[더플러스수학] 2014년 교육청 4월 21번

 

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 $ \rm A \left ( 1,~0 \right ) $, $ \rm B \left ( 3,~0 \right ) $, $ \rm C \left ( 3,~2 \right ) $, $ \rm D \left ( 1,~2 \right ) $를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $ \rm ABCD $가 있다. 한 변의 길이가 $ 2 $인 정사각형 $ \rm EFGH $의 두 대각선의 교점이 원 $ x ^ {2} +y ^ {2} =1 $ 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 $ x $축 또는 $ y $축에 수직이다.) [4점][2014년 4월 21번]

① $ \frac {2+ \sqrt {3} } {4} $      

② $ \frac {1+ \sqrt {2} } {2} $      

③ $ \frac {2+ \sqrt {2} } {2} $

④ $ \frac {3 \sqrt {3} } {4} $        

⑤ $ \frac {5 \sqrt {2} } {4} $

 

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정답 ④

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

정사각형 $ \rm EFGH $의 두 대각선의 교점을 $ \rm P $라 하자.

동경 $ \rm OP  $가 나타내는 각을 $ \theta $라 하면 공통부분이 생기는 $ \theta $의 범위는 $ - \frac {\pi } {2} < \theta < \frac {\pi } {2} $이다.

점 $ \mathrm {P} \left ( \cos \theta ,~\sin \theta \right ) $, 점 $ \mathrm {G}  \left ( \cos \theta +1,~\sin \theta +1 \right ) $이므로 공통부분의 넓이는 $ \left . S \left ( \theta \right ) =\cos \theta \left ( \sin \theta +1 \right ) \right . $

미분을 하면

\begin{align} S' ( \theta) &= \cos 2\theta-\sin \theta \\ &=- \left( \sin \theta +1 \right) \left( 2 \sin \theta-1 \right)=0 \end{align}

$ \sin \theta =-1 $ 또는 $ \sin \theta = \frac {1} {2} $

$ \therefore $ $ \theta = \frac {\pi } {6} $ $ \left ( \because - \frac {\pi } {2} < \theta < \frac {\pi } {2} \right ) $

$ S \left( \theta \right) $ 는 $ \theta = \frac {\pi } {6} $에서 극대이고 최댓값을 갖는다. 따라서 최댓값은 $ \frac {3 \sqrt {3} } {4} $

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline \theta     & -\frac{\pi}{2}&\cdots & \frac{\pi}{6} & \cdots  & \frac{\pi}{2}  \\   \hline  S’(\theta) & &+ & 0 & –& \\   \hline  S( \theta) & & \nearrow & \frac{3 \sqrt3}{4} & \searrow & \nearrow \\ \hline \end{array}