[평가원 기출-킬러문항] 2018학년도 나형 9월 30번

두 함수 $f ( x)$와 $g ( x)$가

$$\begin{align} &f ( x)= { \begin {cases} ~0 &( x \leq 0)\\~x &( x>0)\end {cases} } \\& g ( x)= { \begin {cases} ~x ( 2-x) &( \left | x-1 \right | \leq 1)\\~0 &( \left | x-1 \right | >1)\end {cases} } \end{align}$$

이다. 양의 실수 $k,~a,~b$ $( a<b<2)$에 대하여, 함수 $h ( x)$를

$$h ( x)=k \left\{ f ( x)-f ( x-a)-f ( x-b)+f ( x-2) \right\}$$

라 정의하자. 모든 실수 $x$에 대하여 $0 \leq h ( x) \leq g ( x)$일 때, $\int _ {0} ^ {2} { \left\{ g ( x)-h ( x) \right\} dx}$의 값이 최소가 되게 하는 $k,~a,~b$에 대하여 $60 ( k+a+b)$의 값을 구하시오. [4점]

 

 

 

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정답 200

주어진 함수 $h ( x)$를 $x=a$와 $x=b$를 기준으로 구간을 나누어 정의해 보면

$$h ( x)= { \begin {cases} ~~~~~~0~~~~ &( x \leq 0)\\~~~~~kx~~~~ &( 0<x \leq a)\\~~~~~ka~~~~ &( a<x \leq b)\\k ( a+b-x)~ &( b<x \leq 2)\\k ( a+b-2)~ &( x>2)\end {cases} }$$

구하는 값은 $\int _ {0} ^ {2} {} \left\{ g ( x)-h ( x) \right\} dx$의 최소이고

$\int _ {0} ^ {2} {} g ( x)dx$의 값은 일정하므로 $\int _ {0} ^ {2} {} h ( x)dx$가 최대일 때를 구하자.

모든 실수 $x$에 대하여 $0 \leq h ( x) \leq g ( x)$이므로

$h ( x)$는 사다리꼴이고 $g ( x)$에 접하는 사다리꼴일 때 $\int _ {0} ^ {2} {} h ( x)dx$의 값이 최대가 된다. 따라서

$h ( a)=g ( a)$, $h ( 2)=g ( 2)$이므로

$ka=a ( 2-a)$, $k ( a+b-2)=0$

$\therefore ~k=2-a$, $a+b=2$ $( \because k \neq 0)$

$a$, $b$는 $x=1$에 대하여 대칭이고

$a=1-t$, $b=1+t$라 하면 사다리꼴 넓이 공식에 의해

$$\begin{align} \int _ {0} ^ {2} {} h ( x)dx &= \frac {1} {2} \times \left ( 2t+2 \right ) \left ( 1+t \right ) \left ( 1-t \right ) \\& = \left ( 1+t \right ) ^ {2} \left ( 1-t \right ) $ $ ( 0<t \leq 1) \end{align}$$

$p ( t)= \left ( 1+t \right ) ^ {2} \left ( 1-t \right )$ $( 0<t \leq 1)$ 라 하면

$$\begin{align} p ' ( t) &=2 \left ( 1+t \right ) \left ( 1-t \right ) - \left ( 1+t \right ) ^ {2} \\& = ( 1+t) ( 1-3t) \end{align}$$

$t= \frac {1} {3}$일 때 최대가 된다.

따라서 $a= \frac {2} {3}$, $b= \frac {4} {3}$, $k= \frac {4} {3}$

$\therefore ~60 ( a+b+k)=200$

 

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