[시립대 수리논술] 2019학년도 시립대 수리논술

https://tv.kakao.com/v/401918706

 

[문제 1] (100점)

함수

$$ f ( x)=x ^ {4} + \left ( 6a+2 \right ) x ^ {3} + \left ( 11a ^ {2} +10a+1 \right ) x ^ {2} + \left ( 6a ^ {3} +14a ^ {2} +4a \right ) x+3a ^ {3} +5a ^ {2} +a $$

에 대하여 다음 물음에 답하여라. (단, $ a $는 상수이다.)

 

(a) $ f ( x)= ( x ^ {2} +Ax+3a ^ {2} +5a+1) \left ( x ^ {2} +Bx+a \right ) $를 만족시키는 $ A,~B $를 $ a $를 사용하여 나타내어라. (20점)

 

(b) 함수 $ f ( x) $의 최솟값을 $ m _ {a} $라 할 때 집합 $ \left\{ a~|~m _ {a} \geq 0 \right\} $을 구하여라. (80점)

 

 

[문제 2] (100점)

$ 3 $개의 당첨 제비를 포함하여 $ 2n $개의 제비가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 $ \rm A,~B $ 두 사람이 $ \rm A $부터 시작하여 $ \rm A $와 $ \rm B $가 교대로 제비를 한 개씩 임의로 뽑는다. 당첨 제비가 처음 나오면 이 시행을 멈추기로 할 때, $ \rm A $가 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하여라. (단, $ n $은 $ 1 $보다 큰 자연수이고, 꺼낸 제비는 상자 안에 다시 넣지 않는다.)

 

 

 

[문제 3] (총 100점)

사면체 $ \rm ABCD $가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

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          (1) $ \rm \angle ACB= \frac {\pi } {2} $

          (2) $ \rm \overline {AD} = \overline {BD} =5 $, $ \rm \overline {CD} =4 $

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평면 $ \rm ABC $의 법선벡터와 벡터 $ \rm \overrightarrow {CD} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta $라 하자. $ \rm \overline {BC}$$ =  a $, $ \rm \overline {AC}$$ =  b $라 할 때, $ \cos ^ {2} \theta $를 $ a,~b $를 사용하여 나타내어라.

 

 

 

[문제 4] (총 100점)

그림과 같이 곡선 $ y=e ^ {x} $과 $ x $축 및 두 직선 $ x=0 $, $ x=2 $로 둘러싸인 영역에 한 변이 $ x $축에 있고 내부가 서로 겹치지 않는 두 직사각형이 있다. 두 직사각형의 넓이를 각각 $ S _ {1} $, $ S _ {2} $라 할 때, $$ S _ {1} +S _ {2} $$의 최댓값을 구하여라.