[연세대 특기자전형] 2016학년도 연세대 특기자전형 (과학공학인재계열)

[문제1]

다음에 설명하는 규칙에 따라 주어진 박스 모양의 빈 칸에 숫자를 채우려고 한다.

규칙1 : 각 층에서 왼쪽에 있는 숫자는 오른쪽에 있는 숫자보다 작다.

규칙2 : 각 열에서 위에 있는 숫자는 아래에 있는 숫자보다 작다.

 

[1-1] 다음의 $3 \times 3$ 모양의 박스에 $1$부터 $9$까지의 숫자를 채우려고 할 때, 숫자 $5$가 들어갈 수 잇는 칸을 모두 찾으시오.

 

[1-2] 다음과 같은 $9 \times 9$ 모양의 박스에 $1$부터 $81$까지의 숫자를 채우려고 한다. 아래에 $\times$로 표시된 $7$행 $6$열의 칸에 들어갈 수 있는 숫자의 최솟값과 최댓값을 구하시오.

[1-3] 자연수 $n$에 대하여 $\left ( 2n+1 \right ) \times \left ( 2n+1 \right )$ 모양의 박스에 숫자를 $1$부터 $\left ( 2n+1 \right ) ^ {2}$까지 채우려고 한다. 이 때, 숫자 $2n ^ {2} +2n+1$이 들어갈 수 있는 칸의 개수를 세는 방법을 설명하시오.

 

[문제 2]

영희네 학교 전교생이 선물상자 돌리기 게임을 하고자 한다. 먼저 전교생을 팀당 인원수가 $N$명 ($N$은 자연수)으로 동일하게 구성된 $100$개의 팀으로 나누고 각 팀의 학생들은 $1$번부터 $N$번까지 번호를 부여 받는다. 처음에 $1$번 팀에 있는 영희가 정$\left ( N+1 \right )$면체 모양의 주사위를 던져 $1$부터 $N$ 중의 한 숫자가 나오면 $2$번 팀의 학생 중 선택된 번호에 해당하는 한 사람에게 전해주고, 숫자 $N+1$이 나오면 $100$번 팀의 한 학생에게 전달한다.

만약 $2$번 팀의 한 친구가 영희에게서 선물상자를 전달받으면 그 친구는 다시 정$\left ( N+1 \right )$면체 모양의 주사위를 던져 게임을 이어간다. 마찬가지로, 주사위를 던져 숫자 $1$부터 $N$ 중 한 숫자가 나오면 $3$번 팀의 해당 번호를 가지고 있는 학생에게 전달하고, $N+1$이 나오면 $1$번 팀의 한 학생에게 전달한다. 선물상자가 $100$번 팀에 전달되며, 같은 규칙에 따라 $100$번 팀은 $1$번 팀, 혹은 $99$번 팀에게 선물상자를 전달한다. 게임은 이렇게 계속 반복된다.

 

[실험] $50$번 팀이 선물상자를 가진 채 게임을 시작하고, 주사위를 $k$번 던지면 게임을 종료한다. 이 실험 조건은 아래 문제 [2-1], [2-2]에 적용된다.

 

[2-1] $k=40$일 때, 선물상자가 $50$번 팀에 있을 확률은 얼마인가?

 

[2-2] $k=40$인 실험을 수백 번 반복하여 선물상자를 가지고 있는 팀 번호를 매번 기록하였을 때, 그 값들의 기댓값은 얼마인가? $N=4$라고 가정한다.

 

[2-3] 위의 그림에서 $1$번 팀과 $100$번 팀의 연결이 단절된다고 가정할 때 상기 문제의 해석을 바탕으로 자연 현상, 과학 현상, 또는 사회 현상을 설명할 수 있는 예를 드시오.

 

 

 

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정답 및 풀이

[1-1]