[더플러스수학] 2011학년도 UNIST 예시문제

다음 점화식을 만족하는 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $, $ \left\{ y _ {n} \right\} $의 극한값은 무엇인가?

$ x _ {0} =2 $, $ y _ {0} =1 $, $ x _ {n+1} = \frac {x _ {n} +y _ {n} } {2} $, $ y _ {n+1} = \frac {2x _ {n} y _ {n} } {x _ {n} +y _ {n} } $, $ n=0,1,2, \cdots $

일반적으로, 무한수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $에서 $ n $이 한없이 커질 때, $ a _ {n} $이 어떤 일정한 실수값 $ c $에 한없이 가까워지면 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $은 $ c $에 수렴한다고 하고 $ c $를 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $의 극한값이라고 한다. 각 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $, $ \left\{ y _ {n} \right\} $의 극한값의 존재성을 모르므로 각 수열의 극한값이 $ c _ {1} ,~c _ {2} $라고 가정하여 위 식에 극한값의 성질을 적용할 수 없다. 따라서 다음의 방법으로 문제를 해결하자.

1. 수학적 귀납법에 대해 설명하시오.

2. 다음의 부등식을 만족함을 보여라.

$$ 0<y _ {n} <x _ {n}  ,~  n=0,1,2, \cdots $$

3. 수열 $ \left\{ x _ {n} y _ {n} \right\} $은 $ n $에 관계없이 일정한 값을 갖는다. 그 값은 얼마인가?

4. 다음의 부등식을 증명하고, 수열 $ \left\{ x _ {n} -y _ {n} \right\} $이 0으로 수렴함을 보이시오.

$$ 0<x _ {n} -y _ {n} < \frac {1} {2 ^ {n-1} } ,~n=0,~1,~2, ~\cdots $$

그리고, 임의의 자연수 $ N $에 대해, $ |x _ {n} -y _ {n} |< \frac {1} {N} $을 만족하는 $ n $의 값을 표현해 보시오.

5. 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $의 극한값을 계산하시오. 이 극한값을 $ \alpha $라고 했을 때, 임의의 자연수 $ N $에 대해, $ |x _ {n} - \alpha |< \frac {1} {N} $을 만족하는 $ n $의 값을 표현해 보시오. 그러면, $ n $이 한없이 커질 때, 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $은 $ \alpha $에 한없이 가까워진다고 할 수 잇는가? $ n $과 $ N $의 관계를 이용하여 설명해보시오.