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[수학의 기초] 코시의 응축정리 Cauchy Condensation Theorem [더플러스수학학원]수학과 공부이야기 2025. 1. 23. 11:03
AP 미적분의 급수 단원: 코시의 응축정리 증명으로 이해를 깊이하다.
울산과학고 학생들에게 AP 미적분은 단순히 학습 과정을 넘어, 수학적 사고와 논리력을 확장하는 도전입니다. 특히, 급수(infinite series) 단원은 무한과 수렴의 개념을 심도 있게 탐구하며, 고급 수학적 도구를 활용하는 훈련의 장이 됩니다. 이 과정에서 등장하는 코시의 응축정리(Cauchy's condensation theorem)는 급수의 수렴성을 판단하는 데 강력한 도구로 활용됩니다.
더플러스수학학원은 울산과학고 전문 학원으로, 학생들이 AP 미적분의 핵심 개념을 이해하고 스스로 문제를 해결할 수 있도록 돕고 있습니다. 이번 글에서는 코시의 응축정리의 증명 과정을 통해 이 정리가 급수 문제 해결에 어떤 방식으로 응용되는지 살펴보겠습니다. 울산과고 3학년이라면 누구나 한 번은 마주하게 되는 이 주제, 이제 증명을 통해 명확히 이해해 봅시다!코시의 응축정리
Cauchy's Condensation Theorem states:
"If an is a non-negative, non-increasing sequence, then the infinite series ∞∑n=1an converges if and only if the series ∞∑n=12na2n converges."
이 정리는 급수의 수렴 여부를 판단하기 위해 원래의 급수를 2n 배수로 "응축"하여 새로운 급수의 수렴성을 검사하는 강력한 도구를 제공합니다.
코시의 응축정리(condensation theorem)을 적용하여 쉽게 수렴, 발산을 판단할 수 있는 예를 몇 개 찾아보자.다음은 코시의 응축정리를 적용하여 무한급수의 수렴 여부를 판단하는 4가지 예시입니다.
예제 1: ∞∑n=11np (p>0)
- p 급수: 조화급수의 일반화된 형태.
- 적용 과정:
- an=1np, 이 수열은 n에 대해 감소수열이고 음이 아닌 수열이다.
- 응축정리를 사용하면, 새로운 급수는 ∞∑n=12n1(2n)p=∞∑n=112(p−1)n로 변환된다.
- 이 새로운 급수는 기하급수(geometric series)이며 p>1일 때 수렴, p≤1일 때 발산한다.
- 결론: ∞∑n=11np (p>0) 는 p>1일 때 수렴.
예제 2: ∞∑n=1lnnn2
- 급수: 로그항이 포함된 일반화된 급수.
- 적용 과정:
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- an=lnnn2, 이 수열은 n에 대해 감소수열이고 음이 아닌 수열이다.
- 응축정리를 사용하면, 새로운 급수는 ∞∑n=12nln2n(2n)2=∞∑n=1nln22n 로 변환된다.
- 새로운 급수는 비판정법을 이용하면 수렴한다.
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- 결론:∞∑n=1lnnn2는 수렴.
예제 3: ∞∑n=11nlnn (for n≥2)
- 급수: 로그항이 분모에 포함된 급수(로그 p급수).
- 적용 과정:
- an=1nlnn 이 수열은 n에 대해 감소수열이고 음이 아닌 수열이다.
- 응축정리를 사용하면, 새로운 급수는 ∞∑n=12n12nln(2n)=∞∑n=11nln(n)+ln2.
- 새로운 급수는 p급수로 p=1인 경우와 극한비교판정법을 이용하면 발산함을 안다.
- 결론:∞∑n=11nlnn는 발산.
예제 4: ∞∑n=11n2+n
- 급수: 분모에 다항식이 있는 급수(망원급수).
- 적용 과정:
- an=1n2+n 이 수열은 n에 대해 감소수열이고 음이 아닌 수열이다.
- 응축정리를 사용하면, 새로운 급수는 ∞∑n=12n1(2n)2+2n=∞∑n=112n+1.
- 이 새로운 급수는 기하급수의 형태와 극한비교판정법을 사용하면 수렴한다.
- 결론:∞∑n=11n2+n는 수렴.
이러한 예제는 코시의 응축정리를 통해 복잡한 급수를 더 간단하게 분석하고, 수렴 여부를 논리적으로 판단할 수 있음을 보여줍니다.
코시의 응축정리를 한글로 표현해 보자.
코시의 응축정리(condensation theorem)
수열 an이 음이 아닌 감소수열일 때, 무한급수 ∞∑n=1an이 수렴할 필요충분조건은 ∞∑n=12na2n이 수렴하는 것이다.(증명)
(⟹) 먼저 ∞∑n=1an=S이 수렴한다고 가정하자. 우리는 비교판정법을 사용할 것인데 무한급수 ∞∑n=12na2n=T의 부분합을 Tn이라 하면
Tn=a2+a2⏟2개+a4+a4+a4+a4⏟22개+⋯+a2n+a2n+⋯+a2n⏟2n개
위의 식에 12를 곱하여 수열 {an}이 감소수열임을 이용하여 다음과 같은 부등식을 만들어 보자.
12Tn=a2⏟1개+a4+a4⏟2개+⋯+a2n+a2n+⋯+a2n⏟2n−1개≤a2+(a3+a4)+(a5+a6+a7)+(a8+a9+⋯+a15)+⋯+(a2n−1+1+a2n−1+2+a2n−1+3+⋯+a2n−1+2n−1−1+a2n)=S2n−a1
∴ Tn≤2S2n−2a1
급수 ∞∑n=1an가 수렴하므로 이 급수의 부분합 Sn이 수렴하므로 부분합의 수열 {Sn}의 부분수열인 {S2n}도 S로 수렴한다.
따라서 Tn≤2S2n−2a1≤2S−2a1이므로 부분합 Tn은 위로 유계이므로 ∞∑n=12na2n은 수렴한다.
(⟸) 먼저 ∞∑n=12na2n=T이 수렴한다고 가정하자. 여기서도 비교판정법을 사용한다. 무한급수 ∞∑n=12na2n=T의 부분합을 Tn이라 하면 2n−1<k≤2n인 자연수 k에 대하여
Sk=a1+(a2+a3)+(a4+a5+a6+a7)+⋯+(a2n−2+a2n−2+1+a2n−2+2+⋯+a2n−2+2n−2−1)+(a2n−1+a2n−1+1+⋯+ak⏟(k−2n−1+1)개)≤a1+(a2+a2⏟2개)+(a22+⋯+a22⏟22개)+⋯+(a2n−2+a2n−2+a2n−2+⋯+a2n−2⏟2n−2개)+(a2n−1+a2n−1+a2n−1+⋯+a2n−1⏟2n−1개)=Tn−1
즉,
∴ Sk≤Tn−1
가정에서 ∞∑n=12na2n이 수렴하므로 부분합 Tn도 수렴하므로 Tn−1도 수렴하므로 비교판정법에 의해 무한급수 ∞∑n=1an도 수렴한다. ◻
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