[더플러스수학] 2008학년도 고려대 수리논술 기출

(2008년 고려대 수시 2-2) 두 개의 저항을 그림 $1$과 같이 연결하는 방법을 직렬연결이라 하고, 그림 $2$와 같이 연결하는 방법을 병렬연결이라 한다. 크기가 $R _ {1}$과 $R _ {2}$인 두 개의 저항을 직렬 연결할 때, 합성 저항 $\  R$은 각 저항의 합과 같다$( R=R _ {1} +R _ {2} )$. 그리고 크기가 $R _ {1}$과 $R _ {2}$인 두 개의 저항을 병렬 연결할 때, 합성 저항의 역수는 각 저항의 역수의 합과 같다$\rm \left ( \frac {1} {R} = \frac {1} {R _ {1} } + \frac {1} {R _ {2} } \right )$.

그림 3과 같이 $1 \omega$의 저항을 각 단계마다 계속해서 세 개씩 붙여나갈 때, 수학적 귀납법을 이용하여 $\rm A$와 $\rm B$ 사이의 합성 저항이 감소함을 설명하고 합성 저항의 극한값에 대하여 서술하시오.

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https://tv.kakao.com/channel/3372901/cliplink/401207489

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정답 및 풀이 힌트

$R _ {n+1} = \frac {1} {1+ \frac {1} {R _ {n} } } +2$에서 수열$\left\{ R _ {n} \right\}$이 수학적 귀납법으로 감소수열이고 아래로 유계임을 보이면 수열 $\left\{ R _ {n} \right\}$이 수렴한다. 여기서 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {R _ {n} } = \alpha$로 놓고 극한을 구하면 된다.