[더플러스수학] 2011학년도 UNIST 예시문제

다음 점화식을 만족하는 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$, $\left\{ y _ {n} \right\}$의 극한값은 무엇인가?

$x _ {0} =2$, $y _ {0} =1$, $x _ {n+1} = \frac {x _ {n} +y _ {n} } {2}$, $y _ {n+1} = \frac {2x _ {n} y _ {n} } {x _ {n} +y _ {n} }$, $n=0,1,2, \cdots$

일반적으로, 무한수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a _ {n}$이 어떤 일정한 실수값 $c$에 한없이 가까워지면 수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$은 $c$에 수렴한다고 하고 $c$를 수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$의 극한값이라고 한다. 각 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$, $\left\{ y _ {n} \right\}$의 극한값의 존재성을 모르므로 각 수열의 극한값이 $c _ {1} ,~c _ {2}$라고 가정하여 위 식에 극한값의 성질을 적용할 수 없다. 따라서 다음의 방법으로 문제를 해결하자.

1. 수학적 귀납법에 대해 설명하시오.

2. 다음의 부등식을 만족함을 보여라.

$$0<y _ {n} <x _ {n}  ,~  n=0,1,2, \cdots$$

3. 수열 $\left\{ x _ {n} y _ {n} \right\}$은 $n$에 관계없이 일정한 값을 갖는다. 그 값은 얼마인가?

4. 다음의 부등식을 증명하고, 수열 $\left\{ x _ {n} -y _ {n} \right\}$이 0으로 수렴함을 보이시오.

$$0<x _ {n} -y _ {n} < \frac {1} {2 ^ {n-1} } ,~n=0,~1,~2, ~\cdots$$

그리고, 임의의 자연수 $N$에 대해, $|x _ {n} -y _ {n} |< \frac {1} {N}$을 만족하는 $n$의 값을 표현해 보시오.

5. 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$의 극한값을 계산하시오. 이 극한값을 $\alpha$라고 했을 때, 임의의 자연수 $N$에 대해, $|x _ {n} - \alpha |< \frac {1} {N}$을 만족하는 $n$의 값을 표현해 보시오. 그러면, $n$이 한없이 커질 때, 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$은 $\alpha$에 한없이 가까워진다고 할 수 잇는가? $n$과 $N$의 관계를 이용하여 설명해보시오.