[서울대심층면접] 서울대심층면접 연도미상

함수 $ f \left ( x \right ) = \frac {1} {1+e ^ {-x} } $ 일 때, 다음에 답하여라.

(1) 도함수 $ f ' \left ( x \right ) $의 최대값을 구하여라.

 

(2) 방정식 $ f \left ( x \right ) =x $은 1개의 실수해만 가짐을 보이시오.

 

(3) 점화식 $$ a _ {n+1} =f \left ( a _ {n} \right )~ \left ( n=1,2,3, \cdots \right ) $$이라고 주어져 있을 때, 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $은  초항 $ a _ {1} ~\left ( 0<a _ {1} <1 \right ) $ 일 때, 수렴을 한다. 이 때의 극한값은 위의 방정식의 해가 됨을 보이시오.