옥동수학학원 [더플러스수학학원]울산과고 학교 문제 중 조금 어려운 문제

울산 옥동에 있는 울산과고전문학원인 더플러스수학학원에서  울산과고의 학교프린트 중에 다음의 문제가 있었다. 학생들이 어려워 해서 한 번 풀어보았습니다.

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$\displaystyle n$ 개의 실수 $\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$으로 된 집합 $\displaystyle A$가 있다. 이 집합 $\displaystyle A$ 의 원소 $\displaystyle a_i$가 그 외의 $\displaystyle  n-1$개의 원소의 평균보다 크지 않게 하는 이 실수의 조로 된 집합을 모두 구하여라.

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정답 없다.

(풀이) 집합 $\displaystyle A$가 $\displaystyle n$개의 원소 $\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$로 이루어져 있으므로 $\displaystyle n$개는 모두 서로 다르다.

따라서 $\displaystyle a_1 < a_2 <a_3 <\cdots < a_n$이라 해도 일반성은 잃지 않는다.

집합 $\displaystyle A$ 의 원소 $\displaystyle a_n$에 대하여 $\displaystyle a_n$이 $\displaystyle a_n$을 제외한 $\displaystyle n-1$개의 원소의 평균보다 크지 않아야 한다. 즉,

$\displaystyle a_n  \leq  \frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n -a_n}{n-1}$

$\displaystyle(n-1) a_n  \leq  a_1 +a_2 +\cdots +a_{n-1}$

$\displaystyle n a_n  \leq  a_1 +a_2 +\cdots +a_{n-1}+a_n~\cdots\cdots~(i)$

또, $\displaystyle  a_1 <a_n  ,~a_2 <a_n ,~\cdots,~a_{n-1}<a_n$이므로 $\displaystyle (i)$는

$\displaystyle n a_n  \leq  a_1 +a_2 +\cdots +a_{n-1}+a_n <a_n +a_n +\cdots+a_n =na_n$

즉, $\displaystyle   a_n <  a_n$이므로 이것은 성립하지 않는다.

따라서 위의 조건을 만족하는 실수로 구성된 조는 존재하지 않는다.

 

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