[수학의 기초] 연속함수의 성질-사잇값 정리 증명 [더플러스수학학원]

울산과고3학년 AP미적분학 수업을 하던 중 한 학생이 사잇값정리에 대한 증명을 인터넷에서 찾아 적은 후 제대로 증명했는지 질문을 하였다.
과학고3학년 수학공부에서 매우 중요한 AP-미적분학에서는 사잇값의 정리를 고등학교 때와 마찬가지로 증명없이 사용한다. 그런데 위의 학생이 질문한 관계로 증명을 시도하고자 한다. 먼저 이것의 증명을 위해서는 완비성 공리를 사용한다.
이것에 대해서는 다음 글을 참조하시길...
2022.03.22 - [수학과 공부이야기] - [옥동수학학원][수학의 기초]울산과고 상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

[옥동수학학원][수학의 기초]울산과고 상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

 

공리 실수의 최소상계의 원리(Least upper bound property of \(\displaystyle \mathbb R\))-완비성 공리(axiom of completeness)

집합 \(\displaystyle S\)가 공집합이 아닌 실수의 부분집합이라 할 때, 집합 \(\displaystyle S\)가 위로 유계이면(상계를 갖는다면) 반드시 최소상계(상한) \(\displaystyle \sup(S) \in \mathbb R\)을 갖는다.

 

정리 집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)의 상한이 존재하면 그 상한은 유일하다. 즉, 상한은 하나밖에 없다.

 
증명) 귀류법으로 증명하자. 즉 집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)의 상한의 상한이 두개( \(\displaystyle a,~a'\) 존재한다고 가정하자. 
\(\displaystyle a\)가 집합 \(\displaystyle S\)의 상한이므로 \(\displaystyle a \leq a'\)
마찬가지로 \(\displaystyle a'\)가 집합 \(\displaystyle S\)의 상한이므로 \(\displaystyle a' \leq a\)
즉, \(\displaystyle a \leq a'\)이고 \(\displaystyle a' \leq a\)이므로 \(\displaystyle a' = a\)        qed.
 
이제 사잇값 정리에 대해 알아보자.

사잇값의 정리(intermediate value theorem)
함수 $f$가 닫힌구간 $[a,~b]$에서 연속이고, $f(a) \neq f(b)$일 때, $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 임의의 실수 $y_0$에 대하여 $f(c)=y_0$ 인 $c$가 열린구간 $(a,~b)$에 적어도 하나 존재한다.
Suppose that $f$ is continuous on the closed interval $[a,~b]$ and let $y_0$ be any number between $f(a)$ and $f(b)$, where $f(a) \neq f(b)$. Then there exists a number $c$ in $(a,~b)$ such that $f(c)=y_0$.

증명) $f(a)<f(b)$라고 해도 일반성은 잃지 않으니 $f(a)<f(b)$라고 하자. 또, $f(a)<y_0 <f(b)$라고 하자.
이제 실수의 완비성을 이용하기 위해 다음과 같은 집합 $N$을 생각하자.
$$N= \left\{ x \in [a,~b] \, \vert \,  f(x) \leq y_0\right\} $$
이 집합은 공집합이 아니다. 왜냐하면 $\displaystyle f(a) < y_0$이므로 $a \in N$이기 때문이다. 또, $N \subset [a,~b]$이므로 집합 $N$은 유계이다. 따라서 실수의 완비성에 의해 집합 $N$의 최소상계(상한-supremum)이 존재한다. 즉, $c = \sup(N)$이라 하자. 
여기서 $f(c)=y_0$임을 귀류법으로 보이겠다.
(i) $f(c)<y_0$일 때,
함수 $f$는 $x=c$에서 연속이므로 $\epsilon= y_0-f(c)$라 하면 적절한 $\delta>0$가 존재하여

$|x-c|<\delta$이면 $|f(x)-f(c)|< y_0-f(c)$

이다. 즉, $x$가 구간 $(c-\delta, ~c+\delta)$에 있으면 $\displaystyle 2f(c)-y_0<f(x)<y_0$이다. 
여기서 $\displaystyle c+\frac{\delta}{2}$를 생각해보면 $\displaystyle f \left(c+ \frac{\delta}{2}\right) <y_0$이므로 $\displaystyle c+\frac{\delta}{2} \in N$이므로 $\displaystyle c+\frac{\delta}{2} $은 집합 $N$의 상계의 집합에 속하지 않는다. 그런데 $c=\sup (N)$이므로 $\displaystyle c+\frac{\delta}{2} <c $이어야 하는데 이 부등식이 성립하지 않으므로 모순이다.
(ii) $f(c)>y_0$일 때,
함수 $f$는 $x=c$에서 연속이므로 $\epsilon= f(c)-y_0$라 하면 적절한 $\delta>0$가 존재하여

$\displaystyle |x-c|<\delta$이면 $|f(x)-f(c)|< f(c)-y_0$

이다. 즉, $x$가 구간 $(c-\delta, ~c+\delta)$에 있으면 $y_0 <f(x) < 2f(c)-y_0$이다. 
여기서 $\displaystyle c-\frac{\delta}{2}$를 생각해보면 $\displaystyle f \left(c- \frac{\delta}{2}\right) > y_0$이므로 $\displaystyle c-\frac{\delta}{2} \notin N$이므로 $\displaystyle c-\frac{\delta}{2} $은 집합 $N$의 상계의 집합에 속한다. 그런데 집합 $N$의 최소상계가 $c=\sup (N)$이므로 $\displaystyle c-\frac{\delta}{2} > c $이어야 하는데 이 부등식이 성립하지 않으므로 모순이다.
(i), (ii)에 의해 $f(c)>y_0$, $f(c)<y_0$ 모두 성립하지 않으므로 $f(c)=y_0$이다. 따라서 사잇값의 정리가 증명되었다.  qed
 
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