[서울대 심층면접] 2006학년도 서울대 심층면접 수시

[서울대 2006학년도 특기자 수시]

[문제1]

함수 $ f: $ R → R 이 $ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {\left\{ f \left ( a+h \right ) -f \left ( a-h \right ) \right\} =0} $을 만족할 때 “$ x=a $에서 대칭연속”이라고 정의하자. 함수 $ f $가 모든 점에서 대칭연속일 때 $ f $를 “대칭연속함수”라고 하자.

한편 다음 극한 $ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} { \frac {f \left ( a+h \right ) -f \left ( a-h \right )} {2h} } $가 존재할 때 “$ x=a $에서 대칭미분가능” 하다고 정의하고, 또한 모든 점에서 대칭미분가능하면 함수 $ f $가 “대칭미분가능” 하다고 하고, “대칭도함수” $ Df $를 모든 $ x $에 대하여 $ Df $를 $ Df \left ( x \right ) = \lim\limits _ {h \rightarrow 0} { \frac {f \left ( x+h \right ) -f \left ( x-h \right )} {2h} } $로 정의하자. (R는 실수의 집합)

(!) 대칭연속함수는 연속함수인가? 연속함수는 대칭연속함수인가?

(2) 대칭불연속 함수의 예를 드시오.

(3) 대칭미분가능한 함수는 대칭연속인가?

(4) 대칭연속인 어떤 함수 $ f $에 대하여 모든 불연속한 점들의 집합을 $ S \left ( f \right ) $로 나타내자.

이 때 집합 $ S \left ( f \right ) $에 속하는 임의의 두 점 간의 거리들의 최소값이 항상 존재하겠는가?

(5) 대칭연속이지만 대칭미분가능하지 않은 함수의 예를 들어라.

(6) 미분가능하지 않지만 대칭미분가능한 함수의 예를 들고 대칭도함수를 구하라.

(7) 대칭연속함수 $ f $에 대하여 $ f $가 연속인 모든 점 $ x=a $에서 $ \tilde {f} \left ( a \right ) =f \left ( a \right ) $를 만족하는 연속함수 $ \tilde {f} $가 유일하게 존재하겠는가? 이 사실을 이용하여 대칭 연속함수 $ f $의 부정적분과 정적분을 어떻게 정의하면 좋을 것인가 논하라.

 

 

 

[문제2]

다음과 같이 주어진 함수 $ f:R \rightarrow R $에 대하여 아래 물음에 답하시오. (단, $ m $과 $ n $은 자연수이다.)

$$ f \left ( x \right ) = { \begin {cases} x ^ {m} \sin \frac {1} {x ^ {n} } & \left ( x \neq 0 \right )\\0 & \left ( x=0 \right )\end {cases} } $$

 

(1) $ f ' \left ( 0 \right ) $이 존재하고 $ x=0 $에서 도함수 $ f ' $가 연속이 되기 위한 $ m $과 $ n $에 관한 조건을 구하시오.

(2) $ n=1 $임을 가정하자. 이 때, 함수의 $ f $의 $ k $계도함수 $ f ^ {\left ( k \right )} \left ( x \right ) $에 대하여 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {f ^ {\left ( k \right )} \left ( x \right ) =0} $이 $ k $의 범위를 구하시오.

 

 

[문제3]

다음 그림과 같이 평면 위에 중심이 원점이고 반지름이 1인 고정된 원 $ T $와 $ T $의 안쪽으로 내접해서 구르는 중심이 $ C \left ( \frac {3} {4} ,~0 \right ) $이고 반지름이 $ \frac {1} {4} $인 원 $ S $가 있다. 이 때, 구르는 원 $ S $위의 한 점 $ P $가 그리는 곡선의 자취에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, 점 $ P $의 처음 출발위치는 $ \left ( 1,~0 \right ) $이다.)

(1) 양의 $ x $축과 중심선이 이루는 각을 $ \theta $라 할 때, 점 $ P $의 자취를 $ \theta $에 관한 함수 $ P \left ( \theta \right ) $로 나타내면, 다음과 같음을 보이시오. (중심선이란 원점과 구르는 원 $ S $의 중심을 잇는 선을 의미한다.) (필요하면 $\sin 3x=3 \sin x -4 \sin^3 x,~ \cos 3x= 4 \cos ^3 x -3 \cos x$임을 이용하시오.)

$$ P \left ( \theta \right ) = \left ( \cos ^ {3} \theta ,~\sin ^ {3} \theta \right ) $$

(2) $ 0 \leq \theta \leq \pi  $ 일 때, 점 $ P $의 자취로 이루어진 곡선의 개형을 그리시오.

(3) $ 0 \leq \theta \leq \pi  $ 일 때, 점 $ P $의 자취로 이루어진 곡선의 길이를 구하시오.

(4) $ 0 \leq \theta \leq \pi  $ 일 때, 점 $ P $의 자취로 이루어진 곡선을 $ x $축으로 회전시켜서 얻은 회전체의 체적을 구하시오. (단, $ 1- \frac {9} {5} + \frac {9} {7} - \frac {1} {3} = \frac {16} {105} $이다.)

 

 

 

[문제4]

원통은 회전하고 $ \overline {AB} $는 페이트 붓이며 직선으로 내려간다. $ A $가 윗면에 있을 때를 기준으로 하여 $ t $초 후의 붓 $ \overline {AB} $가 내려가는 속도를 $ f ( t) \rm mm/\sec $라 하면 $ t $와 $ f ( t) $의 관계 그래프가 아래와 같다.

원통의 회전각속도는 $ \rm rad/초 $를 단위로 하여 $ \omega ( t)= \frac {\pi } {6} \left ( f ( t)+1) \right . $이다.

(1) 붓 $ \overline {AB} $는 같은 곳을 칠하지 않음을 보여라.

(2) $ B $가 원통의 가장 아래에 도달했을 때 붓이 칠한 도형의 넓이를 구하여라.