Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

ABOUT ME

울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

Today
Yesterday
Total
  • [옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(2)-로피탈의 정리(0/0꼴)
    수학과 공부이야기 2024. 3. 17. 17:31

    이제 코시의 평균값의 정리를 증명한 후 이를 이용하여 로피탈의 정리를 증명하고자 한다. 로피탈의 정리는 수2나 미적분을 배운 학생은 극한을 구하기 위해 자주 쓰는 정리이다. 그러나 막상 증명하라고 하면 증명하기 너무 힘들다. 울산과고3학년 AP-Calulus에서 00꼴, 에서의 로피탈의 정리를 증명한다. 울산과고학생들이 좀 어려워 해서 더플러스수학학원에서 증명을 해서 내신 공부에 도움이 되게 하고자 한다.
    로피탈의 정리는 0/0 또는 / 형태의 불확정형 극한을 계산할 때 유용한 도구입니다. 두 함수 f(x)g(x)가 어떤 점 c 근처에서 미분가능하며, g(x)0이라면, xc에 접근할 때 f(x)g(x)의 극한이 0/0 또는 /의 불확정형을 가지면, 다음과 같이 극한을 계산할 수 있습니다.

    lim

    이는 극한을 계산하기 위해 원래의 함수를 그 함수의 도함수로 대체할 수 있다는 것을 의미합니다.

    예를 들어, \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4}의 경우, \displaystyle x=2를 대입하면 \displaystyle 0/0의 불확정형이 나타나고, 이를 로피탈의 정리를 사용하여 해결할 수 있습니다. 먼저, 분자와 분모를 미분하고 \displaystyle x=2를 대입하면, \displaystyle \frac{5}{4}의 결괏값을 얻을 수 있습니다 .

    또 다른 예로, \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}의 경우, 무한대로 접근하는 분자와 분모 덕분에 \displaystyle \infty/\infty의 불확정형이 나타납니다. 이를 로피탈의 정리를 두 번 적용하여 해결하면, \displaystyle e^x\displaystyle x^2보다 훨씬 빠르게 증가한다는 것을 알 수 있으며, 극한값은 \displaystyle \infty가 됩니다 .

    로피탈의 정리는 불확정형을 간단히 계산할 수 있게 해주며, 때로는 몇 번이고 반복해서 적용해야 하는 경우도 있습니다. 그러나 이 방법을 사용하기 전에 주어진 극한이 \displaystyle 0/0 또는 \displaystyle \infty/\infty 형태인지 확인하는 것이 중요하며, 모든 극한에 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 것은 아닙니다.
    먼저 코시의 평균값의 정리를 정리해 보자. 이에 대한 증명은 여기를 클릭하세요.

    두 함수 \displaystyle f(x)g(x)가 주어진 닫힌구간 \displaystyle [a,~b]에서 연속이고, 열린 구간 \displaystyle (a,~b)에서 미분 가능할 때, 적어도 하나의 \displaystyle c\displaystyle (a,~b) 안에 존재하여 다음의 관계를 만족한다는 내용입니다:
                                  \displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
    여기서, \displaystyle g'(x) \neq 0이 구간 \displaystyle (a,~b)에서 성립해야 합니다.

     
    이제 로피탈의 정리의 첫번째 형태 \displaystyle \frac 0 0 를 알아보자.

    로피탈의 정리(1)

    두 함수 \displaystyle f(x)\displaystyle g(x) 모두 \displaystyle c 를 포함하는 열린 구간 \displaystyle I 에서 연속이고 미분가능하며, \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} g(x)=0 이고, \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} 가 존재하며 \displaystyle c 를 제외한 열린구간 \displaystyle I 의 모든 점 \displaystyle x 에서 \displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0 이면
                                  \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
    이다.

     
    증명) 먼저 코시의 평균값의 정리를 이용하여 증명하자.
    \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L이라 할 때, \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L임을 보이면 된다.
    (i) \displaystyle x > c일 때,
    코시의 평균값의 정리에 의해(코시의 평균값의 정리 가정을 만족함을 확인하세요.)

    \displaystyle   \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\frac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)},   \displaystyle (c <\alpha <x )      \displaystyle \cdots\cdots\cdots~(\mathrm{a})

    여기서 \displaystyle c <\alpha <x  이고 \displaystyle  x \rightarrow c+ 에서 \displaystyle  \alpha \rightarrow c+ 
    또, 가정에서 \displaystyle \lim _{x \rightarrow c+} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L이므로 \displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow c+} \frac{f^{\prime}(\alpha)}{g^{\prime}(\alpha)}=L이다. 이를 이용하면 \displaystyle (\mathrm{a})에서

    \displaystyle  \lim_{x \rightarrow c+} \frac{f(x)}{g(x)}=  \lim_{\alpha \rightarrow c+} \frac{f'(\alpha)}{g'(\alpha)}=L

    (ii) \displaystyle x < c일 때, 위의 방법으로 하면 된다.

    다른 방법으로 증명하자. \displaystyle \epsilon-\delta논법으로 증명하자.
    \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L이라 할 때, \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L임을 \displaystyle \epsilon-\delta논법으로 보이자.

    \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=L이므로 임의의 \displaystyle \epsilon>0에 대하여 적당한 \displaystyle \delta>0가 존재하여 

    \displaystyle 0<| x - c | <\delta 이면 \displaystyle  \left| \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}-L\right| < \epsilon    \displaystyle \cdots\cdots~(\mathrm b)

    이다. 또, \displaystyle f(c)=g(c)=0임을 이용하여 다음과 같이 변형하면 코시의 평균값의 정리에 의해 다음을 만족하는 \displaystyle \alpha 가 존재한다.

    \displaystyle  \frac{f(x) }{g (x)}= \frac{f(x)-f(c) }{g (x)-g(c)}=  \frac{f^{\prime}(\alpha )}{g^{\prime}(\alpha)} ,  \displaystyle  (c < \alpha < x) 또는 \displaystyle ( x < \alpha < c)

    여기서   \displaystyle  c < \alpha < x 또는 \displaystyle  x < \alpha <c 이므로 

    \displaystyle  0 < \alpha -c < x-c 또는 \displaystyle  x-c < \alpha -c <0

    즉,  \displaystyle 0<|\alpha -c|<| x - c | < \delta이므로 \displaystyle  \alpha  \displaystyle \mathrm (b)의 가정인  \displaystyle 0<| x - c | <\delta 를 만족하므로 즉, \displaystyle 0<| \alpha - c | <\delta

    \displaystyle  \left| \frac{f^{\prime}(\alpha)}{g^{\prime}(\alpha)}-L\right| < \epsilon

    이다. 따라서

    \displaystyle  \left| \frac{f(x) }{g (x)} -L \right|= \left| \frac{f(x)-f(c) }{g (x)-g(c)}-L \right|= \left| \frac{f^{\prime}(\alpha )}{g^{\prime}(\alpha)} -L \right|< \epsilon

    즉, \displaystyle  \left| \frac{f(x) }{g (x)} -L \right| < \epsilon

    따라서   \displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=L이다.

    증명과정을 최대한 자세히 풀어서 설명해 보았습니다. 질문이 있으면 댓글을 달아 주세요.
    다음으로 이제 \displaystyle \frac{\infty}{\infty}꼴의 로피탈의 정리를 증명해보도록 한다. https://plusthemath.tistory.com/543
    https://youtu.be/I7_94HUguqM


     과고1학년, 2학년 대신대비를 위해 더플러스수학학원의 구술시스템에서 실제로 하고 있는 문제를 보시려거나 과학고 3학년 AP미적분학을 준비하고자 하거나 대학교1학년 미적분학에 대해 공부하려고 하면 더플러스수학 프리미엄콘텐츠 를 이용해 보세요.

    https://naver.me/FsR64KUy

    과학고전문더플러스수학 : 네이버 프리미엄콘텐츠

    더플러스수학학원은 울산 옥동에 위치한 수학 전문 학원으로, 과학고 학생들의 내신 대비에 특화된 맞춤형 학습을 제공합니다. 권도형 원장은 서울대 무기재료공학과 졸업, 부산대 수학과 석사

    contents.premium.naver.com

Designed by Tistory.