[교육청 기출] 2019년 가형 10월 30번 [킬러문항]

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2019년 가형 10월 30번 [킬러문항]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f ( x)$, $g ( x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) $g \left ( x+1 \right ) -g ( x)= - \pi \left ( e+1 \right ) e ^ {x} \sin \left ( \pi x \right )$

(나) $g ( x+1)= \int _ {0} ^ {x} {\left\{ f \left ( t+1 \right ) e ^ {t} -f ( t)e ^ {t} +g ( t) \right\} } dt$

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$\int _ {0} ^ {1} {f ( x)} dx= \frac {10} {9} e+4$일 때, $\int _ {1} ^ {10} {f ( x)} dx$의 값을 구하시오. [4점]

 

 

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정답 $26$

먼저 (나)에 $x=0$을 대입하면 $g(1)=0$, 또, (가)의 $n$에 $0,~1,~2,~\cdots$를 대입하면 모든 $0$이상인 정수 $n$에 대하여 $g(n)=0$이다.

(가), (나)의 양변을 $x$에 대하여 각각 미분하면

$$g'( x+1)= e^x \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\}   +g(x) ~\cdots\cdots ~(\mathrm{i})$$

$$g' \left ( x+1 \right ) -g' ( x)= - \pi \left ( e+1 \right ) e ^ {x} \left\{ \sin \left ( \pi x \right ) +\pi \cos(\pi x) \right\}~\cdots\cdots~(\mathrm{ii})$$

(i)의 $g'(x+1)$을 (ii)에 대입하면

$$e^x \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} +g(x) -g' ( x)= - \pi \left ( e+1 \right ) e ^ {x} \left\{ \sin \left ( \pi x \right ) +\pi \cos(\pi x) \right\}$$

양변을 $e^x$을 나누면

$$\left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} +e^{-x} \left \{g(x) -g' ( x) \right \}= - \pi \left ( e+1 \right ) \left\{ \sin \left ( \pi x \right ) +\pi \cos(\pi x) \right\}~~\cdots\cdots ~(\mathrm{iii})$$

여기서 (iii)의 양변을 적분$\left(\int_{n-1}^{n}~  \right)$하면

$$\int_{n-1}^{n} \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} dx + \int_{n-1}^{n}e^{-x} \left \{g(x) -g' ( x) \right \}dx \\= - \pi \left ( e+1 \right ) \int_{n-1}^n \left\{ \sin \left ( \pi x \right ) +\pi \cos(\pi x) \right\}dx ~~\cdots\cdots ~(\mathrm{iv})$$

$e^{-x} \left \{g(x) -g' ( x) \right \}= \left(- e^{-x}g(x) \right)'$, $g(n)=0$임을 이용하면 (iv)는

$$\int_{n-1}^{n} \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} dx - e^{-n}g(n)+e^{-(n-1)}g(n-1) \\= - \pi \left ( e+1 \right ) \int_{n-1}^n \left\{ \sin \left ( \pi x \right ) +\pi \cos(\pi x) \right\}dx$$

$$\begin{align} &\int_{n-1}^{n} \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} dx - e^{-n}g(n)+e^{-(n-1)}g(n-1) \\&= - \pi \left ( e+1 \right ) \left[ -\frac{1}{\pi} \cos \left(\pi x \right) +\sin(\pi x) \right]_{n-1}^{n} \\&=  \left(e+1 \right) \left\{ \cos \left( \pi n\right)-\cos \left(\pi (n-1) \right) \right\} \\ &= 2\left(e+1 \right) (-1)^{n} \end{align}$$

$$\therefore~ \begin{align} &\int_{n-1}^{n} \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} dx = 2\left(e+1 \right) (-1)^n ~~\cdots\cdots ~(\mathrm{iv}) \end{align}$$

(iv)의 양변을 $\left( \sum_{k=1}^{n-1} \right)$을 취하면

$$\begin{align} (좌변) &= \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k-1}^{k} \left\{ f \left ( x+1 \right )-f(x ) \right\} dx \\&=\int_{n-2}^{n-1} f(x+1)dx-\int_0^1 f(x)dx \\& =\int_{n-1}^{n}f(x)dx- \left( \frac{10}{9} e +4 \right) \end{align}$$

$$(우변) =\begin{cases} 0&(n~홀수)\\-2(e+1)&(n~짝수) \end{cases}$$

$$\therefore~\int_{n-1}^{n} f(x) dx- \left( \frac{10}{9} e +4 \right)= \begin{cases} -2(e+1)&(n~:~홀수)\\0&(n~:~짝수) \end{cases}$$

위의 식을 $\left(\sum_{k=2}^{10} \right)$를 취하면

$$\begin{align} \int_{1}^{10} f(x) dx- 9 \times \left( \frac{10}{9} e +4 \right)&=-2(e+1) \left( 1+0+1+0+1+0+1+0+1 \right)\\&= -10e-10\end{align}$$

$$\therefore~ \int_{1}^{10} f(x) dx =26$$