[더플러스수학] 2016학년도 부산대 의대논술 문제 (의학계열)

【문항 1】

[제시문]

(삼수선의 정리) 평면 $\displaystyle \alpha$위에 있지 않은 한 점 $\displaystyle  \mathrm P$와 평면 $\displaystyle  \alpha$위 에 있는 직선 $\displaystyle  l$, 직선 $\displaystyle  l$위에 있는 한 점 $\displaystyle  \mathrm H$, 평면 $\displaystyle  \alpha$ 위에 있으면서 직선 $\displaystyle l$ 위에 있지 않은 점 $\displaystyle  \mathrm O$에 대하여 아래의 사실이 성립한다.

(1) $\displaystyle  \overline {\mathrm{PO}} \bot \alpha$, $\displaystyle  \overline {\mathrm{OH}} \bot  l$이면 $\displaystyle \overline {\mathrm{PH}} \bot   l$이다.

(2) $\displaystyle   \overline {\mathrm{PO}} \bot \alpha$, $\displaystyle \overline {\mathrm{PH}} \bot   l$이면 $\displaystyle \overline {\mathrm{OH}} \bot   l$이다.

(3) $\displaystyle \overline {\mathrm{PH}} \bot   l$, $\displaystyle \overline {\mathrm{OH}} \bot   l$, $\displaystyle \overline {\mathrm{PO}} \bot \overline {\mathrm{OH}}$이면 $\displaystyle \overline {\mathrm{PO}} \bot  \alpha$이다.

 

[문제] 아래 그림의 육면체 $\rm PABCD$가 (1)~(6)의 성질들을 가진다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

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(1) 점 $\displaystyle  \mathrm P$는 세 점 $\displaystyle  \mathrm{ A,~B,~C}$로부터 같은 거리에 있다.

(2) $\displaystyle   \overline {\mathrm{PD}}$는 평면 $\displaystyle  \mathrm{ ACD}$에 수직이다.

(3) $\displaystyle  \mathrm{ \angle ABC}$는 직각이다.

(4) 네 점 $\displaystyle  \mathrm{ A,~C,~E,~F }$는 한 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있다.

(5) 직각삼각형 $\displaystyle  \mathrm{ ABC }$와 삼각형 $\displaystyle  \mathrm{ ACD }$가 평면 $\alpha$와 이루는 각은 각각 $\displaystyle    \frac {\pi } {6}$와 $\displaystyle   \frac {\pi } {12}$이다.

(6) $\displaystyle  \mathrm{ \overline {BE}}$와$\displaystyle  \mathrm{ \overline {DF} }$는 모두 평면 $\alpha$에 수직이다.

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1-1. 삼각형 $\displaystyle  \mathrm{  ABC }$의 넓이를 $S$라 할 때, 부등식  $\displaystyle   S \leq \frac {1} {4}  \overline {\mathrm{AC}} ^ {2}$가 성립함을 보이시오. (10점)

 

1-2. 점 $\displaystyle  \mathrm{  B}$에서 $\displaystyle  \mathrm{  \overline {AC}}$에 이르는 거리를 $\displaystyle    x$, 점 $\displaystyle  \mathrm{  P}$에서 $\displaystyle  \mathrm{  \overline {AC}}$에 이르는 거리를 $y$라 하자. 사면체 $\displaystyle  \mathrm{  PABC}$와 사면체 $\displaystyle  \mathrm{  PACD }$의 부피가 같다고 할 때, $\displaystyle    x,~y$의 관계식을 구하시오. (25점)

 

【문항 2】

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[제시문]

(가) 열린 구간 $\displaystyle ( a,~b)$에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x)$의 그래프 위에 있는 임의의 두 점 $\displaystyle \mathrm {P,~Q}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm {P,~Q}$사이에 있는 그래프 부분이 선분 $\displaystyle \mathrm {PQ}$보다 위쪽에 있으면 함수 $\displaystyle f ( x)$의 그래프는 구간  $\displaystyle ( a,~b)$에서 위로 볼록하다고 한다.

(나) 두 함수 $\displaystyle f ( x),~g ( x)$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow a} {} f ( x)= \alpha$, $\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow a} {} g ( x)= \beta$ ($\displaystyle \alpha , \beta$는 실수)이고, $\displaystyle a$를 포함하는 열린구간 내의 모든 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f ( x) \leq g ( x)$이면 $\displaystyle\alpha \leq \beta$이다.

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[문제] 다음 물음에 답하시오.

2-1. 열린 구간 $\displaystyle  ( a,~b)$에서 함수 $\displaystyle  f ( x)$가 미분가능하고 함수 $\displaystyle  f ( x)$의 그래프가 위로 볼록하다고 할 때, 구간 $\displaystyle ( a,~b)$에 속하는 임의의 $\displaystyle  r,~t$ ($\displaystyle  r<t$)에 대하여 부등식

$$\displaystyle f ' ( t) \leq \frac {f ( t)-f ( r)} {t-r} \leq f ' ( r)$$

가 성립함을 보이시오. (15점)

2-2. 구간 $\displaystyle  [1, ~\infty )$에서 연속이고 구간 $\displaystyle  ( 1,~ \infty )$에서 미분가능한 함수 $\displaystyle  f ( x)$의 그래프가 위로 볼록하고, 모든 $\displaystyle  x$($\displaystyle  x>1$)에서 $\displaystyle  f ' ( x)>0$라고 하자. 아래 <그림 1>과 같이 두 점 $\displaystyle  ( k,~f ( k))$와 $\displaystyle  ( k+1,~f ( k+1))$을 지나는 직선과 곡선 $\displaystyle  y=f ( x)$ 사이의 영역의 넓이를 $\displaystyle  S _ {k}$라 하고, 아래 <그림 2>와 같이 세 점 $\displaystyle  \mathrm {A }( 1, ~ f ( 1))$,  $\displaystyle  \mathrm { B} ( 1,~  f ( 2))$,  $\displaystyle  \mathrm { C }( 2, ~  f ( 2))$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $\displaystyle M$이라 할 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {n} S _ {k}$가 성립함을 보이시오. (15점)

 

【문항 3】

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[제시문]

(가) 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$에 대하여 $\displaystyle b _ {n} =a _ {n+1} -a _ {n}$으로 정해지는 수열 $\displaystyle \left\{ b _ {n} \right\}$을 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$의 계차수열이라 한다.

(나) 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$에 대하여 첫째항과 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라 한다. 예를 들면, 수열 $\displaystyle \left\{ n! \right\}$에 대한 귀납적 정의는 다음과 같다.
$$a _ {1} =1,~a _ {n+1} = ( n+1)a _ {n} ~ ( n=1,~2,~3, ~\cdots )$$

(다) 임의의 실수 $\displaystyle \alpha , ~\beta$에 대하여
$$\int _ {0} ^ {x} {t ^ {n} ( \alpha + \beta \ln t)dt= \frac {x ^ {n+1} } {n+1} \left [ \alpha + \frac {\beta } {n+1} \left\{ -1+ ( 1+n)\ln x \right\} \right ]} ~ ( n=1,2,3, \cdots )$$
이 성립한다.

(라) 등식 $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \frac {\ln ( n+1)} {\sum\limits _ {m=1} ^ {n} \frac {1} {m+1} } =1$이 성립한다.

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[문제] 모든 실수 $\displaystyle x$ ($\displaystyle x \geq 0$)에 대하여  $\displaystyle f _ {1} ( x),~f _ {2} ( x), \cdots ,~f _ {n} ( x), \cdots$ 를 귀납적으로

$\displaystyle f _ {1} ( x)= { \begin {cases} 0 & ( x=0) \\ x\ln x & ( x>0)\end {cases} }$, $\displaystyle f _ {n+1} ( x)= \int _ {0} ^ {x} {f _ {n} ( t)dt}$  

로 정의하고, $\displaystyle c _ {n} =-f _ {n} ( 1)$ $\displaystyle ( n=1,~2,~3, ~\cdots )$이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

3-1. $\displaystyle c _ {2}$와 $\displaystyle c _ {3}$의 값을 각각 구하시오. (15점)

3-2. $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac { ( n!)c _ {n} } {\ln n} }$의 값을 구하시오. (20점)

 

 

https://youtu.be/2sKwKdnUWZ0

[부산대의대논술] 2016학년도 부산대 의학계열 수리논술[더플러스수학]

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