[수학의 기초] 정사영 벡터 - orthogonal Projection vector

먼저 정사영 벡터에 대해 알아 보자.

위의 그림에서 $\overrightarrow{v}$의 종점 $\mathrm P$를 $\overrightarrow{u}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 할  때, $\overrightarrow {\mathrm{OH}}$을 벡터 $\overrightarrow v$의 벡터 $\overrightarrow u$ 위로의 정사영벡터라고 하고 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$를 $\overrightarrow {\mathrm{OH}}=\mathrm{Proj}_{u}v$로 나타낸다. 또, 

$$\mathrm{Proj}_{u}v = \frac{ u \cdot v}{u \cdot u}u$$

(증명)

$\overrightarrow {\mathrm{OH}}$는 벡터$u$와 평행하므로 $\overrightarrow {\mathrm{OH}}=k u$로 놓을 수 있다.

$\overrightarrow{\mathrm{HP}}$는 벡터$u$와 수직이므로

$$\overrightarrow{\mathrm{HP}}\cdot u=0$$

또, $\overrightarrow{\mathrm{HP}}=v-ku$이므로 위에 대입하여 정리하면

$$(v-ku)\cdot u=0,~ v \cdot u -k u \cdot u =0$$

$$\therefore ~k= \frac{v \cdot u}{u \cdot u }$$

이다. 따라서

$$\mathrm{Proj}_{u}v = \frac{ u \cdot v}{u \cdot u}u$$

 

정사영 벡터 $\overrightarrow {\mathrm{OH}}=\mathrm{Proj}_{u}v$ 을 벡터 $u$의 수평선분이라 하고, $\overrightarrow {\mathrm{OI}}$를 벡터 $u$의 수직성분이라 하고 $\overrightarrow {\mathrm{OI}}=v-\mathrm{Proj}_{u}v$로 나타낸다.

 

예를 들어 $v=(1,~3,~2)$를 $u=(1,~1,~2)$로 내린 정사영벡터는

$$\frac{u \cdot v}{u \cdot u}u= \frac{(1,~1,~2)\cdot(1,~3,~2)}{(1,~1,~2)\cdot(1,~1,~2)}u=\frac{8}{6}u=\frac{4}{3}u$$

이다. 또, 벡터 $u$에 수직인 성분은 $v-\frac{4}{3}u$이다.

정사영벡터를 구하는 것이 중요한 이유는 위의 예에서 기저벡터 $u,~v$를 서로 수직인 기저벡터 $u,~ v-\frac{4}{3}u$로 새롭게 설정할 수 있다는 것이다. 벡터의 내적, 외적 등등 벡터의 연산에서 기저가 서로 수직일 때, 연산이 쉽게 될 수 있기 때문이다. 또한 우리가 서로 수직인 축을 잡으려고 하는 이유이기도 하다. 또, 기저벡터의 크기를 $1$로 만들면 더더욱 좋다. 서로 수직인 기저를 직교기저(orthogonal basis vector), 서로 수직이며 크기가 $1$인 기저를 정규직교기저(orthonormal basis vector)라 한다.

 

 

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