[인하대수리논술] 2019학년도 인하대 수리논술 오후

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) $0<x<1$일 때 $0<\sin x<x$이므로

$$\cos x= \sqrt {1-\sin ^ {2} x} > \sqrt {1-x ^ {2} }$$

이다.

(나) (사이값 정리) 함수 $f ( x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속이고

$$f ( a)<0<f ( b)$$

이면 $f ( c)=0$인 $c$가 $a$와 $b$사이에 존재한다.

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※ 자연수 $n$에 대하여 함수 $y= \frac {1} {x+n}$의 그래프와 함수 $y=\sin x$ $\left ( 0 \leq x \leq \frac {\pi } {2} \right )$의 그래프의 교점의 $x$좌표를 $a _ {n}$이라고 하자.

 

(1-1) 구간 $( 0,~1)$에서 함수 $$g ( x)=\sin x- \frac {x} {1+x ^ {2} }$$

가 증가함을 보이시오. (10점)

 

(1-2) 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식

$$\frac {1} {n+ \sqrt {n} } <a _ {n} < \frac {1} {n}$$

이 성립함을 보이시오. (10점)

 

(1-3) 극한값 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {n ^ {2} \int _ {0} ^ {a _ {n} } {\sin xdx} }$를 구하시오. (10점)

 

 

 

[문제 2] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 실수 $a,~b,~c$에 대하여 $b \leq c$이면 $a+b \leq a+c$이다.

 

(나) $a>0,~b>0$일 때,

$$a>b ~ \Leftrightarrow ~ a ^ {2} >b ^ {2}$$

이다.

 

(다) 임의의 자연수 $n$에 대하여 부등식

$$k ^ {2} \leq n< \left ( k+1 \right ) ^ {2}$$

을 만족하는 자연수 $k$가 유일하게 존재한다.

 

※ 자연수 $n$에 대하여 $k$를 $k ^ {2} \leq n< \left ( k+1 \right ) ^ {2}$을 만족하는 자연수라 하고, $r=n-k ^ {2}$이라 하자.

 

(2-1) 부등식

$$\sqrt {n} \leq k+ \frac {r} {2k} \leq \sqrt {n+1}$$

이 성립함을 보이시오. (10점)

 

 

(2-2) 부등식

$$\sqrt {n} \leq k+ \frac {r+1} {2 ( k+1)} \leq \sqrt {n+1}$$

이 성립함을 보이시오. (10점)

 

(2-3) 임의의 자연수 $n$에 대하여 다음 부등식을 만족하는 자연수 $p,~q$가 존재함을 보이시오.(10점)

$$\sqrt {n} \leq \frac {p} {q} \leq \sqrt {n+1}$$ (단, $q \leq \sqrt {n} +1$)

 

 

 

[문제 3] (40점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

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(가) 함수 $f ( x)$가 $x=a$에서 연속이고, 두 극한값 $$\lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } ,~~ \lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} }$$ 이 존재하고 두 값이 같은 경우 $f ( x)$는 $x=a$에서 미분가능하다. 그렇지 않은 경우 $f ( x)$는 $x=a$에서 미분가능하지 않다.

예를 들어, $f ( x)=|x|$는 $x>0$일 때 $f ( x)=x$이고 $x<0$일 때 $f ( x)=-x$이다. 이때, $$\lim\limits _ {x \rightarrow 0+} { \frac {f ( x)-f ( 0)} {x-0} =1}$$ 이고 $$\lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { \frac {f ( x)-f ( 0)} {x-0} =-1}$$ 이므로, $f ( x)$는 $x=0$에서 미분가능하지 않다.

 

(나) 좌표공간에서 중심이 $\mathrm C ( a,~b,~c)$이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 방정식은

$$\left ( x-a \right ) ^ {2} + \left ( y-b \right ) ^ {2} + \left ( z-c \right ) ^ {2} =r ^ {2}$$

이다. 구의 중심이 아닌 점 $\mathrm P$에 대하여, 구 위의 점 중에서 $\mathrm P$와의 거리가 가장 가까운 것과 가장 먼 것은 모두 직선 $\mathrm {PC}$ 위에 있다.

 

(다) (삼수선의 정리) 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 한 점 $\mathrm P$, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\mathrm Q$를 지나지 않는 $\alpha$ 위의 한 직선 $l$, 직선 $l$ 위의 한 점 $\mathrm H$에 대하여, 직선 $\mathrm {PQ}$가 $\alpha$와 수직이고 직선 $\mathrm {QH}$가 $l$과 수직이면 직선 $\mathrm {PH}$는 $l$과 수직이다.

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※ 좌표공간에서 $k$가 실수일 때, 각각의 실수 $t$에 대하여 점 $\left ( t,~kt,~0 \right )$과 집합

$$\left\{ \left ( x,~y,~z \right ) \left | x ^ {2} + \left ( y-2 \right ) ^ {2} + \left ( z-5 \right ) ^ {2} \leq 1 \right\} \cup \left\{ \left ( x,~y,~z \right ) \left | ( x-3) ^ {2} + \left ( y-1 \right ) ^ {2} + \left ( z-1 \right ) ^ {2} \leq 1 \right\} \right . \right .$$

에 속하는 점과의 거리 중에서 가장 작은 값을 $f ( t)$, 가장 큰 값을 $g ( t)$라 하자.

 

(3-1) $k=0$일 때, 함수 $f ( t)$가 미분가능하지 않은 $t$의 값을 찾고 그 이유를 설명하시오.(10점)

 

(3-2) 점 $\mathrm A ( a,~b,~c)$에서 직선

$$l~:~y=kx,~z=0$$

에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 할 때, 선분 $\mathrm {AH}$의 길이를 $a,~b,~c,~k$의 식으로 나타내시오. (10점)

 

 

(3-3) $k=1$일 때, 함수 $h ( t)=f ( t)+g ( t)$의 최솟값을 구하시오. (10점)

 

 

(3-4) 함수 $h ( t)=f ( t)+g ( t)$의 최솟값이 가장 작게 되도록 하는 $k$의 값을 구하시오. (10점)