[과고1] 수2 방과 후 프린트 [더플러스수학]

 

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 롤의 정리
함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌 구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이고, 열린 구간 \(\displaystyle (a, ~b)\)에서 미분가능할 때, \(\displaystyle f(a)=f(b)\)이면, \(\displaystyle f'(c)=0\)인 \(\displaystyle c\)가 \(\displaystyle a\)와 \(\displaystyle b\) 사이에 적어도 하나 존재한다.
(나) 함수 \(\displaystyle f( x),~g(x)\)와 실수 \(\displaystyle k\)에 대하여 \(\displaystyle g(x)=e^{kx} f(x)\) 이면 방정식 \(\displaystyle f(x) =0\)과 \(\displaystyle g(x) =0\)의 실근은 같다.
(다) 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 미분가능하고 \(\displaystyle f'(x )\)도 미분가능하면, 함수 \(\displaystyle f(x)\)는 두 번 미분가능하다고 한다.

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(1) 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 두 번 미분가능하고 방정식 \(\displaystyle f(x)=0\)의 서로 다른 실근이 \(\displaystyle m~(m \geq 3\))개이면, 방정식 \(\displaystyle f''(x)=0\)의 서로 다른 실근은 적어도 \(\displaystyle m-2\)개임을 보이시오
(2) 삼차함수 \(\displaystyle f(x)\)에 대하여 방정식 \(\displaystyle f(x) =0\)의 서로 다른 실근이 세 개라고 하자.
\(\displaystyle g(x) =e^x f(x)\) 로 놓았을 때, \(\displaystyle f''(0) = g''(0) =0\) 이면, \(\displaystyle 0 \)이 방정식 \(\displaystyle f(x) =0\)의 근이 될 수 있는지, 없는지 설명하시오.
(3) 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 두 번 미분가능하고 방정식 \(\displaystyle f(x) =0\)의 서로 다른 세 실근이면, 다음 방정식의 실근이 있음을 보이시오,

\(\displaystyle f(x )+6f'(x)+9f''(x)=0\)

 

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정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle f(x)=0\)의 서로 다른 세 실근을 \(\displaystyle \alpha_1 ,~\alpha_2 ,~\cdots,~\alpha_m ~(m \geq 3) )\)라 하자. 그러면 함수 \(\displaystyle f\)가 두 번 미분가능하므로 평균값의 정리를 두번 쓸 것이다.
구간 \(\displaystyle [\alpha_i ,~\alpha_{i+1}]~(i=1,~2,~\cdots,~m-1)\)에서 함수 \(\displaystyle f\)가 연속이고, \(\displaystyle (\alpha_i ,~\alpha_{i+1})\)에서 미분가능하고, \(\displaystyle f(\alpha_i)=f(\alpha_{i+1})=0\)이므로 롤의 정리에 의해

\(\displaystyle f'(c_i )=0\)

인 \(\displaystyle c_i \in (\alpha_i ,~\alpha_{i+1})\)가 존재한다. 여기서 \(\displaystyle i\)는 \(\displaystyle 1,~2,~\cdots,~m-1\)이므로 \(\displaystyle f'(x)=0\)의 근은 \(\displaystyle m-1\)개 이상이다. 즉,

\(\displaystyle a_1 < c_{\textcolor{red}{1}} < a_2 < c_{\textcolor{red}{2}} < a_3 < \cdots < a_i < c_{\textcolor{red}{i}} < a_{i+1} < \cdots < a_{m-1} < c_{\textcolor{red}{m-1}} <a_m \)

이제 닫힌 구간 \(\displaystyle [c_i ,~c_{i+1}]\)에서 함수 \(\displaystyle f'\)가 연속이고 열린 구간 \(\displaystyle (c_i ,~c_{i+1})\)에서 미분가능하다. 또, \(\displaystyle f'(c_i )=0=f'(c_{i+1})\)이므로 롤 정리에 의해

\(\displaystyle f''(d_i )=0\)

를 만족하는 \(\displaystyle d_i \)가 열린구간 \(\displaystyle (c_i ,~c_{i+1})\)에 적어도 하나 존재한다. 그런데 여기서 \(\displaystyle i\)는 \(\displaystyle 1,~2,~\cdots,~m-1\)이므로 \(\displaystyle f''(x)=0\)인 \(\displaystyle x\)가 \(\displaystyle m-1\)이상이다.
(2) \(\displaystyle 0\)이 \(\displaystyle f(x)=0\)의 근이 될 수 없다. 이를 귀류법으로 증명하자. 즉, \(\displaystyle f(0)=0\)이라 가정하자.
그러면 \(\displaystyle g(0)=e^0 f(0)=0\)이므로 \(\displaystyle g(0)=0\)
\(\displaystyle g(x)=e^x f(x)\)를 미분하면
\(\displaystyle g'(x)= e^x f(x)+ e^x f'(x)=e^x \left\{ f(x)+f'(x)\right\}\)
또, 함수 \(\displaystyle g(x)=e^x f(x)\)를 두 번 미분하면
\(\displaystyle\begin{align} g''(x) & =\left[e^x \left\{ f(x)+f'(x)\right\}\right]'\\&= e^x \left\{ f(x)+f'(x)\right\} + e^x \left\{ f'(x)+f''(x)\right\}\\&= e^x \left\{ f(x)+2f'(x)+f''(x)\right\}\end{align}\)
위의 식에 \(\displaystyle x=0\)을 대입하고 \(\displaystyle g''(0)=f''(0)=0\)과 \(\displaystyle f(0)=0\)임을 이용하면
\(\displaystyle 0=g''(0)=e^0 \left\{f(0)+2f'(0)+f''(0)\right\}=2f'(0)\) \(\displaystyle \therefore~f'(0)=0\)
즉, \(\displaystyle f(0)=0,~f'(0)=0,~f''(0)=0\)
따라서 \(\displaystyle f(x)\)가 삼차함수이므로 위의 식을 이용하여 \(\displaystyle f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d~ (a \neq 0)\)로 놓고 대입하면
\(\displaystyle f(x)=ax^3\)
이다. 그런데 \(\displaystyle f(x)=ax^3=0\)의 근의 개수는 오직 하나이다. 이것은 서로 다른 세 근을 갖는다는 가정과 모순이다.
따라서 \(\displaystyle f(0) \neq 0\)
즉 \(\displaystyle 0\)은 \(\displaystyle f(x)=0\)의 근이 될 수 없다.
(3) 삼차함수 \(\displaystyle f(x)\)가 두 번 미분가능하면 \(\displaystyle g(x)=e^{\frac{1}{3}x} f(x)\)라 두면 함수 \(\displaystyle g(x)\)도 두 번 미분가능하다. 또, 함수 \(\displaystyle f(x)=0\)이 서로 다른 세 근을 가지면 제시문 (나)에 의해 \(\displaystyle g(x)=e^{\frac{1}{3}x} f(x)=0\)도 서로 다른 세 실근을 갖는다.
따라서 (1)에 의해 \(\displaystyle g''(x)=0\)는 적어도 한 개의 실근을 갖는다. 즉,
\(\displaystyle g'(x)= \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3}x} f(x)+ e^{\frac{1}{3}x} f'(x)=e^{\frac{1}{3}x} \left\{ \frac{1}{3} f(x)+f'(x)\right\}\)
\(\displaystyle\begin{align} g''(x) &=\left[e^{\frac{1}{3}x} \left\{ \frac{1}{3} f(x)+f'(x) \right\} \right]'\\&= \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3}x} \left\{ \frac{1}{3} f(x)+f'(x) \right\}+ e^{\frac{1}{3}x}\left\{ \frac{1}{3} f'(x)+f''(x)\right\}\\&= \frac{1}{9} e^{\frac{1}{3}x} \left\{ f(x)+6f'(x)+9f''(x)\right\}=0\end{align}\)
\(\displaystyle\therefore~ f(x)+6f'(x)+9f''(x)=0\)
의 실근이 존재한다.

 

2016학년도 KAIST 구술면접 기출 수학A

 

중심이 원점이고, 초점이 \(\displaystyle x\)축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이가 \(\displaystyle 2a\)이고 단축의 길이가 \(\displaystyle 2b\)일 때, 이 타원을 \(\displaystyle  E_{a,b}\)라고 하자. (\(\displaystyle  a>b>0\). 

(1) 음함수의 미분법을 이용하여 타원 \(\displaystyle E_{a,b}\) 위의 점 \(\displaystyle (x_0,~y_0)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (2점) 

(2) 타원 \(\displaystyle E_{a,b}\) 밖의 점 \(\displaystyle \mathrm P_1 (x_1 ,~y_1)\)에서 타원 \(\displaystyle E_{a,b}\)에 두 개의 접선을 그을  때 만들어지는 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오. (3점) 

(3) 어떤 실수 \(\displaystyle t_1 \)에 대하여 \(\displaystyle \mathrm P_1 (2a \cos t_1,~2b \sin t_1 )\)이라고 하자. \(\displaystyle \mathrm P_1 \)에서 타원 \(\displaystyle E_{a,b}\)에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 구하시오. 또한, 세 꼭짓점이 모두 타원 \(\displaystyle E_{2a,2b}\) 위에 있고 세 변이 모두 타원 \(\displaystyle E_{a,b}\)와 접하는 삼각형을 구하시오. (5점)

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정답 및 풀이

(1) 장축의 길이가 \(\displaystyle 2a \), 단축의 길이가 \(\displaystyle 2b \)인 타원은

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

이 식을 음함수 미분법을 이용하여 미분하고 \(\displaystyle (x_0,~y_0) \)을 대입하여 접선의 기울기를 구하면

\(\displaystyle \frac{2x}{a^2}+ \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx}=0\)

\(\displaystyle \frac{2x_0}{a^2}+ \frac{2y_0}{b^2} \frac{dy}{dx}=0\)

\(\displaystyle \therefore~  \frac{dy}{dx}=- \frac{x_0 b^2}{y_0a^2} \)

따라서 접선의 방정식은

\(\displaystyle y-y_0 =- \frac{x_0 b^2}{y_0a^2} (x-x_0)\)

\(\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\)임을 이용하면

\(\displaystyle \therefore ~\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1\)

(2) 

장축의 길이가 \(\displaystyle 2a \), 단축의 길이가 \(\displaystyle 2b \)인 타원 \(\displaystyle E_{a,b}\)은

\(\displaystyle E_{a,b}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

(1)에 의해 위의 점 \(\displaystyle \mathrm Q (x_0 ,~y_ 0 ),~\mathrm R (x_2 ,~y_2 )\)에서의 접선의 방정식은 

\(\displaystyle \overleftrightarrow{\mathrm {P_1 Q}} : \frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1\) 

\(\displaystyle \overleftrightarrow{\mathrm {P_1 R}} : \frac{x_2 x}{a^2}+\frac{y_2 y}{b^2}=1\)

위의 두 직선은 모두 \(\displaystyle \mathrm P_1 (x_1,~y_1) \)을 지나므로 대입하면

\(\displaystyle \frac{x_0 x_1}{a^2}+\frac{y_0 y_1}{b^2}=1\)    \(\displaystyle \cdots\cdots ~①\)

\(\displaystyle   \frac{x_2 x_1}{a^2}+\frac{y_2 y_1}{b^2}=1\)      \(\displaystyle \cdots\cdots ~②\)

이다. 위의 두 식을 다르게 해석해보자. 먼저 다음 직선을 생각해보자.

\(\displaystyle \frac{\textcolor{red}{x}  x_1 }{a^2}+\frac{\textcolor{red}{y} y_1}{b^2}=1\) 

이 식에 \(\displaystyle \mathrm Q (x_0,~y_0) \), \(\displaystyle \mathrm R (x_2,~y_2) \)을 대입한 것이 ①, ②이다.

또, 위의 식은 \(\displaystyle x,~y\) 에 대한 일차방정식이므로 두 점 \(\displaystyle \mathrm {Q ,~R} \)을 지나는 직선이다. 

이 직선을 극선의 방정식이라고 한다. 다음 글을 참조하시길...

2019.12.13 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 이차곡선과 극선-1

[수학의 기초] 이차곡선과 극선-1

 

(3) (2)의 결과를 이용하자. 점 \(\displaystyle \mathrm P_1 (2a \cos t_1 ,~2b \sin t_1 ) \)에서 타원 \(\displaystyle E_{a,~b}\)에 그은 두 접점을 지나는 직선의 방정식은

\(\displaystyle \frac{ 2a \cos t_1 x}{a^2}+\frac{2b \sin t_1 {y} }{b^2}=1\) 

타원 \(\displaystyle E_{a,~b}\) 위의 접점을 \(\displaystyle \mathrm Q (a \cos t_0 ,~b \sin t_0 ) \)로 나타내어 위의 식에 대입하자.

\(\displaystyle \frac{ 2a \cos t_1 \textcolor{red}{a \cos t_0 }}{a^2}+\frac{2b \sin t_1 \textcolor{red}{ b \sin t_0} }{b^2}=1\) 

\(\displaystyle   2 \cos t_1   \cos t_0  + 2  \sin t_1   \sin t_0 =1\) 

\(\displaystyle   2 \cos (t_0 -t_1)=1 ~~~~\cos(t_1 -t_0)=\frac{1}{2}\)  

\(\displaystyle \therefore~ t_0 -t_1 = \pm \frac{\pi}{3}\) 

\(\displaystyle \therefore~ t_0 =t_1 \pm \frac{\pi}{3}\) 

따라서 \(\displaystyle \mathrm {Q ,~R} \)의 좌표는

\(\displaystyle  \left ( a \cos \left( t_1 \pm \frac{\pi}{3}\right) ,~b \sin \left( t_1 \pm \frac{\pi}{3} \right) \right)\)

이다.

 

 

 

2016학년도 KAIST 구술면접 기출 수학B

\(\displaystyle 2 \) 이상인 자연수 \(\displaystyle n\)에 대하여 \(\displaystyle 0 \leq x \leq 1\)에서 정의된 함수 \(\displaystyle f_n (x)=\frac{nx (1-x)^n }{1+(nx-1)^2}\)가 있다.

(1) \(\displaystyle \frac{d}{dx} f_n (x)=0\)이 되는 \(\displaystyle x\)가 \(\displaystyle 0\)과 \(\displaystyle 1\)사이에 존재함을 보이시오. (\(\displaystyle 2\)점)
(2) \(\displaystyle g_n (x)=nx(1-x)^n ,~h_n (x) = \frac{1}{1+(nx-1)^2},~0 \leq x \leq 1\)이라 할 때, 함수 \(\displaystyle g_n (x),~h_n (x)\)의 증가, 감소 구간을 구하시오. (\(\displaystyle 3\)점)

(3) \(\displaystyle f_n (x)\)가 \(\displaystyle x=a_n\)에서 최댓값을 가진다고 하자. 문제 (2)의 결과를 이용하여 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} f_n (a_n )\)을 구하시오.(\(\displaystyle 5\)점)

정답 및 풀이

(1) 함수 \(\displaystyle f_n (x)\)는 \(\displaystyle [0,~1]\)에서 연속이고 \(\displaystyle (0,~1)\)에서 미분가능하다. 또, \(\displaystyle f_n (0)=0,~f_n (1)=0\)
따라서 롤의 정리에 의해 \(\displaystyle f_n '(x)=0\)인 \(\displaystyle x \in (0,~1)\)에 존재한다. 즉,
\(\displaystyle \frac{d}{dx} f_n (x)=0\)
(2) \(\displaystyle g_n (x)= nx(1-x)^n \)라 할 때,
\(\displaystyle \begin{align} g_n '(x) & = n(1-x)^n + nx \times n(1-x)^{n-1}\times (-1)\\&= n(1-x)^{n-1} \left\{ (1-x)-nx\right\}\\&= n(1-x)^{n-1} (1-(n+1)x)=0\end{align}\)
\(\displaystyle \therefore~ x=1,~ \frac{1}{n+1}\)
증감표를 그리면 \(\displaystyle 0 \leq x < \frac{1}{n+1}\)에서는 \(\displaystyle g_n (x)\)는 증가하고, \(\displaystyle \frac{1}{n+1} <x \leq 1\)에서는 \(\displaystyle g_n (x)\)는 감소한다. 즉 \(\displaystyle x= \frac{1}{n+1}\)에서는 \(\displaystyle g_n (x)\)는 극댓값을 갖는다.

마찬가지로 \(\displaystyle h_n (x)= \frac{1}{1+(nx-1)^2} \)라 할 때,
\(\displaystyle \begin{align} h_n '(x) & = -\frac{2n(nx-1)}{\left\{1+(nx-1)^2\right\}^2}=0\end{align}\)
\(\displaystyle \therefore~ x= \frac{1}{n}\)
증감표를 그리면 \(\displaystyle 0 \leq x < \frac{1}{n}\)에서는 \(\displaystyle h_n (x)\)는 증가하고, \(\displaystyle \frac{1}{n} <x \leq 1\)에서는 \(\displaystyle h_n (x)\)는 감소한다. 즉 \(\displaystyle x= \frac{1}{n}\)에서는 \(\displaystyle h_n (x)\)는 극댓값을 갖는다.
(3) 함수 \(\displaystyle f_n (x)= g_n (x) \times h_n (x)\)는 닫힌 구간 \(\displaystyle [0,~1]\)에서 연속이므로 최대최소 정리에 의해 최댓값을 갖는다. \(\displaystyle x=a_n \)일 때 최댓값을 갖는다고 하자.
또, \(\displaystyle g_n (x)\)가 \(\displaystyle x= \frac{1}{n+1}\)에서 극대이자 최댓값을 갖고, \(\displaystyle h_n (x)\)는 \(\displaystyle x= \frac{1}{n}\)에서 극대이자 최댓값을 갖는다.
따라서 \(\displaystyle a_n \)은 \(\displaystyle\left[ \frac{1}{n+1},~\frac{1}{n}\right]\)사이에 있다. 즉,
\(\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq a_n \leq \frac{1}{n}\)
왜냐하면
(i) \(\displaystyle a_n < \frac{1}{n+1}\)이라 하면 \(\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{1}{n+1}\)에서는 함수 \(\displaystyle g_n (x),~h_n (x)\) 모두 증가하므로
\(\displaystyle 0\leq g_n (a_n ) < g_n \left(\frac{1}{n+1}\right),~0 \leq h_n (a_n ) < h_n \left(\frac{1}{n+1}\right)\)
\(\displaystyle f_n (a_n )= g_n (a_n )h_n (a_n ) < g_n \left(\frac{1}{n+1}\right) h_n \left( \frac{1}{n+1} \right)=f_n \left(\frac{1}{n+1}\right)\)
즉, \(\displaystyle f_n (a_n ) < f_n \left( \frac{1}{n+1}\right)\)
이것은 \(\displaystyle x=a_n\)에서 \(\displaystyle f_n (x)\)가 최댓값을 갖는다는 가정과 모순이다.
(ii) \(\displaystyle a_n > \frac{1}{n}\)이라 하면 \(\displaystyle \frac{1}{n}<x \leq 1\)에서는 함수 \(\displaystyle g_n (x),~h_n (x)\) 모두 감소하므로
\(\displaystyle 0< g_n (a_n ) < g_n \left(\frac{1}{n}\right),~0 \leq h_n (a_n ) < h_n \left(\frac{1}{n}\right)\)
\(\displaystyle f_n (a_n )= g_n (a_n )h_n (a_n ) < g_n \left(\frac{1}{n}\right) h_n \left( \frac{1}{n} \right)=f_n \left(\frac{1}{n} \right)\)
즉, \(\displaystyle f_n (a_n ) < f_n \left( \frac{1}{n}\right)\)
이것은 \(\displaystyle x=a_n\)에서 \(\displaystyle f_n (x)\)가 최댓값을 갖는다는 가정과 모순이다.
\(\displaystyle \therefore~\frac{1}{n+1} \leq a_n \leq \frac{1}{n}\)
따라서 \(\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq x \leq \frac{1}{n}\)에서 \(\displaystyle g_n (x)\)는 감소하고, \(\displaystyle h_n (x)\)는 증가한다. 또, \(\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq a_n \leq \frac{1}{n}\)이므로
\(\displaystyle 0\leq g_n \left(\frac{1}{n}\right) \leq g_n \left( a_n \right) \leq g_n \left( \frac{1}{n+1}\right) \), \(\displaystyle 0\leq h_n \left(\frac{1}{n+1}\right) \leq g_n \left( a_n \right) \leq g_n \left( \frac{1}{n}\right) \)

\(\displaystyle g_n \left(\frac{1}{n}\right)h_n \left(\frac{1} {n+1}\right) \leq g_n \left( a_n \right) h_n (a_n )=f_n (a_n )\leq g_n \left( \frac{1}{n+1}\right)g_n \left( \frac{1}{n}\right) ~~~\cdots\cdots~(\ast)\)

한편
\(\displaystyle \begin{align}\lim_{n \rightarrow \infty} g_n \left(\frac{1}{n}\right) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n} \left(1- \frac{1}{n}\right)^n \\&=\lim_{n \rightarrow \infty} \left\{ \left( 1- \frac{1}{n}\right)^{-n} \right\}^{-1}\\&=e^{-1}=\frac{1}{e}\end{align}\),
\(\displaystyle \begin{align}\lim_{n \rightarrow \infty} g_n \left(\frac{1}{n+1}\right) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} \left(1- \frac{1}{n+1}\right)^n \\&=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} \left\{ \left( 1- \frac{1}{n+1}\right)^{-n-1} \right\}^{-1}\\&=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} \lim_{n \rightarrow \infty}\left\{ \left( 1- \frac{1}{n+1}\right)^{-n-1} \right\}^{-1}\\&=1\times e^{-1}=\frac{1}{e}\end{align}\)
또,
\(\displaystyle \begin{align}\lim_{n \rightarrow \infty} h_n \left(\frac{1}{n}\right) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\left(n \times \frac{1}{n} -1 \right)^2} =1\end{align}\),
\(\displaystyle \begin{align}\lim_{n \rightarrow \infty} h_n \left(\frac{1}{n+1}\right) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\left(n \times \frac{1}{n+1} -1 \right)^2}\\&= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\left( -\frac{1}{n+1} \right)^2} =1\end{align}\)
이를 이용하여 \(\displaystyle \ast\)의 좌변, 우변의 극한을 구하면 \(\displaystyle \frac{1}{e}\)이다.
따라서 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow\infty} f_n (a_n)=\frac{1}{e}\)