[교육청 기출] 2019년 가형 10월 21번 [킬러문항]

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[교육청 기출] 2019년 가형 10월 21번 [킬러문항]

정수 $ n $에 대하여 점 $ \left ( a,0 \right ) $에서 곡선 $ y= ( x-n)e ^ {x} $에 그은 접선의 개수를 $ f ( n) $이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

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ㄱ. $ a=0 $일 때, $ f ( 4)=1 $이다.

ㄴ. $ f ( n)=1 $인 정수 $ n $의 개수가 $ 1 $인 정수 $ a $가 존재한다.

ㄷ. $ \sum\limits _ {n=1} ^ {5} f ( n)=5 $를 만족시키는 정수 $ a $의 값은 $ -1 $ 또는 $ 3 $이다.

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① ㄱ                      ② ㄱ, ㄴ                      ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ                  ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

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정답 3

[출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 접선의 개수를 추론한다.

점 $ ( a,~0) $에서 그은 접선이 곡선 $ y= ( x-n)e ^ {x} $과 만나는 점의 좌표를 $ ( t,~ ( t-n)e ^ {t} ) $라 하자.

$ y ' =e ^ {x} + ( x-n)e ^ {x} $$ = \left ( x-n+1 \right ) e ^ {x} $이므로 점 $ ( t, ~( t-n)e ^ {t} ) $에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식은

$$ y= ( t-n+1)e ^ {t} ( x-t)+ ( t-n)e ^ {t} $$

이 직선이 점 $ ( a,~0) $을 지나므로

$$ 0= ( t-n+1)e ^ {t} ( a-t)+ ( t-n)e ^ {t} $$

$$ t ^ {2} - ( n+a)t+an+n-a=0 $$

이 방정식의 판별식을 $ D $라 하면

$$ D= ( n+a) ^ {2} -4 ( an+n-a) = ( n-a) ( n-a-4) $$

ㄱ. $ a=0 $일 때 $ n=4 $이면 $ D=0 $이므로 점 $ ( 0,~0) $에서  곡선 $ y= ( x-4)e ^ {x} $에 그은 접선의 개수는 $ 1 $이다.따라서 $ f ( 4)=1 $ (참)

ㄴ. $ D= ( n-a) ( n-a-4)=0 $에서  $ n=a $ 또는 $ n=a+4 $이므로$ f \left ( n \right ) =1 $인 정수 $ n $의 개수는 항상 $ 2 $이다. (거짓)

ㄷ. 정수 $ a $에 대하여 $ f ( n) $은

$$f(n)=\begin{cases} 0&(a<n<a+4)\\1&(n=a,~또는~n=a+4)\\2&(n<a,~또는~n>a+4)\end{cases} $$

이므로 $ f ( n) $이 가질 수 있는 값은 $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $뿐이다. 이때 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {5} f ( n)=5 $이므로 가능한 경우는 다음과 같다.(ⅰ)$ f ( 1)=0 $, $ f ( 2)=0 $, $ f ( 3)=1 $, $ f ( 4)=2 $, $ f ( 5)=2 $ 인 경우는 $ 3=a+4 $, $ a=  -1 $

(ⅱ) $ f ( 1)=2 $, $ f ( 2)=2 $, $ f ( 3)=1 $, $ f ( 4)=0 $, $ f ( 5)=0 $ 인 경우는 $ 3=a $, $ a=3 $

따라서 $ a=   -1 $ 또는 $ a=3 $ (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.