[옥동수학학원] 로피탈의 정리 증명으로 가는길(1)-코시의 평균값의 정리[더플러스수학학원]

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울산과고3학년 학교 AP-Calculus 교재에서 로피탈의 정리가 나오고 있다. 학교 수업에서 로피탈의 정리를 epsilon-delta 논법으로 증명하고 있다. 그런데 학생들이 그 내용을 잘 이해하지 못하고 있다. 그래서 울산과고 전문 더플러스수학학원에서 코시의 평균값의 정리를 증명하고 이것을 이용하여 로피탈 정리를 증명하고자 한다. 특히 epsilon-delta논법으로 증명하는 것은 좀 더 어려운 것이다.

먼저 코시의 평균값 정리는 아래와 같다.

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두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $g(x)$가 주어진 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 미분 가능할 때, 적어도 하나의 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (a,~b)$ 안에 존재하여 다음의 관계를 만족한다는 내용입니다:

\(\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)

여기서, $\displaystyle g'(x) \neq 0$이 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 성립해야 합니다.

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(증명) 먼저 \(\displaystyle g(b) \neq g(a)\)임을 보이자. 왜냐하면 위의 식에서 분모에 \(\displaystyle g(b)-g(a)\)가 있기 때문이다. 증명은 귀류법으로 하면 된다.

\(\displaystyle g(b)-g(a)=0\)이라고 가정하자. 즉, \(\displaystyle g(b)=g(a)\)

또, \(\displaystyle g(x)\)는 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 미분 가능하므로 롤 정리에 의해 \(\displaystyle g'(c)=0\)인 \(\displaystyle c \in (a,~b)\)가 존재한다.

그런데 이는 가정 $\displaystyle g'(x) \neq 0$와 모순이다. 따라서  \(\displaystyle g(b) \neq g(a)\)

이제 코시의 평균값의 정리는 롤 정리로 증명한다. 이를 위해 새롭게 함수 $\displaystyle F(x)$ 를 아래와 같이 정의하자.

$\displaystyle F(x)=\left\{f(b) - f(a)\right\}g(x)-\left\{g(b) - g(a)\right\}f(x)$

두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $g(x)$가 주어진 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 미분가능하므로 함수  $\displaystyle F(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,~b]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle (a,~b)$에서 미분가능하다.

또, 

$\displaystyle F(a)=\left\{f(b) - f(a)\right\}g(a)-\left\{g(b) - g(a)\right\}f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b)$,

$\displaystyle F(b)=\left\{f(b) - f(a)\right\}g(b)-\left\{g(b) - g(a)\right\}f(b)=f(b)g(a)-f(a)g(b)$

이므로 이는 롤의 정리의 가정을 만족하므로 롤의 정리에 의해 $\displaystyle F'(c)=0$을 만족하는 \(\displaystyle c \in (a,~b)\)가 존재한다. 즉,

$\displaystyle F'(c)=\left\{f(b) - f(a)\right\}g'(c)-\left\{g(b) - g(a)\right\}f'(c)=0$

여기서 가정에서 $\displaystyle g'(x)\neq 0 $ 이고,  $\displaystyle c \in (a,~b) $이므로  $\displaystyle g'(c)\neq 0 $, 또, \(\displaystyle g(b) \neq g(a)\)임을 위에서 증명했으므로

\(\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)

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이 정리는 두 함수의 변화율 간의 관계를 설정합니다. 예를 들어, 두 함수 $\displaystyle f(x) = x^4$와 $\displaystyle g(x) = x^2$가 구간 $\displaystyle [1,~2]$에서 주어졌을 때, 이들의 도함수는 각각 $\displaystyle  f'(x) = 4x^3$와 $\displaystyle g'(x) = 2x$입니다. 코시의 평균값 정리를 적용하면, 적당한 $\displaystyle c$에 대해 이 비율이 $\displaystyle 2c^2$와 같게 되며, 이는 $\displaystyle c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$로 표현될 수 있습니다 .

또 다른 예로, 함수 $\displaystyle f(x) = |x - 1|$와 $\displaystyle g(x) = \ln x$에 대해 구간 $\displaystyle [2,~5]$에서 코시의 평균값 정리를 적용하면, 평균값 $\displaystyle c$는 $\displaystyle \frac{3}{\ln \left(\frac{5}{2}\right)}$로 계산되며, 이는 약 $\displaystyle 3.27$의 값을 가집니다 .

이 정리는 롤의 정리를 확장한 것으로, 두 함수의 도함수 사이의 비율을 통해 극한을 찾거나 함수의 평균 변화율을 계산하는 데 유용합니다. 이를 통해 복잡한 함수의 관계나 변화율을 이해하는 데 도움을 줍니다. 

또, 위의 코시의 평균값의 정리에서 분모에 있는 함수인 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle g(x)=x$이면 평균값의 정리를 의미하는 것이므로 코시의 평균값의 정리는 평균값의 정리를 일반화한 것이라고 한다.

이제 다음 편에서 로피탈의 정리를 증명하도록 한다.

https://youtu.be/7FcmYopLV5A