[더플러스수학] 2015학년도 평가원 9월 30번 (2014년 시행)

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 $ f ( x) $가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 모든 양의 실수 $ x $에 대하여 $ f ( x)>0 $이다

(나) 임의의 양의 실수 $ t $에 대하여 세점 $ ( 0,~0), ~( t,~f ( t)), ( t+1,~f ( t+1)) $을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $ \frac {t+1} {t} $ 이다

(다) $ \int _ {1} ^ {2} { \frac {f ( x)} {x} dx=2} $

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$ \int _ { \frac {7} {2} } ^ { \frac {11} {2} } { \frac {f ( x)} {x} dx= \frac {q} {p} } $라 할 때, $ p+q $의 값을 구하시오 (단, $ p $와 $ q $는 서로소인 자연수이다.) [4점] [2014년 9월 30번]

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정답 127

$ ( 0,~0),~ ( t,~f ( t)),~ ( t+1,~f ( t+1)) $을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는

$$ \frac {1} {2} \left | tf ( t+1)- ( t+1)f ( t) \right | = \frac {t+1} {t} $$

양변을 $ t ( t+1) $로 나누면

$$ \frac {1} {2} \left | \frac {f ( t+1)} {t+1} - \frac {f ( t)} {t} \right | = \frac {1} {t ^ {2} } $$

$ f ( t) $는 감소함수이고 $ f ( t)>0 $이므로

$$\frac{ f(t)}{t} >\frac{f(t+1)}{t+1}$$

$$ \therefore ~\frac {f ( t)} {t} - \frac {f ( t+1)} {t+1} = \frac {2} {t ^ {2} } $$

$$ \begin{align} \frac {f ( t+1)} {t+1} - \frac {f ( t)} {t} &= \left [ \frac {f ( x)} {x} \right ] _ {t} ^ {t+1}   = \frac {d} {dt} \left ( \int _ {t} ^ {t+1} { \frac {f ( x)} {x} dx} \right ) \\&=- \frac {2} {t ^ {2} } \end{align}$$

양변을 적분하면

$$ \int _ {t} ^ {t+1} { \frac {f ( x)} {x} = \frac {2} {t} +C} $$

$ t=1 $일 때, $ \int _ {1} ^ {2} {} \frac {f ( x)} {x} dx=2+c=2  $에서 $ C=0 $

$$ \therefore~ \int _ {t} ^ {t+1} {} \frac {f ( x)} {x} dx= \frac {2} {t} $$

$$\begin{align} \int_{\frac{7}{2}}^{ \frac{11}{2}} \frac{f(x)}{x} dx &=\int_{\frac{7}{2}} ^{\frac{9}{2}} \frac{f(x)}{x}dx +  \int_{\frac{9}{2}}^{\frac{11}{2}} \frac{f(x)}{x}dx \\&=\frac{4}{7}+ \frac{4}{9}= \frac{63}{64} \end{align}$$

$ \therefore ~p+q=127 $