[서울대 심층면접] 2003학년도 서울대 심층면접 정시

[서울대 2003학년도 정시]

이계도함수를 가지는 함수 $y=f \left ( x \right )$가 다음 성질을 만족한다고 한다.

$$f \left ( 0 \right ) =0 ,~ f '' \left ( x \right ) <0$$ (단, $0 \leq x \leq 1$)

 

(1) $f '' \left ( x \right ) <0$일 때, $y=f \left ( x \right )$의 그래프가 위로 볼록한 이유를 설명하여라.

(2) 함수 $y=f \left ( x \right )$를 다음과 같이 정의하자.

$$g \left ( x \right ) = { \begin {cases} \frac {f \left ( x \right )} {x} & \left ( x \neq 0 \right )\\f ' \left ( 0 \right ) & \left ( x=0 \right )\end {cases} }$$

이 때, $y=g \left ( x \right )$가 연속함수임을 보여라. 또한 $y=g \left ( x \right )$가 구간 $\left [ 0,1 \right ]$에서 증가함수인지 감소함수인지 말하고, 그 이유를 설명하라.

 

(3) $f \left ( 1 \right ) =1,~f ' \left ( 0 \right ) = \alpha$일 때, 구간 $\left [ 0,1 \right ]$ 위에서 곡선 $y=f \left ( x \right ) ,~y=x$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 항상 $$S \leq \frac {\alpha -1} {2}$$ 임을 설명하여라.

https://tv.naver.com/v/9937050

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