2010학년도 고려대 수리논술(2009년 11월 21일)

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(가)

그림 1과 같이 곡선 $y=x ^ {2} +1$위에 두 점 $\mathrm P _ {1} ( a _ {1} ,~a _ {1} ^ {2} +1)$과 $\mathrm P _ {2} ( a _ {2} ,~a _ {2} ^ {2} +1)$가 있다. (단 $a _ {1} <0<a _ {2}$ 이고 $a _ {1} +a _ {2} \neq 0$ 이다.) 점 $\mathrm P _ {1}$에서의 접선과 점 $\mathrm P _ {2}$에서의 접선 그리고 곡선에 의해 둘러싸인 부분을 $S$라 하자. 점 $\mathrm P _ {1}$에서의 접선과 $x$축과의 교점을 $\mathrm Q _ {1}$, 점 $\mathrm P _ {1}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm R _ {1}$, 그리고 각 $\angle \mathrm Q _ {1} \mathrm P _ {1}\mathrm R _ {1}$의 이등분선이 $x$축과 만나는 교점을 $\mathrm T _ {1}$이라 하자.

또한 두 점 $\mathrm P _ {1}$과 $\mathrm P _ {2}$로부터 시작해서 곡선 위의 점 $\mathrm P _ {n+2}$$( n \geq 1)$를 그 점에서의 접선이 직선 $\mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1}$과 평행이 되도록 계속 반복해서 택하여 나간다고 하자. 그림 2는 이렇게 얻어지는 세 점 $\mathrm P _ {n} ,~\mathrm P _ {n+1} ,\mathrm P _ {n+2}$를 표시한 것이다. 이 세 점으로 만들어진 삼각형 $\triangle\mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1}\mathrm P _ {n+2}$의 넓이를 $A _ {n}$이라 하고 선분 $\overline {\mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1} }$과 선분 $\overline {\mathrm P _ {n+1} \mathrm P _ {n+2} }$가 이루는 각을 $\theta _ {n}$이라 하자.

그림1

그림2

논제 1.

(a) 그림 1의 $S$의 넓이를 $a _ {2} -a _ {1}$의 식으로 나타내시오.

(b) 벡터를 활용하여 $\mathrm T _ {1}$의 $x$좌표를 구하시오.

(c) 삼각형 $\triangle \mathrm P _ {n}\mathrm P _ {n+1}\mathrm P _ {n+2}$의 넓이 $A _ {n}$을 $a _ {2} -a _ {1}$의 식으로 나타내시오.

(d) 점 $\mathrm P _ {1} ,\mathrm P _ {2} , \cdots ,\mathrm P _ {n} , \cdots$들이 수렴하는 점을 $\mathrm P ( a,~a ^ {2} +1)$라 하자. 이때 극한값 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left . \left | \frac {\tan \theta _ {n} } {a _ {n+1} -a _ {n} } \right . \right |}$을 $a$의 식으로 나타내시오.