[더플러스수학] 과학고 학교 프린트

심화수학 수업에서 학교에서 나온 문제입니다. 첫번째는 수리논술 기출일 것 같은데 어디인지는 잘 모르겠고 알고 있는 사람은 댓글을 달아 주세요. 두 번재는 포스텍 면접문제, 세번째는 부산대 수리논술 문제입니다.
풀이를 서술하기는 시간이 많이 걸려 우선 풀이 동영상을 링크 걸겠습니다. 참조하세요.

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(가) \(\displaystyle f\)가 실수 전체의 집합에서 정의된 함수일 때, 실수 \(\displaystyle a\)에 대하여 극한값 \(\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h)-f(a)}{h}\)가 존재하면 함수 \(\displaystyle f\)가 \(\displaystyle x=a\)에서 미분가능하다고 한다. 이 때, 이 값을 함수 \(\displaystyle f\)의 미분계수라고 하며, 이것을 기호로 \(\displaystyle f'(a)\)와 같이 나타낸다.
(나) \(\displaystyle x\)가 변수, \(\displaystyle n\)이 음이 아닌 정수이고 \(\displaystyle c_0 ,~c_1 ,~\cdots,~c_n\)을 \(\displaystyle n+1\)개의 실수라 할 때, 다음과 같이 표현되는 함수 \(\displaystyle f\)가 다항함수이다.

\(\displaystyle f(x)= c_n x^n +c_{n-1}x^{n-1} + \cdots| c_1 x +c_0\)

이 때, \(\displaystyle c_m \neq 0\)이 되는 최대의 \(\displaystyle m\)을 이 다항함수 \(\displaystyle f\)의 차수이며 \(\displaystyle m=\deg(f)\)로 표기한다. 각 상수 \(\displaystyle c_j\)를 이 다항함수 \(\displaystyle f\)의 계수라고 한다. 특히 \(\displaystyle m=\deg(f)\)이면 \(\displaystyle c_m\)을 최고차항의 계수라고 한다. \(\displaystyle \deg(f)=m \geq 1\)인 다항함수 \(\displaystyle f\)는 모든 실수 \(\displaystyle x\)에 대하여 \(\displaystyle f'(x)\)가 존재하며

\(\displaystyle f'(x)= m c_m x^{m-1}+ (m-1)c_{m-1}x^{m-2} + \cdots+ c_1 \)

이다.

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(논제1) 함수 \(\displaystyle f\)와 \(\displaystyle g\)는 실수 전체의 집합에서 정의된 함수이며 \(\displaystyle x=0\)에서 미분가능하다. \(\displaystyle g(0)=1\)이고 모든 실수 \(\displaystyle x\)와 \(\displaystyle y\)에 대하여 \(\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+g(xy)-2\)가 성립할 때, (1), (2), (3), (4)에 대한 답안을 자세히 작성하시오.
(1) \(\displaystyle f(0)\)의 값을 구하시오.
(2) (가)의 미분가능성의 정의를 사용하여 \(\displaystyle 0\)이 아닌 모든 실수 \(\displaystyle x\)에 대하여 \(\displaystyle f'(x)\)가 존재함을 보이시오.
(3) 함수 \(\displaystyle f\)가 다항함수임을 보이시오.
(4) 함수 \(\displaystyle g\)는 \(\displaystyle \deg(g)=0\) 또는 \(\displaystyle \deg(g)=1\)인 다항함수임을 보이시오.
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[2003학년도 포항공대 면접문제]
모든 실수에 대하여 정의된 미분가능한 함수 \(\displaystyle f\)가 주어져 있다.
(a) \(\displaystyle f'(1)=1\)
(b) 모든 실수 \(\displaystyle x,~y\)에 대하여 \(\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\)이 성립한다.
함수 \(\displaystyle f\)를 \(\displaystyle x\)의 식으로 표현하여라.
https://youtu.be/E6zuYOLW90Q(구독과 좋아요를)

[2018학년도 부산대 수리논술]
다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

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(가) 함수 \(\displaystyle y=f(x)\)의 \(\displaystyle x=a\)에서의 미분계수는
\(\displaystyle f'(a)=\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
(나) 함수 \(\displaystyle y=f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle x=a \)에서의 미분계수 \(\displaystyle f'(a)\)가 존재할 때, 함수 \(\displaystyle f(x)\)는 \(\displaystyle x=a\)에서 미분가능하다고 한다. 또, 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 어떤 구간에 속하는 모든 \(\displaystyle x\)의 값에서 미분가능할 때, 함수 \(\displaystyle f(x)\)는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.

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좌표평면 위의 점 \(\displaystyle (t,~0)\)에서 포물선 \(\displaystyle y^2 = 4px ~(p>0)\) 위의 점에 이르는 거리의 최솟값을 \(\displaystyle f(t)\)라 하자.
[1] 함수 \(\displaystyle f(t)\)의 미분가능성을 조사하시오.
[2] \(\displaystyle G(p)=\int_0^{5p} t f(t)dt\)일 때, \(\displaystyle G(1)\)의 값을 구하시오.

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