2019년 가형 10월 29번 [킬러문항]

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2019년 가형 10월 29번

 

좌표공간의 세 점 $\rm A \left ( -1,~0,~6 \right )$, $\rm B \left ( 2,~- \sqrt {3} ,~0 \right )$, $\rm C \left ( 3,~0,~0 \right )$에 대하여 두 점 $\rm P$, $\rm Q$가

$$\left | \overrightarrow {\mathrm{ AP}} \right | =2 ,~~\rm \left | \overrightarrow {\mathrm{ CQ}} \right | =2 \sqrt {3} ,~~ \rm \overrightarrow {\mathrm{ BC}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{ CQ}} =6$$

을 만족시킨다. $\left | \overrightarrow {\mathrm{ PQ}} \right |$의 최댓값을 구하시오. [4점]

 

 

 

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[출제의도] 공간벡터의 성분과 내적을 이용하여 벡터의 크기에 대한 문제를 해결한다.

점 $\mathrm{ P}$는 점 $\mathrm{ A }$가 중심이고 반지름의 길이가 $2$인 구 위의 임의의 점이므로

$$\left | \overrightarrow {\mathrm{ PQ}} \right | = \left | \overrightarrow {\mathrm{PA}} + \overrightarrow {\mathrm{AQ}} \right | \leq \left | \overrightarrow { \mathrm{PA}} \right | + \left | \overrightarrow { \mathrm{AQ}} \right | =2+ \left | \overrightarrow {\mathrm{ AQ} } \right |$$

따라서 $\left | \overrightarrow {\mathrm{AQ}} \right |$가 최대일 때 $\left | \overrightarrow {\mathrm{PQ}} \right |$도 최대가 되므로 $\overrightarrow {\mathrm{PA}}$와 $\overrightarrow {\mathrm{AQ}}$는 평행하다.

점 Q의 좌표를 $\left ( x,~y,~z \right )$라 하면 원점 $\mathrm{ O }$에 대하여

$$\overrightarrow {\mathrm{BC}} = \overrightarrow {\mathrm{OC}} - \overrightarrow {\mathrm{OB}} = \left ( 1, ~\sqrt {3} ,~0 \right )$$

$\overrightarrow {\mathrm{CQ}} = \overrightarrow {\mathrm{OQ}} - \overrightarrow {\mathrm{OC}} = \left ( x-3,y,z \right )$이므로

$$\left | \overrightarrow {\mathrm{CQ}} \right | ^ {2} = \left ( x-3 \right ) ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =12$$

$$\overrightarrow {\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{CQ}}   = \left ( 1, ~\sqrt {3} ,~0 \right ) \cdot \left ( x-3,~y,~z \right ) = \left ( x-3 \right ) + \sqrt {3} y+0=6$$

따라서 점 $\mathrm{ Q}$는 구 $\left ( x-3 \right ) ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} =12$와 평면 $x+ \sqrt {3} y-9=0$이 만나서 생기는 원 위의 점이다. 이 원을 $C$, 원 $C$의 중심을 $\mathrm{ D }$라 하자.

두 벡터 $\overrightarrow {\mathrm{BC}}$, $\overrightarrow { \mathrm{CQ}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\overrightarrow {\mathrm{ BC}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{ CQ}} = \left | \overrightarrow {\mathrm{BC}} \right | \left | \overrightarrow {\mathrm{CQ}} \right | \cos \theta$에서

$$6=2 \times 2 \sqrt {3} \times \cos \theta$$

이므로 $\cos \theta = \frac {\sqrt {3} } {2}$이고 $\theta = \frac {\pi } {6}$이다.

$\overrightarrow {\mathrm{CD}}$는 평면 $x+ \sqrt {3} y-9=0$의 법선벡터 $\overrightarrow {\mathrm{ BC}}$와 평행하고 $\left | \overrightarrow { \mathrm{CD}} \right | = \left | \overrightarrow {\mathrm{CQ}} \right | \cos \theta =2 \sqrt {3} \times \frac {\sqrt {3} } {2} =3$이므로

$$\overrightarrow {\mathrm{CD}} = \frac {3} {2} \overrightarrow {\mathrm{BC}} = \left ( \frac {3} {2} , ~\frac {3 \sqrt {3} } {2} ,~0 \right ) ,~~~\overrightarrow {\mathrm{OD}} = \overrightarrow {\mathrm{OC}} + \overrightarrow {\mathrm{CD}} = \left ( \frac {9} {2} ,~ \frac {3 \sqrt {3} } {2} ,~0 \right )$$

점 $\mathrm{A }$에서 평면 $x+ \sqrt {3} y-9=0$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{ H }$라 하면 $\left | \overrightarrow {\mathrm{AH}} \right | = \frac {\left | -1+0-9 \right |} {\sqrt {1+3} } =5$이고, $\left | \overrightarrow {\mathrm{ AQ}} \right | ^ {2} = \left | \overrightarrow {\mathrm{ AH} } \right | ^ {2} + \left | \overrightarrow {\mathrm{ HQ} } \right | ^ {2} =25+ \left | \overrightarrow {\mathrm{ HQ} } \right | ^ {2}$이므로 $\left | \overrightarrow {\mathrm{ HQ}} \right |$가 최대일 때 $\left | \overrightarrow {\mathrm{AQ}} \right |$도 최대가 된다.

$\left | \overrightarrow {\mathrm{HQ}} \right |$가 최대인 경우는 직선 $\mathrm{ HQ }$가 원 $C$의 중심 $\mathrm{ D}$를 지날 때이고 이때 점 $\mathrm{ Q}$의 위치를 $\mathrm{ Q ' }$이라 하면

$$\left | \overrightarrow {\mathrm{HQ ' }} \right | = \left | \overrightarrow {\mathrm{HD}} \right | + \left | \overrightarrow {\mathrm{DQ ' } } \right |$$

$\overrightarrow {\mathrm{AD}} = \left ( \frac {11} {2} , ~\frac {3 \sqrt {3} } {2} ,~-6 \right )$에서

$$\left| \overrightarrow {\mathrm{HD}} \right| = \sqrt {\left | \overrightarrow {\mathrm{AD}} \right | ^ {2} - \left | \overrightarrow {\mathrm{AH}} \right | ^ {2} } = \sqrt {73-25} =4 \sqrt {3}$$

이고, $\left | \overrightarrow {\mathrm{ DQ ' } } \right |$은 원 $C$의 반지름의 길이 $\sqrt {3}$과 같으므로

$$\left | \overrightarrow { \mathrm{HQ ' }} \right | = \left | \overrightarrow { \mathrm{HD}} \right | + \left | \overrightarrow { \mathrm{DQ '} } \right | =4 \sqrt {3} + \sqrt {3} =5 \sqrt {3}$$

$$\left | \overrightarrow {\mathrm{AQ ' }} \right | ^ {2} = \left | \overrightarrow {\mathrm{AH}} \right | ^ {2} + \left | \overrightarrow {\mathrm{HQ '} } \right | ^ {2} =25+75=100$$

따라서 $\left | \overrightarrow {\mathrm{ AQ}} \right |$의 최댓값은 $10$이고, $\left | \overrightarrow {\mathrm{ PQ}} \right |$의 최댓값은 $12$이다.