[서울대 심층면접] 2005학년도 서울대 심층면접 정시

[서울대 2005학년도 정시]

[문제1]

다음 물음에 답하라.

(1) 주어진 삼각형 $ \rm ABC $ 내부의 점 $ \rm X $에 대하여 $ \rm \left | AX \right | ^ {2} + \left | BX \right | ^ {2} + \left | CX \right | ^ {2} $이 최소가 되는 $ \rm X $가 삼각형 $ \rm ABC $의 무게중심임을 증명하시오.

 

(2) 세 점 $ \rm A $$ \left ( 0,~a \right ) $, $ \rm B $$ \left ( -1,~0 \right ) $, $ \rm C $$ \left ( 1,~0 \right ) $을 꼭짓점으로 하는 $ \rm \triangle ABC $의 내부의 점 $ \rm X $$ ( m,~t) $에 대하여 다음 물음에 답하여라.

① $ t $를 고정하고 $ m $을 변화시킬 때, $ \rm \left | AX \right | + \left | BX \right | + \left | CX \right | $가 최소가 되는 점 $ X $가 $ y $축 위에 있음을 보여라.

② 앞의 ①에서 구한 최솟값이 최소일 때의 $ t $를 구하여라.

 

 

 

[문제2] 다음 물음에 답하여라.

(1) $ P $가 $ n $차 다항식일 때, 방정식 $ P \left ( x \right ) =0 $의 근의 개수는 $ n $보다 클 수 없음을 증명하여라.

(2) 다항식 $ f _ {1} ,f _ {2} ,f _ {3} , \cdots $가 다음 (가), (나), (다)를 만족한다.

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(가) $ f _ {1} \left ( x \right ) =x $

(나) $ \frac {d} {dx} f _ {n} \left ( x \right ) =nf _ {n-1} \left ( x \right ) \left ( n=2,~3, ~\cdots \right ) $

(다) $ \int _ {-1} ^ {1} {f _ {n} \left ( x \right ) dx=0 \left ( n=1,~2, ~\cdots \right )} $

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$ f _ {2} ,~f _ {3} ,~f _ {4} ,~f _ {5} $를 구해보면 다음과 같다.

$ f _ {2} \left ( x \right ) =x ^ {2} - \frac {1} {3} ,~~~~~~f _ {3} \left ( x \right ) =x ^ {3} -x, $

$ f _ {4} \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {2} + \frac {7} {15} ,~~f _ {5} \left ( x \right ) =x ^ {5} - \frac {10} {3} x ^ {3} + \frac {7} {3} x $

 

(a) $ f _ {6} \left ( x \right ) $ 를 구하시오.

(b) 방정식 $ f _ {n} ( x)=0 $이 서로 다른 $ n $개의 실근을 가지면, $ f _ {n-1} \left ( x \right ) =0 $의 서로 다른 실근의 개수가 정확히 $ n-1 $임을 보이시오.

(c) 방정식 $ f _ {6} \left ( x \right ) =0 $의 서로 다른 실근의 개수가 정확하게 2임을 보이시오.

(참고 : $ 7 ^ {4} -5 \bullet 3 \bullet 7 ^ {3} +3 ^ {2} \bullet 7 ^ {3} -3 ^ {2} \bullet 31=64 $)

(d) 6 이상인 모든 $ n $에 대해서 방정식 $ f _ {n} \left ( x \right ) =0 $의 서로 다른 실근의 개수는 $ n $보다 작게 됨을 설명하시오.

 

 

[문제3] 삼각형 $ \rm OAB $에 대하여 $ \rm G $를 $ \rm \overrightarrow {OG} $$ =k \rm ( \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ) $에 있는 점이라 하자. 또, 두 점 $ \rm P,~Q $를

$ \rm \overrightarrow {OP} $$ =p \rm \overrightarrow {OA} $, $ \rm \overrightarrow {OQ} $$ =q \rm \overrightarrow {OB} $($ 0<p<1 $, $ 0<q<1 $)

인 점이라 하자.

 

(1) 점 $ \rm G $가 삼각형 $ \rm OAB $의 내부에 있기 위한 $ k $의 조건을 구하여라.(단, 삼각형 $ \rm OAB $의 내부는 삼각형 $ \rm OAB $로 둘러싸인 부분에서 그 둘레를 제외한 부분을 말한다.)

 

(2) 삼각형 $ \rm OAB $, 삼각형 $ \rm OPQ $의 넓이를 각각 $ S,~S ' $이라 할 때, $$ \frac {S ' } {S} $$를 $ p,~q $를 이용하여 나타내어라.

 

(3) 세 점 $ \rm G,~P,~Q $가 동일 직선상에 있을 때, $ k $를 $ p,~q $를 이용하여 나타내어라.

 

(4) $ k= \frac {1} {4} $이고, 세 점 $ \rm G,~P,~Q $가 동일 직선상에 있을 때, $$ \frac {S ' } {S} $$의 최솟값을 구하여라.