2. 행렬식

2. 행렬식

정의 2.1.1. 행렬식

$n$차의 정사각행렬 $A$의 행렬식을 $|A|$ 또는 $detA$로 나타내며, 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

(i) $n=1$일 때, $|a _ {11} |=a _ {11}$

(ii) $n>1$일 때,

$$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( -1) ^ {i+n} a _ {i n } M _ {i n } \right .$$

여기서 $M _ {ij}$은 행렬 $A$에서 $i$행과 $j$열을 뺀 행렬의 행렬식을 나타내며, 이를 $a _ {ij}$의 소행렬식이라 부른다.

예1.

$n=2$일 때,

$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} \\a _ {21} & a _ {22} } \right| = ( -1) ^ {1+2} a _ {12} M _ {12} + \left ( -1 \right ) ^ {2+2} a _ {22} M _ {22}$ $=-a _ {12} a _ {21} +a _ {22} a _ {11} =a _ {11} a _ {22} -a _ {12} a _ {21}$

$n=3$일 때,

$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {13} \\a _ {21} & a _ {22} & a _ {23} \\a _ {31} & a _ {32} & a _ {33} } \right| =  ( -1) ^ {1+3} a _ {13} \left| \matrix {a _ {21} & a _ {22} \\a _ {31} & a _ {32} } \right| + ( -1) ^ {2+3} a _ {23} \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} \\a _ {31} & a _ {32} } \right|  + ( -1) ^ {3+3} a _ {33} \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} \\a _ {21} & a _ {22} } \right|$

$=a _ {13} ( a _ {21} a _ {32} -a _ {31} a _ {22} )-a _ {23} ( a _ {11} a _ {32} -a _ {31} a _ {12} )+a _ {33} ( a _ {11} a _ {22} -a _ {21} a _ {22} )$

다음 두 그림은 예 1의 결과를 간단히 나타낸 것이다.

* 행렬식의 정의에서 $\left ( -1 \right ) ^ {i+n}$과 소행렬식 $M _ {i n }$을 곱한 값을 하나의 기호로 나타내면 편리하다. 행렬식 $|A|$에서 $\left ( -1 \right ) ^ {i+j} M _ {ij}$를 기호 $A _ {ij}$로 나타내고, 이를 성분 $a _ {ij}$의 여인수라 한다.

즉 $A _ {ij} = ( -1) ^ {i+j} M _ {ij}$에서 부호 $( -1) ^ {i+j}$을 간단히 결정하는 방법을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

 

예2. 행렬식 $|A|= \left| \matrix {1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\\-2 & -1 & 2} \right|$에서

$A _ {12} = \left (  -1 \right ) ^ {1+2} \left| \matrix {2 & -1\\-2 & 2} \right| =- ( 4-2)=-2$

$A _ {12} = \left (  -1 \right ) ^ {2+2} \left| \matrix {1 & 3\\-2 & 2} \right| =2+6=8$

$A _ {32} = \left (  -1 \right ) ^ {3+2} \left| \matrix {1 & 3\\2 & -1} \right| =- ( -1-6)=7$

 

정리 2. 4. 행렬식과 여인수 사이의 관계

$2$차이상의 정사각행렬 $A$에 대하여

(i) $|A|= \sum\limits _ {j=1} ^ {n} a _ {ij} A _ {ij}$ ($i$은 $1$과 $n$사이의 임의의 고정된 자연수)

(ii) $|A|= \sum\limits _ {i=1} ^ {n} a _ {ij} A _ {ij}$ ($j$은 $1$과 $n$사이의 임의의 고정된 자연수)

* (i)을 행렬식 $|A|$를 제 $i$행에 관하여 전개한 식, (ii)를 행렬식 $|A|$를 제 $j$행에 관하여 전개한 식

예3. 행렬식 $A= \left ( \matrix {1 & -2 & 3\\2 & 1 & -1\\-2 & -1 & 2} \right)$에 대하여 $|A|$를 제$1$행에 대하여 전개하면 다음과 같은 행렬식 $|A|$의 값을 구할 수 있다.

$|A|=a _ {11} A _ {11} +a _ {12} A _ {12} +a _ {13} A _ {13}$$=1 \cdot \left (  -1 \right ) ^ {1+1} \left| \matrix {1 & -1\\-1 & 2} \right| + ( -2) \cdot \left (  -1 \right ) ^ {1+2} \left| \matrix {2 & -1\\-2 & 2} \right| +3 \cdot \left (  -1 \right ) ^ {1+3} \left| \matrix {2 & 1\\-2 & -1} \right|$$= ( 2-1)+2 ( 4-2)+3 ( -2+2)=5$$

예3의 행렬 $A$에 대하여 $|A|$를 제$2$열에 대하여 전개하여 $|A|$의 값을 구하여라.

 

정리 행렬식의 성질

행렬 $A= \left ( a _ {ij} \right ) _ {n \times n}$에 대하여

(i) $|A|=|A ^ {T} |$

(ii) 행렬 $A$의 서로 다른 두 행을 맞바꾸어 만든 행렬을 $B$라 하면 $|B|=-|A|$이다. 즉, 다음과 같다.

$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} & a _ {s2} & \cdots & a _ {sn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right| =- \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} & a _ {s2} & \cdots & a _ {sn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right|$

(iii) 행렬 $A$의 한 행을 $k$배하여 만든 행렬을 $C$라 하면 $|C|=k|A|$이다. 즉, 다음과 같다.

$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ka _ {r1} & ka _ {r2} & \cdots & ka _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| =k \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right|$

(iv) 행렬 $A$의 한 행을 두 수의 합으로 만든 행렬을 $C$라 하면,

$|C|=|A|+|B|$이다. 즉, 다음과 같다.

$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\b _ {r1} +c _ {r1} & b _ {r2} +c _ {r2} & \cdots & b _ {rn} +c _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| = \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\b _ {r1} & b _ {r2} & \cdots & b _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| + \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\c _ {r1} & c _ {r2} & \cdots & c _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right|$

 

정리 행렬식의 성질

$\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} +ka _ {r1} & a _ {s2} +ka _ {r2} & \cdots & a _ {sn} +ka _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right| =- \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {r1} & a _ {r2} & \cdots & a _ {rn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {s1} & a _ {s2} & \cdots & a _ {sn} \\\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} } \right|$

 

* 행렬 $A$의 한 행에 다른 행의 $k$배를 더하여 만든 행렬의 행렬식은 $A$의 행렬식과 같다. (열에 대해서도 동일하게 성립한다.)

예제1. 다음 행렬식의 값을 구하여라.

$|A|= \left| \matrix {2 & -1 & 1 & 0\\-3 & 0 & 1 & -2\\1 & 1 & -1 & 1\\2 & -1 & 5 & -1} \right|$

(풀이) 주어진 행렬의 제$3$행을 제1행과 제$4$행에 각각 더하면

$|A|= \left| \matrix {3 & 0 & 0 & 1\\-3 & 0 & 1 & -2\\1 & 1 & -1 & 1\\3 & 0 & 4 & 0} \right|$

이고 이를 제$2$열에 관하여 전해하면 다음과 같다.

$|A|= ( -1) \left| \matrix {3 & 0 & 1\\-3 & 1 & -2\\3 & 4 & 0} \right|$

또, 제$1$행을 $2$배하여 제$2$행에 더한 다음, 이를 제$3$열에 관하여 전개하면,

$|A|= ( -1) \left| \matrix {3 & 0 & 1\\-3 & 1 & -2\\3 & 4 & 0} \right| =- \left| \matrix {3 & 1\\3 & 4} \right| =-9$

 

 

예제2. 다음이 성립함을 보여라.

$|A|= \left| \matrix {x & x ^ {2} & x ^ {3} \\y & y ^ {2} & y ^ {3} \\z & z ^ {2} & z ^ {3} } \right| =xyz ( x-z) ( y-z) ( y-x)$

증명) 먼저, 제$1$행에서 $x$, 제$2$행에서 $y$, 제$3$행에서 $z$를 각각 뽑아 내면

$|A|=xyz \left| \matrix {1 & x & x ^ {2} \\1 & y & y ^ {2} \\1 & z & z ^ {2} } \right|$

이고, 제$3$행의 $\left ( -1 \right )$배를 제$1$행과 제$2$행에 각각 더한 다음 제$1$열에 관하여 전개하면

$|A|=xyz \left| \matrix {0 & x-z & x ^ {2} -z ^ {2} \\0 & y-z & y ^ {2} -z ^ {2} \\1 & z & z ^ {2} } \right| =xyz \left| \matrix {x-z & x ^ {2} -z ^ {2} \\y-z & y ^ {2} -z ^ {2} } \right|$

$=xyz \left ( x-z \right ) ( y-z) \left| \matrix {1 & x+z\\1 & y+z} \right| =xyz \left ( x-z \right ) \left ( y-z \right ) \left ( y-x \right )$