[더플러스수학] 2008학년도 고려대 수리논술 기출

(2008년 고려대 수시 2-2) 두 개의 저항을 그림 $ 1 $과 같이 연결하는 방법을 직렬연결이라 하고, 그림 $ 2 $와 같이 연결하는 방법을 병렬연결이라 한다. 크기가 $  R _ {1} $과 $   R _ {2} $인 두 개의 저항을 직렬 연결할 때, 합성 저항 $ \  R $은 각 저항의 합과 같다$  ( R=R _ {1} +R _ {2} ) $. 그리고 크기가 $  R _ {1} $과 $   R _ {2} $인 두 개의 저항을 병렬 연결할 때, 합성 저항의 역수는 각 저항의 역수의 합과 같다$ \rm \left ( \frac {1} {R} = \frac {1} {R _ {1} } + \frac {1} {R _ {2} } \right ) $.

그림 3과 같이 $ 1 \omega $의 저항을 각 단계마다 계속해서 세 개씩 붙여나갈 때, 수학적 귀납법을 이용하여 $ \rm A $와 $ \rm B $ 사이의 합성 저항이 감소함을 설명하고 합성 저항의 극한값에 대하여 서술하시오.

---

https://tv.kakao.com/channel/3372901/cliplink/401207489

---

정답 및 풀이 힌트

$ R _ {n+1} = \frac {1} {1+ \frac {1} {R _ {n} } } +2 $에서 수열$ \left\{ R _ {n} \right\} $이 수학적 귀납법으로 감소수열이고 아래로 유계임을 보이면 수열 $ \left\{ R _ {n} \right\} $이 수렴한다. 여기서 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {R _ {n} } = \alpha $로 놓고 극한을 구하면 된다.