[서울대 심층면접] 2005학년도 서울대 심층면접 수시

[서울대 2005학년도 수시]

[문제1]

$ x,~a $가 1보다 큰 실수일 때, $ \log _ {a} x $를 다음과 같이 정의할 수도 있다.

$$ \log _ {a} x= \frac { \int _ {1} ^ {x}   \frac {1} {t} dt} { \int _ {1} ^ {a}  \frac {1} {t} dt} $$

(1) 부등식 $$ 0<\log _ {a} x< \frac {x} { \int _ {1} ^ {a} {} \frac {1} {t} dt} $$임을 증명하여라.

(2) 앞의 (1)을 이용하여 $$ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {} \frac {\log _ {a} x} {x} =0 $$임을 보여라.

(3) 앞의 (2)를 이용하여 $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \frac {n ^ {2005} } {2 ^ {n} } $$의 값을 구하여라.

 

[문제2] 다음 물음에 답하시오.

(1) $ y= \sqrt {x ( 1-x)} $의 그래프의 개형을 설명하고 $ \int _ {0} ^ {1} {} \sqrt {x ( 1-x)} dx $의 값을 설명하시오.

(2) (1)을 활용하여 $$ \int _ {0} ^ {1} {x} \sqrt {x ( 1-x)} dx $$의 값을 구하시오.

 

 

[문제3]

(1) 오른쪽 그림과 같이

$$ \overrightarrow {a} \bot \overrightarrow {BC} ,| \overrightarrow {a} |=| \overrightarrow {BC} |\\ \\ \overrightarrow {b} \bot \overrightarrow {CA} ,| \overrightarrow {b} |=| \overrightarrow {CA} |\\ \\ \overrightarrow {c} \bot \overrightarrow {AB} ,| \overrightarrow {c} |=| \overrightarrow {AB} | $$

가 성립할 때, $ \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} + \overrightarrow {c} = \overrightarrow {0} $가 성립함을 증명하여라.

 

(2) $ n $차 볼록다각형에서도 위와 같은 벡터의 합이 $ \overrightarrow {0} $가 됨을 증명하여라.  ($ \overrightarrow {a} _ {1} + \overrightarrow {a} _ {2} + \cdots \overrightarrow {a} _ {n} = \overrightarrow {0} $임을 증명하는 것과 같다.)

 

(3) 정사면체에서 각 면의 법선 벡터의 합은 $ \overrightarrow {0} $임을 증명하여라. (단, 각 법선벡터의 방향은 사면체 외부로 향하고, 크기는 각 면에 비례한다.)

 

(4) 임의의 볼록다면체에서도 위와 같은 벡터들의 합이 $ \overrightarrow {0} $가 됨을 증명하여라.