[인하대수리논술] 2019학년도 인하대 수리논술 오후

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) $ 0<x<1 $일 때 $ 0<\sin x<x $이므로

$$ \cos x= \sqrt {1-\sin ^ {2} x} > \sqrt {1-x ^ {2} } $$

이다.

(나) (사이값 정리) 함수 $ f ( x) $가 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속이고

$$ f ( a)<0<f ( b) $$

이면 $ f ( c)=0 $인 $ c $가 $ a $와 $ b $사이에 존재한다.

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※ 자연수 $ n $에 대하여 함수 $ y= \frac {1} {x+n} $의 그래프와 함수 $ y=\sin x $ $ \left ( 0 \leq x \leq \frac {\pi } {2} \right ) $의 그래프의 교점의 $ x $좌표를 $ a _ {n} $이라고 하자.

 

(1-1) 구간 $ ( 0,~1) $에서 함수 $$ g ( x)=\sin x- \frac {x} {1+x ^ {2} } $$

가 증가함을 보이시오. (10점)

 

(1-2) 모든 자연수 $ n $에 대하여 부등식

$$ \frac {1} {n+ \sqrt {n} } <a _ {n} < \frac {1} {n} $$

이 성립함을 보이시오. (10점)

 

(1-3) 극한값 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {n ^ {2} \int _ {0} ^ {a _ {n} } {\sin xdx} } $를 구하시오. (10점)

 

 

 

[문제 2] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 실수 $ a,~b,~c $에 대하여 $ b \leq c $이면 $ a+b \leq a+c $이다.

 

(나) $ a>0,~b>0 $일 때,

$$ a>b ~ \Leftrightarrow ~ a ^ {2} >b ^ {2} $$

이다.

 

(다) 임의의 자연수 $ n $에 대하여 부등식

$$ k ^ {2} \leq n< \left ( k+1 \right ) ^ {2} $$

을 만족하는 자연수 $ k $가 유일하게 존재한다.

 

※ 자연수 $ n $에 대하여 $ k $를 $ k ^ {2} \leq n< \left ( k+1 \right ) ^ {2} $을 만족하는 자연수라 하고, $ r=n-k ^ {2} $이라 하자.

 

(2-1) 부등식

$$ \sqrt {n} \leq k+ \frac {r} {2k} \leq \sqrt {n+1} $$

이 성립함을 보이시오. (10점)

 

 

(2-2) 부등식

$$ \sqrt {n} \leq k+ \frac {r+1} {2 ( k+1)} \leq \sqrt {n+1} $$

이 성립함을 보이시오. (10점)

 

(2-3) 임의의 자연수 $ n $에 대하여 다음 부등식을 만족하는 자연수 $ p,~q $가 존재함을 보이시오.(10점)

$$ \sqrt {n} \leq \frac {p} {q} \leq \sqrt {n+1} $$ (단, $ q \leq \sqrt {n} +1 $)

 

 

 

[문제 3] (40점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 함수 $ f ( x) $가 $ x=a $에서 연속이고, 두 극한값 $$ \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } ,~~ \lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } $$이 존재하고 두 값이 같은 경우 $ f ( x) $는 $ x=a $에서 미분가능하다. 그렇지 않은 경우 $ f ( x) $는 $ x=a $에서 미분가능하지 않다.

예를 들어, $ f ( x)=|x| $는 $ x>0 $일 때 $ f ( x)=x $이고 $ x<0 $일 때 $ f ( x)=-x $이다. 이때, $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} { \frac {f ( x)-f ( 0)} {x-0} =1} $$이고 $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { \frac {f ( x)-f ( 0)} {x-0} =-1} $$이므로, $ f ( x) $는 $ x=0 $에서 미분가능하지 않다.

 

(나) 좌표공간에서 중심이 $ \mathrm C ( a,~b,~c) $이고 반지름의 길이가 $ r $인 구의 방정식은

$$ \left ( x-a \right ) ^ {2} + \left ( y-b \right ) ^ {2} + \left ( z-c \right ) ^ {2} =r ^ {2} $$

이다. 구의 중심이 아닌 점 $ \mathrm P $에 대하여, 구 위의 점 중에서 $ \mathrm P $와의 거리가 가장 가까운 것과 가장 먼 것은 모두 직선 $ \mathrm {PC} $ 위에 있다.

 

(다) (삼수선의 정리) 평면 $ \alpha $ 위에 있지 않은 한 점 $ \mathrm P $, 평면 $ \alpha $ 위의 점 $ \mathrm Q $를 지나지 않는 $ \alpha $ 위의 한 직선 $ l $, 직선 $ l $ 위의 한 점 $ \mathrm H $에 대하여, 직선 $ \mathrm {PQ} $가 $ \alpha $와 수직이고 직선 $ \mathrm {QH} $가 $ l $과 수직이면 직선 $ \mathrm {PH} $는 $ l $과 수직이다.

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※ 좌표공간에서 $ k $가 실수일 때, 각각의 실수 $ t $에 대하여 점 $ \left ( t,~kt,~0 \right ) $과 집합

$$ \left\{ \left ( x,~y,~z \right ) \left | x ^ {2} + \left ( y-2 \right ) ^ {2} + \left ( z-5 \right ) ^ {2} \leq 1 \right\} \cup \left\{ \left ( x,~y,~z \right ) \left | ( x-3) ^ {2} + \left ( y-1 \right ) ^ {2} + \left ( z-1 \right ) ^ {2} \leq 1 \right\} \right . \right . $$

에 속하는 점과의 거리 중에서 가장 작은 값을 $ f ( t) $, 가장 큰 값을 $ g ( t) $라 하자.

 

(3-1) $ k=0 $일 때, 함수 $ f ( t) $가 미분가능하지 않은 $ t $의 값을 찾고 그 이유를 설명하시오.(10점)

 

(3-2) 점 $ \mathrm A ( a,~b,~c) $에서 직선

$$ l~:~y=kx,~z=0 $$

에 내린 수선의 발을 $ \mathrm H $라 할 때, 선분 $ \mathrm {AH} $의 길이를 $ a,~b,~c,~k $의 식으로 나타내시오. (10점)

 

 

(3-3) $ k=1 $일 때, 함수 $ h ( t)=f ( t)+g ( t) $의 최솟값을 구하시오. (10점)

 

 

(3-4) 함수 $ h ( t)=f ( t)+g ( t) $의 최솟값이 가장 작게 되도록 하는 $ k $의 값을 구하시오. (10점)