[인하대 수리논술] 2019학년도 인하대 수리논술 오전

 

 

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[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 좌표평면 위의 두 점 $ \mathrm {P} ( x _ {1} ,~y _ {1} ),~ \mathrm {Q} ( x _ {2} ,~y _ {2} ) $사이의 거리는 다음과 같다.

$$\displaystyle \overline {\mathrm{PQ}}= \sqrt {\left ( x _ {2} -x _ {1} \right ) ^ {2} + \left ( y _ {2} -y _ {1} \right ) ^ {2} } $$

(나) 서로 다른 두 점 $ (  x _ {1} ,~y _ {1} ),~ (  x _ {2} ,~y _ {2} ) $를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

$ x _ {1} \neq x _ {2} $일 때, $\displaystyle y-y _ {1} = \frac {y _ {2} -y _ {1} } {x _ {2} -x _ {1} } \left ( x-x _ {1} \right ) $

$ x _ {1} =x _ {2} $일 때, $ x=x _ {1} $

(다) $ a \geq b>0 $이고 $ c \geq d>0 $이면 $ ac \geq bd $이다.

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※ 좌표평면에서 자연수 $ n $에 대하여 곡선 $ y= \sqrt {x} $ ($ x \geq 0 $) 위의 점 $ A _ {n} $이

$ \displaystyle \overline {\mathrm{OA} _ { n  } }=  \frac {1} {n ^ {2} } $

을 만족할 때, $ A _ {n} $의 $ x $좌표를 $ a _ {n} $이라 하자. 두 점 $ A _ {n} $과 $\displaystyle \left ( 0,~ \frac {1} {n ^ {2} } \right ) $을 지나는 직선의 $ x $절편을 $ b _ {n} $이라 하자. (단, $ \mathrm O $는 원점이다.)

 

(1-1) 극한값 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {n ^ {4} a _ {n} } $을 구하시오.(10점)

 

(1-2) 극한값 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} b _ {n} $을 구하시오.(10점)

 

(1-3) 모든 자연수 $ n $에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (10점)

$$ \left ( n+2 \right ) a _ {n+1} \leq \left ( n+1 \right ) a _ {n} $$

 

 

 

[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 영벡터가 아닌 두 벡터 $ \overrightarrow {a} = \left ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~a _ {3} \right ) $, $ \overrightarrow {b} = \left ( b _ {1} ,~b _ {2} ,~b _ {3} \right ) $가 이루는 각의 크기를 $ \theta $$ \left ( 0 \leq \theta \leq \pi \right ) $라고 할 때,

$$ \overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {b} =\left| \overrightarrow {a} \right| \left| \overrightarrow {b} \right| \cos \theta =a _ {1} b _ {1} +a _ {2} b _ {2} +a _ {3} b _ {3} $$

(나) 세 벡터 $ \overrightarrow {a} ,~ \overrightarrow {b} ,~ \overrightarrow {c} $에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {a} =| \overrightarrow {a} | ^ {2} ,~ \overrightarrow {a} \bullet \left ( \overrightarrow {b} + \overrightarrow {c} \right ) = \overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {b} + \overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {c} $$

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※ 아래 그림과 같이 두 개의 구

$$ S _ {1} ~:~x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =r ^ {2} ~ (  0<r<2 ~), ~ S _ {2}~ :~x ^ {2} + \left ( y-1 \right ) ^ {2} +z ^ {2} =1 $$

이 만나서 생기는 원을 $ C $ 라 하자. 원 $ C $ 위의 점 $ \rm P $에서 $ zx $ 평면에 내린 수선의 발을 $ \rm P ' $이라 하고 원 $ x ^ {2} +z ^ {2} =r ^ {2} ,~y=0 $ 위의 점을 $ \rm Q $라 하자. (단, $ \rm O $는 원점이다.)

(2-1) $ \rm \overrightarrow {OQ} = \it k \rm \overrightarrow {OP ' } $일 때, $ k $의 값을 $ r $에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

 

(2-2) 점 $ \rm A ( 0,~4,~0) $에 대하여, $ \rm \overrightarrow {AP} \bullet \overrightarrow {AQ} -| \overrightarrow {PQ} | ^ {2} $의 최댓값과 최솟값의 합을 $ r $에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

 

(2-3) 실수 $ r $ ($ 0<r<2 $)에 대하여, 사면체 $ \rm OPQP ' $의 최대 부피를 $ V ( r) $이라 하자. (15점)

(a) $ V ( r) $이 최대가 되는 $ r $의 값을 구하시오.

(b) $ V ( r) $이 최대일 때, 세 점 $ \rm O,~P,~Q $를 포함하는 평면과 $ zx $평면이 이루는 각 $ \alpha $에 대하여 $ \sin \alpha $의 값을 구하시오.

 

 

 

[문제 3] (40점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $의 일반항 $ a _ {n} $은 $$ a _ {n} =ar ^ {n-1} $$이다. $ r \neq 1 $일 때, 등비수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $의 첫째항부터 제 $ n $항까지의 합은 $$ \frac {a ( r ^ {n} -1)} {r-1} $$이다.

(나) (사이값 정리) 구간 $ [a,~b] $ 위의 두 연속함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $에 대하여 $ f ( a)<g ( a) $이고 $ f ( b)>g ( b) $이면, $$ f ( c)=g ( c) $$인 $ c $가 구간 $ \left ( a,~b \right ) $에 반드시 존재한다.

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※ 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $과 $ \left\{ x|x \geq 0 \right\} $에서 정의된 연속함수 $ f ( x) $는 다음 세 조건을 만족한다.

(1) 구간 $ [0,~1] $에서 $ f ( x)=x $이다.

(2) $ a _ {1} =1 $이고, 모든 자연수 $ n $에 대하여 구간 $ [a _ {n} ,~a _ {n+1} ] $에서 함수 $ f ( x) $의 그래프는 기울기가 $ \left ( -1 \right ) ^ {n} $인 직선의 일부이다.

(3) 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ f \left ( a _ {n+1} \right ) =-2f \left ( a _ {n} \right ) $이다.

 

(3-1) 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $의 5번째 항 $ a _ {5} $의 값을 구하시오. (5점)

 

(3-2) $ f ( x)=0 $을 만족하는 $ x $ $ \left ( x>0 \right ) $의 값을 작은 것부터 순서대로 $ x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ,~ \cdots $이라고 할 때, $ x _ {10} $의 값을 구하시오. (5점)

 

(3-3) $$ \int _ {0} ^ {\alpha } {f ( t)dt} =1000 $$인 가장 작은 양수 $ \alpha $의 값이 구간 $ \left ( a _ {k} ,~a _ {k+1} \right ) $에 속할 때, $ k $의 값을 구하시오. (10점)

 

(3-4) $ |m| \leq \frac {1} {10} $인 실수 $ m $에 대하여, $$ \int _ {0} ^ {x} {\left ( f ( t)-mt \right ) dt} =0 $$을 만족하는 양수 $ x $의 값이 무한히 많음을 보이시오. (15점)