[서울대 심층면접] 2003학년도 서울대 심층면접 정시

[서울대 2003학년도 정시]

이계도함수를 가지는 함수 $ y=f \left ( x \right ) $가 다음 성질을 만족한다고 한다.

$$ f \left ( 0 \right ) =0 ,~ f '' \left ( x \right ) <0 $$ (단, $ 0 \leq x \leq 1 $)

 

(1) $ f '' \left ( x \right ) <0 $일 때, $ y=f \left ( x \right ) $의 그래프가 위로 볼록한 이유를 설명하여라.

(2) 함수 $ y=f \left ( x \right ) $를 다음과 같이 정의하자.

$$ g \left ( x \right ) = { \begin {cases} \frac {f \left ( x \right )} {x} & \left ( x \neq 0 \right )\\f ' \left ( 0 \right ) & \left ( x=0 \right )\end {cases} } $$

이 때, $ y=g \left ( x \right ) $가 연속함수임을 보여라. 또한 $ y=g \left ( x \right ) $가 구간 $ \left [ 0,1 \right ] $에서 증가함수인지 감소함수인지 말하고, 그 이유를 설명하라.

 

(3) $ f \left ( 1 \right ) =1,~f ' \left ( 0 \right ) = \alpha $일 때, 구간 $ \left [ 0,1 \right ] $ 위에서 곡선 $ y=f \left ( x \right ) ,~y=x $로 둘러싸인 도형의 넓이 $ S $는 항상 $$ S \leq \frac {\alpha -1} {2} $$임을 설명하여라.

https://tv.naver.com/v/9937050

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