[수학의 기초] 삼각형의 무게중심(m:n 내(외)분점의 무게중심)-더플러스수학학원

울산과고 전문 더플러스수학학원입니다. 울산과고1학년 신입생이 정석문제 중 아래의 문제를 증명해 달라고 했습니다. 대수적으로, 중학교 유클리드 기하로 증명해 보았습니다. 고1과정으로 하는 방법은 왜 증명되는지에 대한 설득을 주지는 않지만 하니까 된다. 그렇기 때문에 증명은 쉽지만 계산과정이 복잡해진다. 반대로 중학교의 기하학인 유클리드 기하학으로 하면 그 이유를 이해한다면 쉽게 수긍될 수 있습니다.

(문제)  $\displaystyle  \triangle \mathrm{ABC}$ 의 변 $\displaystyle  \mathrm{AB},~ \mathrm{BC},~ \mathrm{CA}$ 를 $\displaystyle  m: n~(m>0,~ n>0)$ 으로 내분하는 점을 각각 $\displaystyle  \mathrm{D},~ \mathrm{E},~ \mathrm{F}$ 라고 할 때, $\displaystyle  \triangle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심과 $\displaystyle  \triangle \mathrm{DEF}$ 의 무게중심이 일치함을 증명하시오.

위의 그림에서 세 점 $\displaystyle  \mathrm{A,~B,~C}$의 좌표를 각각 $\displaystyle  \mathrm{A}  (x_1,~y_1)$, $\displaystyle  \mathrm{B}  (x_2,~y_2)$, $\displaystyle  \mathrm{C}  (x_3,~y_3)$라 두면 변 $\displaystyle  \mathrm{AB},~ \mathrm{BC},~ \mathrm{CA}$ 를 $\displaystyle  m: n~(m>0,~ n>0)$ 으로 내분하는 점을 각각 $\displaystyle  \mathrm{D},~ \mathrm{E},~ \mathrm{F}$라 할 때, 내분점의 공식을 써서 좌표를 구해 보자.
$\displaystyle  \mathrm{D} \left(\frac{mx_2 +nx_1}{m+n},~\frac{my_2 +ny_1}{m+n}\right)$, $\displaystyle  \mathrm{E} \left(\frac{mx_3 +nx_2}{m+n},~\frac{my_3 +ny_2}{m+n}\right)$, $\displaystyle  \mathrm{F} \left(\frac{mx_1 +nx_3}{m+n},~\frac{my_1 +ny_3}{m+n}\right)$
$\displaystyle  \triangle \mathrm{DEF}$ 의 무게중심의 $x,~y$좌표를 구하면
$\displaystyle\begin{aligned}  x&=\frac{1}{3}\left(\frac{mx_2 +nx_1}{m+n}+\frac{mx_3 +nx_2}{m+n}+\frac{mx_1 +nx_3}{m+n}\right) \\&=\frac{1}{3}\frac{(m+n)(x_1+x_2+x_3)}{m+n}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\end{aligned}$
$\displaystyle\begin{aligned}  y&=\frac{1}{3}\left(\frac{my_2 +ny_1}{m+n}+\frac{my_3 +ny_2}{m+n}+\frac{my_1 +ny_3}{m+n}\right) \\&=\frac{1}{3}\frac{(m+n)(y_1+y_2+y_3)}{m+n}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\end{aligned}$
따라서 $\displaystyle  \triangle \mathrm{ABC}$ 의 무게중심과 $\displaystyle  \triangle \mathrm{DEF}$ 의 무게중심이 일치한다.
(증명)2

위의 그림에서 보듯이 $\displaystyle \overline{\mathrm{QC}}=\overline{\mathrm{BQ'}}$이 되게 선분 $\displaystyle \mathrm {BC}$ 위에 점 $\displaystyle \mathrm Q'$을 잡자. 그러면 $\displaystyle m:n= \overline{\mathrm{CR}}:\overline{\mathrm{RA}}=\overline{\mathrm{CQ'}}:\overline{\mathrm{Q'B}}$이고, $\displaystyle m:n= \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{CQ'}}:\overline{\mathrm{Q'B}}$이므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{APQ'R}$은 평행사변형이다. 따라서 

$\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{PQ'}}$

이다.
또, $\displaystyle  \overline{\mathrm{QP}}$의 중점을 $\displaystyle  \mathrm{N}$이라 잡고 $\displaystyle  \overline{\mathrm{BC}}$의 중점을 $\displaystyle  {\mathrm{M}}$이라 두면 $\displaystyle  \overline{\mathrm{BQ'}}=\overline{\mathrm{CQ}}$이므로 $\displaystyle  \overline{\mathrm{Q'M}}=\overline{\mathrm{QM}}$이다.
따라서 삼각형 $\displaystyle   {\mathrm{QPQ'}}$에서 중점연결정리에 의해
$\displaystyle  \overline{\mathrm{MN}}=\frac 1 2 \overline{\mathrm{PQ'}} =\frac 1 2 \overline{\mathrm{AR}}$

$\displaystyle  \overline{\mathrm{AR}} : \overline{\mathrm{MN}} =2:1$     $\cdots\cdots$ (i)

이다. 또, 점 $\displaystyle  {\mathrm{G}}$가 삼각형 $\displaystyle  \mathrm{ABC}$의 무게중심이고 $\displaystyle  \overline{\mathrm{AM}}$이 $\displaystyle  \mathrm{ABC}$의 중선이므로 

$\displaystyle  \overline{\mathrm{AG}} : \overline{\mathrm{GM}} =2:1$     $\cdots\cdots$ (ii)

(i), (ii)에서 삼각형 $\displaystyle  {\mathrm{AGR}}$과 삼각형 $\displaystyle  {\mathrm{MGN}}$은 $\displaystyle  {\mathrm{AA}}$ 닮음이다. 따라서

$\displaystyle  \overline{\mathrm{RG}} : \overline{\mathrm{GN}} =2:1$

이고 $\displaystyle  \overline{\mathrm{RN}}$은 삼각형 $\displaystyle   \mathrm{PQR}$의 중선이고 $\displaystyle  \overline{\mathrm{RG}} : \overline{\mathrm{GN}} =2:1$이므로 점 $\displaystyle   \mathrm{G}$는 삼각형 $\displaystyle   \mathrm{PQR}$의 무게 중심이다.
 
https://youtu.be/KP1jWdKFphA

논증기하 증명 과고수업