[더플러스수학] 과고 1학년1학기 중간대비 킬러문항(카톡제공)-1,2

1. 임의의 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle x \)의 다항식 \(\displaystyle f ( x) \)가

\(\displaystyle f ( x ^{2} )=x ^{3} f ( x+1)-2x ^{4} +2x ^{2} \)

을 만족할 때, \(\displaystyle f ( 0)=f ( 1)=f ( 2)=0 \)임을 보이고 \(\displaystyle f ( x) \)를 구하여라. (단, 모든 실수 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle f ( x)=0 \)인 것은 아니다. 즉 \(\displaystyle f ( x _{0} ) \neq 0 \)인 실수 \(\displaystyle x _{0} \)가 존재한다.)

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(풀이)

정답 \(\displaystyle f ( x)=x ( x-1) ( x-2) \)

\(\displaystyle f ( x ^{2} )=x ^{3} f ( x+1)-2x ^{4} +2x ^{2} \)\(\displaystyle \cdots \cdots \)①

에서 주어진 식의 \(\displaystyle x \)에 \(\displaystyle x=0 \)을 대입하면

\(\displaystyle f ( 0)=0 \)

또, \(\displaystyle x=1 \)을 대입하면 \(\displaystyle f ( 1)=f ( 2)-1+1 \)

\(\displaystyle \therefore ~f ( 1)=f ( 2) \)

\(\displaystyle x=-1 \)을 대입하면 \(\displaystyle f ( 1)=-f ( 0)-2+2 \)

\(\displaystyle \therefore \)\(\displaystyle f ( 1)=0 \)

따라서 \(\displaystyle f ( 0)=f ( 1)=f ( 2)=0 \)이다.

한편 \(\displaystyle f ( x) \)는 다항식이므로 차수가 \(\displaystyle n \)이라 하자. 그러면

좌변의 차수는 \(\displaystyle 2n \)

우변의 차수는 \(\displaystyle n+3 \), 또는 \(\displaystyle 4 \)차

(i) \(\displaystyle 2n=n+3 \)일 때, \(\displaystyle n=3 \)

\(\displaystyle f ( 0)=f ( 1)=f ( 2)=0 \)이므로

\(\displaystyle f ( x)=ax ( x-1) ( x-2) \) (\(\displaystyle a \neq 0 \)) \(\displaystyle \cdots \cdots \)②라 둘 수 있다.

①에 \(\displaystyle x=-2 \)를 대입하면

\(\displaystyle f ( 4)=-8f ( -1)-2 \times ( -2) ^{4} +2 \times \left ( -2 \right) ^{2} \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle f ( 4)+8f ( -1)=-24 \)

②에 \(\displaystyle x=4,~-1 \)을 대입하여 \(\displaystyle f ( 4) \)와 \(\displaystyle f ( -1) \)을 구하면

\(\displaystyle f ( 4)=a \times 4 \times 3 \times 2=24a \)

\(\displaystyle f ( -1)=a \times ( -1) \times ( -2) \times ( -3)=-6a \)

\(\displaystyle \therefore ~ \)\(\displaystyle 24a+8 \times ( -6a)=-24 \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle a=1 \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle f ( x)=x ( x-1) ( x-2) \)

(ii) \(\displaystyle 2n=4 \)일 때, \(\displaystyle n=2 \)

그런데 \(\displaystyle f ( x) \)의 차수는 \(\displaystyle 2 \)차인데 \(\displaystyle f ( x)=0 \)의 근은 \(\displaystyle 0,~1,~2 \)의 \(\displaystyle 3 \)개이다.

이는 모든 실수 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle f ( x)=0 \)이다. 이것은 가정에 모순이다.

 

 

2. 집합 \(\displaystyle S \)를

\(\displaystyle S= \left\{\, x+y \sqrt {2} \, \vert \, x ,~ y \right . \) 는 정수이고, \(\displaystyle x ^{2} -2y ^{2} =1 \) 이며, \(\displaystyle x+y \sqrt {2} > 0 \left. \right\} \)

이라 할 때, <’80 서울대 공통>

(1) \(\displaystyle \alpha , \beta \in S \) 이면, \(\displaystyle \alpha \beta \in S \)이고 \(\displaystyle \frac {1} {\alpha } \in S \)임을 보여라.

(2) \(\displaystyle 1 < \alpha < 3+2 \sqrt {2} \) 인 \(\displaystyle \alpha \)는 \(\displaystyle S \)에 존재하지 않음을 보여라.

(3) \(\displaystyle S= \left\{ \, ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n} \, \vert \,  n \right . \)은 정수\(\displaystyle \left. \right\} \)임을 보여라.

 

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 (풀이)

정답 해설참조

(1) \(\displaystyle \alpha =p+q \sqrt {2} \), \(\displaystyle \beta =r+s \sqrt {2} \) (\(\displaystyle p,~q,~r,~s \)는 정수, \(\displaystyle p ^{2} -2q ^{2} =1 \), \(\displaystyle r ^{2} -2s ^{2} =1 \))이라 두면 \(\displaystyle \alpha ,~ \beta \)는 집합 \(\displaystyle S \)의 원소이다.

\(\displaystyle \begin{align} \alpha \beta & = ( p+q \sqrt {2} ) ( r+s \sqrt {2} ) \\& =pr+2qs+ ( ps+qr) \sqrt {2} \end{align}\)

여기서 \(\displaystyle pr+2qs,~ps+qr \)는 정수이다. 또,

\(\displaystyle \begin{align} ( pr+2qs) ^{2} -2 ( ps+qr) ^{2} &= ( p ^{2} r ^{2} -2p ^{2} s ^{2} )+4 ( q ^{2} s ^{2} -q ^{2} r ^{2} ) \\& =p ^{2} r ^{2} +4q ^{2} s ^{2} -2 ( p ^{2} s ^{2} +q ^{2} r ^{2} ) \\& =p ^{2} ( r ^{2} -2s ^{2} )-2q ^{2} ( r ^{2} -2s ^{2} ) \\& = ( p ^{2} -2q ^{2} ) ( r ^{2} -2s ^{2} ) \\& =1 \end{align}\)

따라서 \(\displaystyle \alpha \beta \in S \)

또,

\(\displaystyle \begin{align} \frac {1} {\alpha } &= \frac {1} {p+q \sqrt {2}} = \frac {p-q \sqrt {2}} { ( p+q \sqrt {2} ) ( p-q \sqrt {2} )} \\& = \frac {p-q \sqrt {2}} {p ^{2} -2q ^{2}} =p-q \sqrt {2} \end{align}\)

여기서 \(\displaystyle p,~-q \)는 정수이고 \(\displaystyle p ^{2} -2 ( -q) ^{2} =p ^{2} -2q ^{2} =1 \)이므로

\(\displaystyle \frac {1} {\alpha } \in S \)

 

(2) \(\displaystyle 1 < \alpha < 3+2 \sqrt {2} \)   \(\displaystyle \cdots \cdots \)①

인 \(\displaystyle \alpha \in S \)가 존재한다고 가정하자.

(1)에 의해 \(\displaystyle \frac {1} {\alpha } \in S \)이므로 ①의 역수를 취하면

\(\displaystyle \frac {1} {3+2 \sqrt {2}} =3-2 \sqrt {2} < \frac {1} {\alpha } < 1 \)   \(\displaystyle \cdots \cdots \)　②

\(\displaystyle \alpha =x+y \sqrt {2} \) (\(\displaystyle x,~y \)는 정수, \(\displaystyle x ^{2} -2y ^{2} =1 \))이라 하면 ①은

\(\displaystyle 1 < x+y \sqrt {2} < 3+2 \sqrt {2} \)    \(\displaystyle \cdots \cdots \)　③

또, \(\displaystyle \frac {1} {\alpha } \)는

\(\displaystyle \frac {1} {\alpha } = \frac {1} {x+y \sqrt {2}} =x-y \sqrt {2} \)

이므로 이것을 ②에 넣어 정리하면

\(\displaystyle 3-2 \sqrt {2} < x-y \sqrt {2} < 1 \) \(\displaystyle \cdots \cdots \)④

③-④를 하면

\(\displaystyle 0 < 2y \sqrt {2} < 4 \sqrt {2} \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle 0 < y < 2 \)

\(\displaystyle y \)는 정수이므로

\(\displaystyle y=1 \)

\(\displaystyle x ^{2} -2y ^{2} =1 \)에서

\(\displaystyle x ^{2} =3 \), \(\displaystyle x= +- \sqrt {3} \)

그런데 \(\displaystyle x \)는 정수이므로 \(\displaystyle x \)의 값은 존재하지 않는다.

즉 집합 \(\displaystyle S \)의 원소인 \(\displaystyle \alpha \)는 존재하지 않는다.

(3) \(\displaystyle 3+2 \sqrt {2} \in S \) (\(\displaystyle \because \) \(\displaystyle 3 ^{2} -2 \times 2 ^{2} =1 \))이고 (1)에 의해 \(\displaystyle \frac {1} {3+2 \sqrt {2}} \in S \)이므로 \(\displaystyle ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n} \) (\(\displaystyle n \)은 정수)는 집합 \(\displaystyle S \)의 원소이다.

따라서

\(\displaystyle \left\{ \,  ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n} \,  \vert \,  n \right . \)은 정수\(\displaystyle \left. \right \} \)\(\displaystyle \subset S \)

이다.

이제 \(\displaystyle S \subset \)\(\displaystyle \left\{ ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n} \vert n \right. \)은 정수\(\displaystyle \left.\right\} \)임을 귀류법으로 보이자.

\(\displaystyle a+b \sqrt {2} \)\(\displaystyle \in S \)이고 \(\displaystyle ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n} \)꼴이 아닌 원소가 존재한다고 가정하면 다음 조건을 만족하는 정수 \(\displaystyle N \)을 잡을 수 있다.

\(\displaystyle ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{N} < a+b \sqrt {2} < ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{N+1} \)   \(\displaystyle \cdots \cdots \)(i)

(1)에 의해 집합 \(\displaystyle S \)의 원소 중에는 \(\displaystyle \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{N}} \)이 존재하고 집합 \(\displaystyle S \)는 곱셈에 닫혀 있으므로 (i)의 양변에 \(\displaystyle \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{N}} \)을 곱하면

\(\displaystyle 1 < ( a+b \sqrt {2} ) \times \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{N}} < 3+2 \sqrt {2} \)

이고 \(\displaystyle ( a+b \sqrt {2} ) \times \frac {1} { ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{N}} \)는 집합 \(\displaystyle S \)의 원소이다.

그런데 이것은 (2)에 모순이다.

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle S \subset \)\(\displaystyle \left\{\, ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n}\,  \vert n \right . \)은 정수\(\displaystyle \left.\right\} \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle S= \left\{ \, ( 3+2 \sqrt {2} ) ^{n} \,  \vert \,  n \right . \)은 정수\(\displaystyle \left.\right\} \)