[인하대 수리논술] 2019학년도 인하대 수리논술 오전

 

 

https://youtu.be/oooGUjpX19s(구독과 좋아요를....)

 

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm {P} ( x _ {1} ,~y _ {1} ),~ \mathrm {Q} ( x _ {2} ,~y _ {2} )$사이의 거리는 다음과 같다.

$$\displaystyle \overline {\mathrm{PQ}}= \sqrt {\left ( x _ {2} -x _ {1} \right ) ^ {2} + \left ( y _ {2} -y _ {1} \right ) ^ {2} }$$

(나) 서로 다른 두 점 $(  x _ {1} ,~y _ {1} ),~ (  x _ {2} ,~y _ {2} )$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

$x _ {1} \neq x _ {2}$일 때, $\displaystyle y-y _ {1} = \frac {y _ {2} -y _ {1} } {x _ {2} -x _ {1} } \left ( x-x _ {1} \right )$

$x _ {1} =x _ {2}$일 때, $x=x _ {1}$

(다) $a \geq b>0$이고 $c \geq d>0$이면 $ac \geq bd$이다.

---

※ 좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y= \sqrt {x}$ ($x \geq 0$) 위의 점 $A _ {n}$이

$\displaystyle \overline {\mathrm{OA} _ { n  } }=  \frac {1} {n ^ {2} }$

을 만족할 때, $A _ {n}$의 $x$좌표를 $a _ {n}$이라 하자. 두 점 $A _ {n}$과 $\displaystyle \left ( 0,~ \frac {1} {n ^ {2} } \right )$을 지나는 직선의 $x$절편을 $b _ {n}$이라 하자. (단, $\mathrm O$는 원점이다.)

 

(1-1) 극한값 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {n ^ {4} a _ {n} }$을 구하시오.(10점)

 

(1-2) 극한값 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} b _ {n}$을 구하시오.(10점)

 

(1-3) 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (10점)

$$\left ( n+2 \right ) a _ {n+1} \leq \left ( n+1 \right ) a _ {n}$$

 

 

 

[문제 2] (35점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 영벡터가 아닌 두 벡터 $\overrightarrow {a} = \left ( a _ {1} ,~a _ {2} ,~a _ {3} \right )$, $\overrightarrow {b} = \left ( b _ {1} ,~b _ {2} ,~b _ {3} \right )$가 이루는 각의 크기를 $\theta$$\left ( 0 \leq \theta \leq \pi \right )$라고 할 때,

$$\overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {b} =\left| \overrightarrow {a} \right| \left| \overrightarrow {b} \right| \cos \theta =a _ {1} b _ {1} +a _ {2} b _ {2} +a _ {3} b _ {3}$$

(나) 세 벡터 $\overrightarrow {a} ,~ \overrightarrow {b} ,~ \overrightarrow {c}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {a} =| \overrightarrow {a} | ^ {2} ,~ \overrightarrow {a} \bullet \left ( \overrightarrow {b} + \overrightarrow {c} \right ) = \overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {b} + \overrightarrow {a} \bullet \overrightarrow {c}$$

---

※ 아래 그림과 같이 두 개의 구

$$S _ {1} ~:~x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =r ^ {2} ~ (  0<r<2 ~), ~ S _ {2}~ :~x ^ {2} + \left ( y-1 \right ) ^ {2} +z ^ {2} =1$$

이 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 위의 점 $\rm P$에서 $zx$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm P '$이라 하고 원 $x ^ {2} +z ^ {2} =r ^ {2} ,~y=0$ 위의 점을 $\rm Q$라 하자. (단, $\rm O$는 원점이다.)

(2-1) $\rm \overrightarrow {OQ} = \it k \rm \overrightarrow {OP ' }$일 때, $k$의 값을 $r$에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

 

(2-2) 점 $\rm A ( 0,~4,~0)$에 대하여, $\rm \overrightarrow {AP} \bullet \overrightarrow {AQ} -| \overrightarrow {PQ} | ^ {2}$의 최댓값과 최솟값의 합을 $r$에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

 

(2-3) 실수 $r$ ($0<r<2$)에 대하여, 사면체 $\rm OPQP '$의 최대 부피를 $V ( r)$이라 하자. (15점)

(a) $V ( r)$이 최대가 되는 $r$의 값을 구하시오.

(b) $V ( r)$이 최대일 때, 세 점 $\rm O,~P,~Q$를 포함하는 평면과 $zx$평면이 이루는 각 $\alpha$에 대하여 $\sin \alpha$의 값을 구하시오.

 

 

 

[문제 3] (40점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$의 일반항 $a _ {n}$은 $$a _ {n} =ar ^ {n-1}$$ 이다. $r \neq 1$일 때, 등비수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합은 $$\frac {a ( r ^ {n} -1)} {r-1}$$ 이다.

(나) (사이값 정리) 구간 $[a,~b]$ 위의 두 연속함수 $f ( x)$와 $g ( x)$에 대하여 $f ( a)<g ( a)$이고 $f ( b)>g ( b)$이면, $$f ( c)=g ( c)$$ 인 $c$가 구간 $\left ( a,~b \right )$에 반드시 존재한다.

---

※ 수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$과 $\left\{ x|x \geq 0 \right\}$에서 정의된 연속함수 $f ( x)$는 다음 세 조건을 만족한다.

(1) 구간 $[0,~1]$에서 $f ( x)=x$이다.

(2) $a _ {1} =1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 구간 $[a _ {n} ,~a _ {n+1} ]$에서 함수 $f ( x)$의 그래프는 기울기가 $\left ( -1 \right ) ^ {n}$인 직선의 일부이다.

(3) 모든 자연수 $n$에 대하여 $f \left ( a _ {n+1} \right ) =-2f \left ( a _ {n} \right )$이다.

 

(3-1) 수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$의 5번째 항 $a _ {5}$의 값을 구하시오. (5점)

 

(3-2) $f ( x)=0$을 만족하는 $x$ $\left ( x>0 \right )$의 값을 작은 것부터 순서대로 $x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ,~ \cdots$이라고 할 때, $x _ {10}$의 값을 구하시오. (5점)

 

(3-3) $$\int _ {0} ^ {\alpha } {f ( t)dt} =1000$$ 인 가장 작은 양수 $\alpha$의 값이 구간 $\left ( a _ {k} ,~a _ {k+1} \right )$에 속할 때, $k$의 값을 구하시오. (10점)

 

(3-4) $|m| \leq \frac {1} {10}$인 실수 $m$에 대하여, $$\int _ {0} ^ {x} {\left ( f ( t)-mt \right ) dt} =0$$ 을 만족하는 양수 $x$의 값이 무한히 많음을 보이시오. (15점)