor{red}{1}  & 0&\cdots &0\\ \textcolor{red}{-1} &0 &\textcolor{red}{0}  &\cdots &0\\\vdots&\vdots & &\vdots \\\cdots  &\cdots  & \cdots& \textcolor{red}{1} &\cdots \\ 0&0 &0 &\cdots&\textcolor{red}{1}  \end{matrix}\right|$

이제 $\displaystyle 3$행에 $\displaystyle (-1)$을 곱하면

$\displaystyle 1=-\left| \begin{matrix} \textcolor{red}{0}  &0 & \textcolor{red}{1}& \cdots &0 \\ 0&\textcolor{red}{1}  & 0&\cdots &0\\ \textcolor{red}{1} &0 &\textcolor{red}{0}  &\cdots &0\\\vdots&\vdots & &\vdots \\\cdots  &\cdots  & \cdots& \textcolor{red}{1} &\cdots \\ 0&0 &0 &\cdots&\textcolor{red}{1}  \end{matrix}\right| =-det(E)$

$\displaystyle \therefore ~det(E)=-1$

 

다음 글에서 $\displaystyle det(AB)=det(A) det(B)$가 성립함을 보이겠다.