2010학년도 고려대 수리논술(2009년 11월 21일)

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(가)

그림 1과 같이 곡선 $ y=x ^ {2} +1 $위에 두 점 $\mathrm P _ {1} ( a _ {1} ,~a _ {1} ^ {2} +1) $과 $\mathrm P _ {2} ( a _ {2} ,~a _ {2} ^ {2} +1) $가 있다. (단 $ a _ {1} <0<a _ {2} $ 이고 $ a _ {1} +a _ {2} \neq 0 $ 이다.) 점 $\mathrm P _ {1} $에서의 접선과 점 $\mathrm P _ {2} $에서의 접선 그리고 곡선에 의해 둘러싸인 부분을 $ S $라 하자. 점 $\mathrm P _ {1} $에서의 접선과 $ x $축과의 교점을 $\mathrm Q _ {1} $, 점 $\mathrm P _ {1} $에서 $ x $축에 내린 수선의 발을 $\mathrm R _ {1} $, 그리고 각 $ \angle \mathrm Q _ {1} \mathrm P _ {1}\mathrm R _ {1} $의 이등분선이 $ x $축과 만나는 교점을 $\mathrm T _ {1} $이라 하자.

또한 두 점 $\mathrm P _ {1} $과 $\mathrm P _ {2} $로부터 시작해서 곡선 위의 점 $\mathrm P _ {n+2} $$ ( n \geq 1) $를 그 점에서의 접선이 직선 $\mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1} $과 평행이 되도록 계속 반복해서 택하여 나간다고 하자. 그림 2는 이렇게 얻어지는 세 점 $\mathrm P _ {n} ,~\mathrm P _ {n+1} ,\mathrm P _ {n+2} $를 표시한 것이다. 이 세 점으로 만들어진 삼각형 $ \triangle\mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1}\mathrm P _ {n+2} $의 넓이를 $ A _ {n} $이라 하고 선분 $ \overline {\mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1} } $과 선분 $ \overline {\mathrm P _ {n+1} \mathrm P _ {n+2} } $가 이루는 각을 $ \theta _ {n} $이라 하자.

그림1

그림2

논제 1.

(a) 그림 1의 $ S $의 넓이를 $ a _ {2} -a _ {1} $의 식으로 나타내시오.

(b) 벡터를 활용하여 $ \mathrm T _ {1} $의 $ x $좌표를 구하시오.

(c) 삼각형 $ \triangle \mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1}\mathrm P _ {n+2} $의 넓이 $ A _ {n} $을 $ a _ {2} -a _ {1} $의 식으로 나타내시오.

(d) 점 $ \mathrm P _ {1} ,\mathrm P _ {2} , \cdots ,\mathrm P _ {n} , \cdots $들이 수렴하는 점을 $\mathrm P ( a,~a ^ {2} +1) $라 하자. 이때 극한값 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left . \left | \frac {\tan \theta _ {n} } {a _ {n+1} -a _ {n} } \right . \right |} $을 $ a $의 식으로 나타내시오.