[서울대 의대] 2003학년도 서울대의대 심층면접

[서울대 2003학년도 의대 수시]

다음 물음에 답하여라.

(1) 미분가능한 함수 $ y=f ( x) $의 역함수를 $ g $라 하자. 좌표평면에서 점 $ \rm P \it ( a,~b) $는 함수 $ y=f ( x) $를 만족한다. 이 때, $$ g ' ( b)= \frac {1} {f ' ( a)} $$임을 설명하여라.

(2) 함수 $ f ( x)=\sin ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} x \right ) $ (단, $ 0<x<1 $)의 역함수를 $ y=g ( x) $라고 하자. 위의 결과를 이용하여 $ y=g ( x) $의 도함수를 $ x $의 식으로 나타내어라.

 

(3) 구간 $ [0,~1] $에서 함수 $ y=\sin ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} x \right ) $의 그래프를 그리고 두 곡선 $ y=f ( x) $와 $ y=g ( x) $로 둘러싸인 도형의 넓이를 $ \rm S $를 구하여라. (여기서 $ y=g ( x) $는 $ y=f ( x) $역함수이다.)

 

(4) 함수 $ y=f _ {n} ( x)=\sin ^ {n} \left ( \frac {\pi } {2} x \right ) $ (단, $ n $은 자연수이다.)의 역함수를 $ y=g _ {n} ( x) $라 하자. 구간 $ [0,~1] $에서 두 곡선 $ y=f _ {n} ( x) $와 $ y=g _ {n} ( x) $로 둘러싸인 도형의 넓이를 $ \rm S _ {\it n \rm } $이라 할 때, 수열 $ \left\{ \rm S _ {\it n \rm } \right\} $은 수렴하는가? 또는 발산하는가? 만일 수렴한다면 그 극한값은 얼마인가?

 

https://tv.naver.com/v/9937056

[서울대 의대] 2003학년도 서울대 의대 심층면접문제[더플러스수학]

정답

(1) 생략 (2) $ g ' ( x)= \frac {1} {\pi \sqrt {x} \sqrt {1-x} } $

(3) $ S= \frac {2} {\pi } - \frac {1} {2} $ (4) $ 1 $에 수렴