[서울대 의대] 2003학년도 서울대의대 심층면접

[서울대 2003학년도 의대 수시]

다음 물음에 답하여라.

(1) 미분가능한 함수 $y=f ( x)$의 역함수를 $g$라 하자. 좌표평면에서 점 $\rm P \it ( a,~b)$는 함수 $y=f ( x)$를 만족한다. 이 때, $$g ' ( b)= \frac {1} {f ' ( a)}$$ 임을 설명하여라.

(2) 함수 $f ( x)=\sin ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} x \right )$ (단, $0<x<1$)의 역함수를 $y=g ( x)$라고 하자. 위의 결과를 이용하여 $y=g ( x)$의 도함수를 $x$의 식으로 나타내어라.

 

(3) 구간 $[0,~1]$에서 함수 $y=\sin ^ {2} \left ( \frac {\pi } {2} x \right )$의 그래프를 그리고 두 곡선 $y=f ( x)$와 $y=g ( x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\rm S$를 구하여라. (여기서 $y=g ( x)$는 $y=f ( x)$역함수이다.)

 

(4) 함수 $y=f _ {n} ( x)=\sin ^ {n} \left ( \frac {\pi } {2} x \right )$ (단, $n$은 자연수이다.)의 역함수를 $y=g _ {n} ( x)$라 하자. 구간 $[0,~1]$에서 두 곡선 $y=f _ {n} ( x)$와 $y=g _ {n} ( x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\rm S _ {\it n \rm }$이라 할 때, 수열 $\left\{ \rm S _ {\it n \rm } \right\}$은 수렴하는가? 또는 발산하는가? 만일 수렴한다면 그 극한값은 얼마인가?

 

https://tv.naver.com/v/9937056

[서울대 의대] 2003학년도 서울대 의대 심층면접문제[더플러스수학]

정답

(1) 생략 (2) $g ' ( x)= \frac {1} {\pi \sqrt {x} \sqrt {1-x} }$

(3) $S= \frac {2} {\pi } - \frac {1} {2}$ (4) $1$에 수렴