[출제의도] 공간벡터의 성분과 내적을 이용하여 벡터의 크기에 대한 문제를 해결한다.
점 P는 점 A가 중심이고 반지름의 길이가 2인 구 위의 임의의 점이므로
∣∣∣−−→PQ∣∣∣=∣∣∣−−→PA+−−→AQ∣∣∣≤∣∣∣−−→PA∣∣∣+∣∣∣−−→AQ∣∣∣=2+∣∣∣−−→AQ∣∣∣
따라서 ∣∣∣−−→AQ∣∣∣가 최대일 때 ∣∣∣−−→PQ∣∣∣도 최대가 되므로 −−→PA와 −−→AQ는 평행하다.
점 Q의 좌표를 (x, y, z)라 하면 원점 O에 대하여
−−→BC=−−→OC−−−→OB=(1, √3, 0)
−−→CQ=−−→OQ−−−→OC=(x−3,y,z)이므로
∣∣∣−−→CQ∣∣∣2=(x−3)2+y2+z2=12
−−→BC⋅−−→CQ=(1, √3, 0)⋅(x−3, y, z)=(x−3)+√3y+0=6
따라서 점 Q는 구 (x−3)2+y2+z2=12와 평면 x+√3y−9=0이 만나서 생기는 원 위의 점이다. 이 원을 C, 원 C의 중심을 D라 하자.
두 벡터 −−→BC, −−→CQ가 이루는 각의 크기를 θ라 하면 −−→BC⋅−−→CQ=∣∣∣−−→BC∣∣∣∣∣∣−−→CQ∣∣∣cosθ에서
6=2×2√3×cosθ
이므로 cosθ=√32이고 θ=π6이다.
−−→CD는 평면 x+√3y−9=0의 법선벡터 −−→BC와 평행하고 ∣∣∣−−→CD∣∣∣=∣∣∣−−→CQ∣∣∣cosθ=2√3×√32=3이므로
−−→CD=32−−→BC=(32, 3√32, 0), −−→OD=−−→OC+−−→CD=(92, 3√32, 0)
점 A에서 평면 x+√3y−9=0에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∣∣∣−−→AH∣∣∣=|−1+0−9|√1+3=5이고, ∣∣∣−−→AQ∣∣∣2=∣∣∣−−→AH∣∣∣2+∣∣∣−−→HQ∣∣∣2=25+∣∣∣−−→HQ∣∣∣2이므로 ∣∣∣−−→HQ∣∣∣가 최대일 때 ∣∣∣−−→AQ∣∣∣도 최대가 된다.
∣∣∣−−→HQ∣∣∣가 최대인 경우는 직선 HQ가 원 C의 중심 D를 지날 때이고 이때 점 Q의 위치를 Q′이라 하면
∣∣∣−−→HQ′∣∣∣=∣∣∣−−→HD∣∣∣+∣∣∣−−→DQ′∣∣∣
−−→AD=(112, 3√32, −6)에서
∣∣∣−−→HD∣∣∣=√∣∣∣−−→AD∣∣∣2−∣∣∣−−→AH∣∣∣2=√73−25=4√3
이고, ∣∣∣−−→DQ′∣∣∣은 원 C의 반지름의 길이 √3과 같으므로
∣∣∣−−→HQ′∣∣∣=∣∣∣−−→HD∣∣∣+∣∣∣−−→DQ′∣∣∣=4√3+√3=5√3
∣∣∣−−→AQ′∣∣∣2=∣∣∣−−→AH∣∣∣2+∣∣∣−−→HQ′∣∣∣2=25+75=100
따라서 ∣∣∣−−→AQ∣∣∣의 최댓값은 10이고, ∣∣∣−−→PQ∣∣∣의 최댓값은 12이다.
