[더플러스수학] 2016학년도 부산대 의대논술 문제 (의학계열)

【문항 1】

[제시문]

(삼수선의 정리) 평면 $\displaystyle \alpha $위에 있지 않은 한 점 $\displaystyle  \mathrm P $와 평면 $\displaystyle  \alpha $위 에 있는 직선 $\displaystyle  l $, 직선 $\displaystyle  l $위에 있는 한 점 $\displaystyle  \mathrm H $, 평면 $\displaystyle  \alpha $ 위에 있으면서 직선 $\displaystyle l $ 위에 있지 않은 점 $\displaystyle  \mathrm O $에 대하여 아래의 사실이 성립한다.

(1) $\displaystyle  \overline {\mathrm{PO}} \bot \alpha $, $\displaystyle  \overline {\mathrm{OH}} \bot  l $이면 $\displaystyle \overline {\mathrm{PH}} \bot   l $이다.

(2) $\displaystyle   \overline {\mathrm{PO}} \bot \alpha $, $\displaystyle \overline {\mathrm{PH}} \bot   l $이면 $\displaystyle \overline {\mathrm{OH}} \bot   l $이다.

(3) $\displaystyle \overline {\mathrm{PH}} \bot   l $, $\displaystyle \overline {\mathrm{OH}} \bot   l $, $\displaystyle \overline {\mathrm{PO}} \bot \overline {\mathrm{OH}} $이면 $\displaystyle \overline {\mathrm{PO}} \bot  \alpha $이다.

 

[문제] 아래 그림의 육면체 $ \rm PABCD $가 (1)~(6)의 성질들을 가진다고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

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(1) 점 $\displaystyle  \mathrm P $는 세 점 $\displaystyle  \mathrm{ A,~B,~C} $로부터 같은 거리에 있다.

(2) $\displaystyle   \overline {\mathrm{PD}} $는 평면 $\displaystyle  \mathrm{ ACD} $에 수직이다.

(3) $\displaystyle  \mathrm{ \angle ABC} $는 직각이다.

(4) 네 점 $\displaystyle  \mathrm{ A,~C,~E,~F }$는 한 평면 $ \alpha $ 위에 놓여 있다.

(5) 직각삼각형 $\displaystyle  \mathrm{ ABC }$와 삼각형 $\displaystyle  \mathrm{ ACD }$가 평면 $ \alpha $와 이루는 각은 각각 $\displaystyle    \frac {\pi } {6} $와 $\displaystyle   \frac {\pi } {12} $이다.

(6) $\displaystyle  \mathrm{ \overline {BE}} $와$\displaystyle  \mathrm{ \overline {DF} }$는 모두 평면 $ \alpha $에 수직이다.

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1-1. 삼각형 $\displaystyle  \mathrm{  ABC }$의 넓이를 $ S $라 할 때, 부등식  $\displaystyle   S \leq \frac {1} {4}  \overline {\mathrm{AC}} ^ {2} $가 성립함을 보이시오. (10점)

 

1-2. 점 $\displaystyle  \mathrm{  B} $에서 $\displaystyle  \mathrm{  \overline {AC}} $에 이르는 거리를 $\displaystyle    x $, 점 $\displaystyle  \mathrm{  P} $에서 $\displaystyle  \mathrm{  \overline {AC}} $에 이르는 거리를 $ y $라 하자. 사면체 $\displaystyle  \mathrm{  PABC} $와 사면체 $\displaystyle  \mathrm{  PACD }$의 부피가 같다고 할 때, $\displaystyle    x,~y $의 관계식을 구하시오. (25점)

 

【문항 2】

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[제시문]

(가) 열린 구간 $\displaystyle ( a,~b) $에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x) $의 그래프 위에 있는 임의의 두 점 $\displaystyle \mathrm {P,~Q} $에 대하여 $\displaystyle \mathrm {P,~Q} $사이에 있는 그래프 부분이 선분 $\displaystyle \mathrm {PQ} $보다 위쪽에 있으면 함수 $\displaystyle f ( x) $의 그래프는 구간  $\displaystyle ( a,~b) $에서 위로 볼록하다고 한다.

(나) 두 함수 $\displaystyle f ( x),~g ( x) $에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow a} {} f ( x)= \alpha $, $\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow a} {} g ( x)= \beta $ ($\displaystyle \alpha , \beta $는 실수)이고, $\displaystyle a $를 포함하는 열린구간 내의 모든 $\displaystyle x $에서 $\displaystyle f ( x) \leq g ( x) $이면 $\displaystyle\alpha \leq \beta $이다.

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[문제] 다음 물음에 답하시오.

2-1. 열린 구간 $\displaystyle  ( a,~b) $에서 함수 $\displaystyle  f ( x) $가 미분가능하고 함수 $\displaystyle  f ( x) $의 그래프가 위로 볼록하다고 할 때, 구간 $\displaystyle ( a,~b) $에 속하는 임의의 $\displaystyle  r,~t $ ($\displaystyle  r<t$)에 대하여 부등식

$$\displaystyle f ' ( t) \leq \frac {f ( t)-f ( r)} {t-r} \leq f ' ( r) $$

가 성립함을 보이시오. (15점)

2-2. 구간 $\displaystyle  [1, ~\infty ) $에서 연속이고 구간 $\displaystyle  ( 1,~ \infty ) $에서 미분가능한 함수 $\displaystyle  f ( x) $의 그래프가 위로 볼록하고, 모든 $\displaystyle  x $($\displaystyle  x>1 $)에서 $\displaystyle  f ' ( x)>0 $라고 하자. 아래 <그림 1>과 같이 두 점 $\displaystyle  ( k,~f ( k)) $와 $\displaystyle  ( k+1,~f ( k+1)) $을 지나는 직선과 곡선 $\displaystyle  y=f ( x) $ 사이의 영역의 넓이를 $\displaystyle  S _ {k} $라 하고, 아래 <그림 2>와 같이 세 점 $\displaystyle  \mathrm {A }( 1, ~ f ( 1)) $,  $\displaystyle  \mathrm { B} ( 1,~  f ( 2)) $,  $\displaystyle  \mathrm { C }( 2, ~  f ( 2)) $를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $\displaystyle M $이라 할 때, 모든 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _ {k=1} ^ {n} S _ {k} $가 성립함을 보이시오. (15점)

 

【문항 3】

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[제시문]

(가) 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $에 대하여 $\displaystyle b _ {n} =a _ {n+1} -a _ {n} $으로 정해지는 수열 $\displaystyle \left\{ b _ {n} \right\} $을 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $의 계차수열이라 한다.

(나) 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\} $에 대하여 첫째항과 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라 한다. 예를 들면, 수열 $\displaystyle \left\{ n! \right\} $에 대한 귀납적 정의는 다음과 같다.
$$ a _ {1} =1,~a _ {n+1} = ( n+1)a _ {n} ~ ( n=1,~2,~3, ~\cdots ) $$

(다) 임의의 실수 $\displaystyle \alpha , ~\beta $에 대하여
$$ \int _ {0} ^ {x} {t ^ {n} ( \alpha + \beta \ln t)dt= \frac {x ^ {n+1} } {n+1} \left [ \alpha + \frac {\beta } {n+1} \left\{ -1+ ( 1+n)\ln x \right\} \right ]} ~ ( n=1,2,3, \cdots ) $$
이 성립한다.

(라) 등식 $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \frac {\ln ( n+1)} {\sum\limits _ {m=1} ^ {n} \frac {1} {m+1} } =1 $이 성립한다.

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[문제] 모든 실수 $\displaystyle x $ ($\displaystyle x \geq 0 $)에 대하여  $\displaystyle f _ {1} ( x),~f _ {2} ( x), \cdots ,~f _ {n} ( x), \cdots $ 를 귀납적으로

$\displaystyle f _ {1} ( x)= { \begin {cases} 0 & ( x=0) \\ x\ln x & ( x>0)\end {cases} }  $, $\displaystyle f _ {n+1} ( x)= \int _ {0} ^ {x} {f _ {n} ( t)dt} $  

로 정의하고, $\displaystyle c _ {n} =-f _ {n} ( 1) $ $\displaystyle ( n=1,~2,~3, ~\cdots ) $이라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

3-1. $\displaystyle c _ {2} $와 $\displaystyle c _ {3} $의 값을 각각 구하시오. (15점)

3-2. $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac { ( n!)c _ {n} } {\ln n} } $의 값을 구하시오. (20점)

 

 

https://youtu.be/2sKwKdnUWZ0

[부산대의대논술] 2016학년도 부산대 의학계열 수리논술[더플러스수학]

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