2020학년도 경북대 모의 AAT (의학계열)

https://tv.kakao.com/v/403948173

【1】 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 두 함수 $f ( x),~g ( x)$가 닫힌 구간에서 연속일 때,

(1) $\int _ {a} ^ {b} {kf ( x)dx} =k \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx}$ (단, $k$는 상수)

(2) $\int _ {a} ^ {b} {\left\{ f ( x)\pm g ( x) \right\} dx} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} \pm \int _ {a} ^ {b} {g ( x)dx}$

(3) $\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} =- \int _ {b} ^ {a} {f ( x)dx}$

(4) 실수 $c$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에 포함될 때,

$$\int _ {a} ^ {c} {f ( x)dx} + \int _ {c} ^ {b} {f ( x)dx} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx}$$

 

(나)

(1) $1+2+3+ \cdots +n= \sum\limits _ {k=1} ^ {n} k= \frac {n ( n+1)} {2}$

(2) $1 ^ {2} +2 ^ {2} +3 ^ {2} + \cdots +n ^ {2} = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} k ^ {2} = \frac {n ( n+1) ( 2n+1)} {6}$

 

(다) 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속인 함수 $f ( x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x=g ( t)$의 도함수 $g ' ( t)$가 닫힌 구간 $[ \alpha ,~ \beta ]$에서 연속이고 $a=g ( \alpha ),~b=g ( \beta )$이면

$$\int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} = \int _ {\alpha } ^ {\beta } {f ( g ( t))g ' ( t)dt}$$

 

(라) 함수 $f ( x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속일 때,

$$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} f ( x _ {k} ) \Delta x} = \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx}$$

이다. (단, $\Delta x= \frac {b-a} {n}$, $x _ {k} =a+k \Delta x$)

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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함수 $f ( x)= \left | \pi \sin ( \pi x) \right |$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

 

【1-1】 함수 $f ( x)$는 모든 실수 $x$에 대하여

$$f ( x)=f ( x+k)$$

임을 증명하시오. (20점)

 

 

【1-2】 $\sum\limits _ {j=0} ^ {9} \int _ {0} ^ {2j+1} {2xf ( x)dx}$의 값을 구하시오. (30점)

 

 

【1-3】음이 아닌 모든 정수 $k$에 대하여

$$\int _ {k ^ {2} } ^ {\left ( k+1 \right ) ^ {2} } {2xf ( x)dx} =a+bk+ck ^ {2} +dk ^ {3}$$

을 만족시키는 상수 $a,~b,~c,~d$의 값을 각각 구하시오. (30점)

 

 

【1-4】일반항이 $$a _ {n} = \frac {1} {n ^ {4} } \int _ {0} ^ {n ^ {2} } {2xf ( x)dx}$$ 인 수열 $\left\{ a _ {n} \right\}$의 극한값을 구하시오. (40점)

 

 

 

【2】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 반지름의 길이가 $r$이고 중심이 $\left ( a,~b \right )$인 원의 방정식은

$$\left ( x-a \right ) ^ {2} + \left ( y-b \right ) ^ {2} =r ^ {2}$$

이다.

 

(나)

(1) 부등식 $x ^ {2} +y ^ {2} <r ^ {2}$의 영역은 원 $x ^ {2} +y ^ {2} =r ^ {2}$의 내부이다.

(2) 부등식 $x ^ {2} +y ^ {2} >r ^ {2}$의 영역은 원 $x ^ {2} +y ^ {2} =r ^ {2}$의 외부이다.

 

(다) 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm P$의 시각 $t$에서의 위치 $\left ( x,~y \right )$가 $x=f ( t),~y=g ( t)$로 주어질 때, $t=a$에서 $t=b$까지의 점 $\mathrm P$의 이동거리 $s$는

$$s= \int _ {a} ^ {b} {\sqrt {\left ( \frac {dx} {dt} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {dy} {dt} \right ) ^ {2} } dt}$$

이다.

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

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좌표평면에서 중심이 원점 $\mathrm O$이고 반지름의 길이가 $4$인 원을 $C$라 하자. 두 점 $\mathrm Q _ {1} \left ( 2,~0 \right )$, $\mathrm Q _ {2} \left ( 8,~0 \right )$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

 

【2-1】다음 조건을 만족시키는 점 $\mathrm A$가 나타내는 부분을 영역 $F _ {1}$이라 하자.

조건

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중심이 $\mathrm A$인 원이 점 $\mathrm Q _ {1}$을 내부에 포함하고 원 $C$의 내부에 있다.

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영역 $F _ {1}$의 경계선 위에 있는 점 $x$ 좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점을 모두 구하시오. (50점)

 

 

【2-2】다음 조건을 만족시키는 점 $\mathrm B$가 나타내는 부분을 영역 $F _ {2}$이라 하자.

조건

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중심이 $\mathrm B$인 원이 점 $\mathrm Q _ {2}$을 내부에 포함하고 원 $C$의 외부에 있다.

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원점을 지나면서 기울기가 $0$이상이고 $\frac {\sqrt {3} } {3}$이하인 임의의 직선이 영역 $F _ {2}$의 경계선과 만나는 점을 $\mathrm P _ {2}$라 하자. 선분 $\overline {\mathrm{OP} _ {2} }$와 문제【2-1】에서 정의한 영역 $F _ {1}$의 경계선이 만나는 점을 $\rm P _ {1}$이라 할 때,

$$\overline {\mathrm{Q _ {1} P _ {1}} } ~:~ \overline {\mathrm{Q _ {2} P _ {2}} } = \overline {\mathrm{P _ {1} P}} ~:~ \overline {\mathrm{PP _ {2} }}$$

를 만족하는 선분 $\overline {\mathrm{P _ {1} P _ {2} }}$ 위의 점 $\mathrm P$가 그리는 곡선의 길이를 구하시오. (60점)

 

 

 

【3】다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

 

(가) 함수 $f ( x)$의 도함수 $f ' ( x)$가 미분가능할 때 $f ' ( x)$의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\frac {d} {dx} f ' ( x)= \lim\limits _ {\Delta x \rightarrow 0} { \frac {f ' ( x+ \Delta x)-f ' ( x)} {\Delta x} }$$

이를 함수 $f ( x)$의 이계도함수라 하고 이것을 기호 $f '' ( x)$와 같이 나타낸다.

 

(나) 최고차항의 계수가 $1$인 이차다항식 $p ( x)$의 근이 $\alpha ,~ \beta$일 때,

$$p ( x)= \left ( x- \alpha \right ) \left ( x- \beta \right )$$

이다.

 

(다) 함수 $f ( x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속이고 열린구간 $\left ( a,~b \right )$에서 미분가능할 때, $f ( a)=f ( b)$이면

$$f ' ( c)=0$$

인 $c$가 열린구간 $\left ( a,~b \right )$에 적어도 하나 존재한다.

 

(라) 함수 $f ( x)$가 $x=a$에서 미분가능하면 함수 $f ( x)$는 $x=a$에서 연속이다.

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

 

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 $f ( x)$, $h ( x)$와 세 실수 $a,~b,~c$ ($a<b<c$)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

 

【3-1】(1) 세 점 $\left ( a,~f ( a) \right ) ,~ \left ( b,~0 \right ) ,~ \left ( c,~0 \right )$은 이차함수 $y=q _ {1} ( x)$의 그래프 위의 점일 때,

$$q _ {1} ( x)= \frac {f ( a) ( x-b) ( x-c)} {\left ( a+ \boxed {1} b \right ) \left ( \boxed {2} a+ \boxed {3} c \right )}$$

이다. $\boxed{1}$, $\boxed{2}$, $\boxed{3}$에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

 

 

(2) 세 점 $\left ( a,~0 \right ) ,~ \left ( b,~f ( b) \right ) ,~ \left ( c,~0 \right )$은 이차함수 $y=q _ {2} ( x)$의 그래프 위의 점일 때,

$$q _ {2} ( x)= \frac {f ( b) ( x-c) ( x-a)} {\left ( a+ \boxed {4} b \right ) \left ( \boxed {5} b+ \boxed {6} c \right )}$$

이다. $\boxed{4}$, $\boxed{5}$, $\boxed{6}$에 알맞은 값을 각각 구하시오. (15점)

 

 

【3-2】함수 $h ( x)$가 $h ( a)=h ( b)=h ( c)$를 만족시킬 때,

$$h '' ( d)=0$$

인 실수 $d$가 열린구간 $( a,~c)$에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (40점)

 

 

【3-3】등식

$$\frac {\left ( \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b} \right ) - \left ( \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a} \right )} {c-a} = \frac {f '' ( d)} {2}$$

를 만족시키는 실수 $d$가 열린구간 $( a,~c)$에 적어도 하나 존재함을 증명하시오. (50점)