[더플러스수학] 2014년 교육청 4월 30번

함수 $ f \left ( x \right ) = \frac {\ln x ^ {2} } {x} $의 극댓값을 $ \alpha $라 하자. 함수 $ f \left ( x \right ) $와 자연수 $ n $에 대하여 $ x $에 대한 방정식 $ f \left ( x \right ) - \frac {\alpha } {n} x=0 $의 서로 다른 실근의 개수를 $ a _ {n} $이라 할 때, $ \sum\limits _ {n=1} ^ {10} a _ {n} $의 값을 구하시오. [4점] [2014년 4월 30번]

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정답 34

[출제의도] 함수의 그래프의 개형으로 문제해결하기

$ f ( x)= \frac {\ln x ^ {2} } {x} $에 대하여

ⅰ) $ x>0 $일 때

$ f ( x)= \frac {2\ln x} {x} $, $ f \prime ( x)= \frac {2-2\ln x} {x ^ {2} } $

$ x=e $에서 $ f ' ( x)=0 $이고

$ \therefore $ 극댓값 $ \alpha = \frac {2} {e} $

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline x     & 0&\cdots & e & \cdots  & \cdots \\   \hline  f’(x) & &+ & 0 & – \\   \hline  f(x) & & \nearrow & \frac{2}{e} & \searrow & \nearrow \\ \hline \end{array}

ⅱ) $ x \neq 0 $인 모든 실수 $ x $에 대하여

$ f \left ( -x \right ) =-f \left ( x \right ) $가 성립하므로 $ f \left ( x \right ) $는 원점에 대하여 대칭이다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 $ y=f ( x) $의 그래프는 그림과 같다.

$ y= \frac {2} {en} x $는 원점을 지나는 직선이고 원점에서 곡선 $ y= \frac {2\ln x} {x} $에 그은 접선의 접점을 $ ( t,f ( t)) $라 하면 접선의 방정식은$ y= \frac {2-2\ln t} {t ^ {2} } ( x-t)+ \frac {2\ln t} {t} $이고 $ \left ( 0,0 \right ) $을 지나므로

$ 0= \frac {2-2\ln t} {t ^ {2} } ( 0-t)+ \frac {2\ln t} {t} $

$ \therefore $ $ t= \sqrt {e} $

$ \therefore $ 접점은 $ \left ( \sqrt {e} , \frac {1} {\sqrt {e} } \right ) $이고 접선의 방정식은 $ y= \frac {1} {e} x $

$ n=1 $일 때, 직선 $ y= \frac {2} {e} x $와 함수 $ f ( x) $의 그래프의 교점의 개수는 $ 0 $

$ \therefore $ $ a _ {1} =0 $

$ n=2 $일 때, 직선 $ y= \frac {1} {e} x $와 함수 $ f ( x) $의 그래프의 교점의 개수는 $ 2 $

$ \therefore $ $ a _ {2} =2 $

$ 3 \leq n \leq 10 $일 때, 직선 $ y= \frac {2} {en} x $와 함수 $ f ( x) $의 그래프의 교점의 개수는 $ 4 $

$ \therefore $ $ a _ {n} =4 $

따라서 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {10} a _ {n} =0+2+4 \times 8=34 $