[더플러스수학] 2014년 교육청 7월 30번

 

한 변의 길이가 $ 4 $인 정육면체 $ \rm ABCD-EFGH $와 밑면의 반지름의 길이가 $ \sqrt {2} $이고 높이가 $ 2 $인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 $ \rm ABCD $에 포함되고 사각형 $ \rm ABCD $의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 $ \rm ABCD $에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 $ \alpha $, 다른 밑면을 $ \beta $라 하자. 평면 $ \rm AEGC $가 밑면 $ \alpha $와 만나서 생기는 선분을 $ \rm \overline {MN} $, 평면 $ \rm BFHD $가 밑면 $ \beta $와 만나서 생기는 선분을 $ \rm \overline {PQ} $라 할 때, 삼각형 $ \rm MPQ $의 평면 $ \rm DEG $ 위로의 정사영의 넓이는 $ \frac {b} {a} \sqrt {3} $이다. $ a ^ {2} +b ^ {2} $의 값을 구하시오. (단, $ a $, $ b $는 서로소인 자연수이다.)  [4점][2014년 7월 30번]

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정답 13

[출제의도] 정사영을 이용하여 수학외적 문제해결하기

원기둥의 밑면 $ \alpha $, $ \beta $의 중심을 각각 $ \rm R $, $ \rm S $라 하자.

$\overline {\mathrm {PQ}} ~||~ \overline{ \mathrm{DB}}$ 이고, $\overline {\mathrm {SM}} ~|| ~\overline{ \mathrm{RG}}$ 이므로 평면 $ \mathrm{MPQ}$ 와 평면 $ \mathrm {GDB}$는 평행하다.

삼각형 $ \rm GDB $와 삼각형 $ \rm DEG $는 모두 정삼각형이고 두 삼각형이 만나서 생기는 선분은 $ \rm \overline {DG} $이다. 선분 $ \rm DG $의 중점을 $ \rm M ' $이라 하고 $ \theta = \rm \angle BM ' E $라 하면 $ \rm \overline {BM ' } = \overline {EM ' } =2 \sqrt {6} $, $ \rm \overline {BE} =4 \sqrt {2} $이므로 삼각형 $ \rm BM ' E $에서 코사인법칙에 의하여

$$ \cos \theta  =\cos ( \rm \angle BM ' E)= \frac {24+24-32} {2·2 \sqrt {6} \cdot 2 \sqrt {6} } = \frac {1} {3} $$

삼각형 $ \rm MPQ $의 넓이 $ S $는 $ S= \frac {2 \sqrt {2} \times \sqrt {6} } {2} =2 \sqrt {3} $이므로

삼각형 $ \rm MPQ $의 평면 $ \rm {DEG} $ 위로의 정사영의 넓이는

$$ S\cos \theta =2 \sqrt {3} \times \frac {1} {3} = \frac {2 \sqrt {3} } {3} $$

$$ a=3  ,~   b=2 $$

따라서 $ a ^ {2} +b ^ {2} =13 $