[옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(2)-로피탈의 정리(0/0꼴)

이제 코시의 평균값의 정리를 증명한 후 이를 이용하여 로피탈의 정리를 증명하고자 한다. 로피탈의 정리는 수2나 미적분을 배운 학생은 극한을 구하기 위해 자주 쓰는 정리이다. 그러나 막상 증명하라고 하면 증명하기 너무 힘들다. 울산과고3학년 AP-Calulus에서 \(\displaystyle \frac 0 0\)꼴, \(\displaystyle \frac {\infty}{\infty}\) 에서의 로피탈의 정리를 증명한다. 울산과고학생들이 좀 어려워 해서 더플러스수학학원에서 증명을 해서 내신 공부에 도움이 되게 하고자 한다.
로피탈의 정리는 $\displaystyle 0/0$ 또는 $\displaystyle \infty/\infty$ 형태의 불확정형 극한을 계산할 때 유용한 도구입니다. 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 어떤 점 $\displaystyle c$ 근처에서 미분가능하며, $\displaystyle g'(x) \neq 0$이라면, $\displaystyle x$가 $\displaystyle c$에 접근할 때 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 극한이 $\displaystyle 0/0$ 또는 $\displaystyle \infty/\infty$의 불확정형을 가지면, 다음과 같이 극한을 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

이는 극한을 계산하기 위해 원래의 함수를 그 함수의 도함수로 대체할 수 있다는 것을 의미합니다.

예를 들어, $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4}$의 경우, $\displaystyle x=2$를 대입하면 $\displaystyle 0/0$의 불확정형이 나타나고, 이를 로피탈의 정리를 사용하여 해결할 수 있습니다. 먼저, 분자와 분모를 미분하고 $\displaystyle x=2$를 대입하면, $\displaystyle \frac{5}{4}$의 결괏값을 얻을 수 있습니다 .

또 다른 예로, $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}$의 경우, 무한대로 접근하는 분자와 분모 덕분에 $\displaystyle \infty/\infty$의 불확정형이 나타납니다. 이를 로피탈의 정리를 두 번 적용하여 해결하면, $\displaystyle e^x$가 $\displaystyle x^2$보다 훨씬 빠르게 증가한다는 것을 알 수 있으며, 극한값은 $\displaystyle \infty$가 됩니다 .

로피탈의 정리는 불확정형을 간단히 계산할 수 있게 해주며, 때로는 몇 번이고 반복해서 적용해야 하는 경우도 있습니다. 그러나 이 방법을 사용하기 전에 주어진 극한이 $\displaystyle 0/0$ 또는 $\displaystyle \infty/\infty$ 형태인지 확인하는 것이 중요하며, 모든 극한에 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 것은 아닙니다.
먼저 코시의 평균값의 정리를 정리해 보자. 이에 대한 증명은 여기를 클릭하세요.

두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $g(x)$가 주어진 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 미분 가능할 때, 적어도 하나의 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (a,~b)$ 안에 존재하여 다음의 관계를 만족한다는 내용입니다:
                              \(\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)
여기서, $\displaystyle g'(x) \neq 0$이 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 성립해야 합니다.

 
이제 로피탈의 정리의 첫번째 형태 \(\displaystyle \frac 0 0\) 를 알아보자.

로피탈의 정리(1)

두 함수 \(\displaystyle f(x)\) 와 \(\displaystyle g(x)\) 모두 \(\displaystyle c\) 를 포함하는 열린 구간 \(\displaystyle I\) 에서 연속이고 미분가능하며, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} g(x)=0\) 이고, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\) 가 존재하며 \(\displaystyle c\) 를 제외한 열린구간 \(\displaystyle I\) 의 모든 점 \(\displaystyle x\) 에서 \(\displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0\) 이면
                              \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
이다.

 
증명) 먼저 코시의 평균값의 정리를 이용하여 증명하자.
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\)이라 할 때, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)임을 보이면 된다.
(i) \(\displaystyle x > c\)일 때,
코시의 평균값의 정리에 의해(코시의 평균값의 정리 가정을 만족함을 확인하세요.)

\(\displaystyle   \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\frac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}\),   \(\displaystyle (c <\alpha <x )\)      \(\displaystyle \cdots\cdots\cdots~(\mathrm{a})\)

여기서 \(\displaystyle c <\alpha <x  \) 이고 \(\displaystyle  x \rightarrow c+\) 에서 \(\displaystyle  \alpha \rightarrow c+\) 
또, 가정에서 \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c+} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\)이므로 \(\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow c+} \frac{f^{\prime}(\alpha)}{g^{\prime}(\alpha)}=L\)이다. 이를 이용하면 \(\displaystyle (\mathrm{a})\)에서

\(\displaystyle  \lim_{x \rightarrow c+} \frac{f(x)}{g(x)}=  \lim_{\alpha \rightarrow c+} \frac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}=L\)

(ii) \(\displaystyle x < c\)일 때, 위의 방법으로 하면 된다.

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다른 방법으로 증명하자. \(\displaystyle \epsilon-\delta\)논법으로 증명하자.
\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\)이라 할 때, \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)임을 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)논법으로 보이자.

\(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L\)이므로 임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta>0\)가 존재하여 

\(\displaystyle 0<| x - c | <\delta \)이면 \(\displaystyle  \left| \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-L\right| < \epsilon\)    \(\displaystyle \cdots\cdots~(\mathrm b)\)

이다. 또, \(\displaystyle f(c)=g(c)=0\)임을 이용하여 다음과 같이 변형하면 코시의 평균값의 정리에 의해 다음을 만족하는 \(\displaystyle \alpha \)가 존재한다.

\(\displaystyle  \frac{f(x) }{g (x)}= \frac{f(x)-f(c) }{g (x)-g(c)}=  \frac{f^{\prime}(\alpha )}{g^{\prime}(\alpha)} \),  \(\displaystyle  (c < \alpha < x)\) 또는 \(\displaystyle ( x < \alpha < c) \)

여기서   \(\displaystyle  c < \alpha < x\) 또는 \(\displaystyle  x < \alpha <c \)이므로 

\(\displaystyle  0 < \alpha -c < x-c\) 또는 \(\displaystyle  x-c < \alpha -c <0 \)

즉,  \(\displaystyle 0<|\alpha -c|<| x - c | < \delta\)이므로 \(\displaystyle  \alpha  \)는 \(\displaystyle \mathrm (b)\)의 가정인  \(\displaystyle 0<| x - c | <\delta \)를 만족하므로 즉, \(\displaystyle 0<| \alpha - c | <\delta \)

\(\displaystyle  \left| \frac{f^{\prime}(\alpha)}{g^{\prime}(\alpha)}-L\right| < \epsilon\)

이다. 따라서

\(\displaystyle  \left| \frac{f(x) }{g (x)} -L \right|= \left| \frac{f(x)-f(c) }{g (x)-g(c)}-L \right|= \left| \frac{f^{\prime}(\alpha )}{g^{\prime}(\alpha)} -L \right|< \epsilon \)

즉, \(\displaystyle  \left| \frac{f(x) }{g (x)} -L \right| < \epsilon \)

따라서   \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L\)이다.

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증명과정을 최대한 자세히 풀어서 설명해 보았습니다. 질문이 있으면 댓글을 달아 주세요.
다음으로 이제 \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\)꼴의 로피탈의 정리를 증명해보도록 한다. https://plusthemath.tistory.com/543
https://youtu.be/I7_94HUguqM

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