[옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(3)-로피탈의 정리 \(\frac{\infty}{\infty}\)꼴)-더플러스수학학원

전편에서 0/0꼴의 로피탈의 정리를 증명했다면([옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(2)) 이제 여기서는 \(\infty/\infty\)꼴의 로피탈의 정리를 증명하고자 한다. 울산과고 3학년 AP수업에서 엡실론-델타논법으로 증명했다고 하는데 학생들이 어려워 했다. 그래서 울산과고 전문 더플러스수학학원에서 로피탈의 정리 중 무한대/무한대꼴을 증명해 보았다.

또 이것의 바탕에는 코시의 평균값의 정리가 있는데 이것의 증명을 보려면 https://plusthemath.tistory.com/541

먼저 증명할 로피탈의 정리를 적어보자.

로피탈의 정리(2)

두 함수 \(\displaystyle f(x)\) 와 \(\displaystyle g(x)\) 모두 \(\displaystyle a\) 를 포함하는 열린 구간 \(\displaystyle I\) 에서 연속이고 미분가능하며, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=\infty\) 이고, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\) 가 존재하며 \(\displaystyle a\) 를 제외한 열린구간 \(\displaystyle I\) 의 모든 점 \(\displaystyle x\) 에서 \(\displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0\) 이면
                              \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
이다.

 

증명) 우리는 여기서  \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\) 일 때, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)임을 보이면 된다.

그런데 여기서는 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} g(x)=\infty\)이므로 \(\displaystyle f(a), ~g(a)\)가 정의되지 않기 때문에 0/0꼴의 증명보다 복잡하다. 또, 정의가 되지 않기 때문에 좌극한과 우극한으로 나누어 증명해야 한다. 우리는 먼저 좌극한부터 증명하겠다.

이것을 증명하는과정은 크게 보면 4가지다. 먼저 3가지의 극한(epsilon-delta논법)과 이것을 이용하여 마지막에 epsilon-delta논법을 완성하여 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c-} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)임을 보이는 것이다.

우리는 먼저 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c-} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)을 보이는 과정을 개략적으로 보고 이를 이용하여 앞의 3가지 극한을 사용하여 증명을 완성한다.

\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c-} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\) 이므로 극한의 정의를 사용하면

임의의 \(\displaystyle \epsilon >0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta_1 >0\)이 존재하여

\(\displaystyle a-\delta_1 < x <a\)이면 \(\displaystyle \left| \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-L\right| < \frac{\epsilon}{2}\)     여기서 왜 \(\displaystyle  \frac{\epsilon}{2} \)으로 했는지는 다음 과정을 보면 알 수 있다.

또, \(\displaystyle \left| \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-L\right| < \frac{\epsilon}{2}\) 에서 삼각부등식을 사용하여 변형하면

\(\displaystyle \left| \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\right|-\left| L\right| < \frac{\epsilon}{2}\)   

즉, \(\displaystyle \left| \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\right| < \left|L \right| + \frac{\epsilon}{2}\)     이것도 뒤에 이용되기 때문에 먼저 적어 놓았다.

이제는 복선을 깔지 않고 곧바로 스케치에 들어간다. 다음과 같이 변현한 후 코시의 평균값의 정리를 사용한다. 

\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)}    &= \frac{f(x)}{f(x)-f(a-\delta_1) } \times\frac{g(x)-g(a-\delta_1) }{g(x) }\times\frac {g(x)-g(a-\delta_1) }{f(x)-f(a-\delta_1) }\\&=\frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}\frac{g'(c)}{f'(c)} ~~( a-\delta_1 <c< x< a)  \end{aligned}\)

즉,

\(\displaystyle  \frac{f(x)}{g(x)}    =\frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}\frac{g'(c)}{f'(c)}  \)

위의 식에서 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-}  \frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}=1\)임을 이용하여 양변에 극한값 \(\displaystyle  L \)을 빼서  변형해 보면

\(\displaystyle  \frac{f(x)}{g(x)}   -L  =\left( \frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}-1\right) \frac{g'(c)} {f'(c)}  + \frac{g'(c)} {f'(c)} -L \)

위의 식을 절댓값을 취하여 삼각부등식을 이용하여 변형한 후 극한값의 정의를 써서 \(\displaystyle \epsilon \)값을 변형하자.

 \(\displaystyle\begin{aligned} \left|  \frac{f(x)}{g(x)}   -L \right| &  = \left|\left( \frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}-1\right) \frac{g'(c)} {f'(c)}  + \frac{g'(c)} {f'(c)} -L \right| \\ & \leq \left|  \frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}-1\right| \left| \frac{g'(c)} {f'(c)} \right|  +\left| \frac{g'(c)} {f'(c)} -L \right|\\ &< \boxed{\frac{\epsilon}{2 \left(|L|+\frac{\epsilon}{2}\right)}}\times \left(|L|+\frac{\epsilon}{2}\right)+ \boxed{\frac{\epsilon}{2}} =\epsilon ~\cdots\cdots ~(\ast) \end{aligned}\)

이제 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-}  \frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}=1\)임을 보이자.

먼저 현재까지 \(\displaystyle a- \delta_1 < c < x <a\)이다. 여기서 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} g(x)=\infty\) 이므로 \(\displaystyle f(a-\delta_1 )>0,~g(a- \delta_1 )>0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta_2 >0\)가 존재하여 \(\displaystyle a-\delta_2 <x<a\)이면 \(\displaystyle f(x)> f(a-\delta_1)>0,~ g(x)> g(a- \delta_1)>0\)이다. 여기서 \(\displaystyle  a-\delta_1 \)의 값을 고정시켰다.

따라서 \(\displaystyle 1>\frac {f(a-\delta_1)}{f(x) } >0,~1> \frac {g(a- \delta_1)}{g(x)}>0\)이고 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a-} f(x)=\lim _{x \rightarrow a-} g(x)=\infty\) 이므로

\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow a-} \frac {f(a-\delta_1)}{f(x) }   =\lim _{x \rightarrow a-} \frac {g(a-\delta_1)}{g(x) }  =0\) 

이다. 따라서 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a-}  \frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}=1\)이다. 극한의 정의에 의해 임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta_3>0\)가 존재하여

\(\displaystyle a-\delta_3 < x< a\) 이면 \(\displaystyle \left|\frac{1-\frac{g(a-\delta_1) }{g(x)}} {1-\frac{f(a-\delta_1) }{f(x)}}-1\right|< \boxed{\frac{\epsilon}{2 \left(|L|+\frac{\epsilon}{2}\right)}}\)

이다. 따라서 위의 과정은 모두   \(\displaystyle  a-\delta_1 <x<a\),  \(\displaystyle  a-\delta_2 <x<a\),  \(\displaystyle  a-\delta_2 <x<a\)일 때 성립하므로  \(\displaystyle \delta=\min\left\{ \delta_1 ,~\delta_2 ,~\delta_3 \right\} \)라고 하자.

그러면   \(\displaystyle (\ast)\)는 성립한다. 

즉,  \(\displaystyle  \left|  \frac{f(x)}{g(x)}   -L \right| <\epsilon  \)

따라서  \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c-} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)

우극한도 위와 동일한 과정으로 증명하면 된다. 

이로서 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c-} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim _{x \rightarrow c-} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\) 

ㅠㅠ 끝났다.

https://youtu.be/z6gCsbcT0Kw