[더플러스수학] 2020학년도 카이스트 면접문제-일반전형, 학교장추천

카이스트 2020학년도-수시-입학전형-기출문제수학.pdf

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2020학년도 카이스트 심층면접-일반전형

 

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[문제1] 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 두 함수 $\displaystyle f ( x)=\sin ^ {3} ( nx) $와 $\displaystyle g ( x)=\cos ^ {3} ( nx) $를 생각하자. (5점)

(1) 구간 $\displaystyle [0,~2 \pi ] $에서 두 평면 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $와 $\displaystyle y=g ( x) $가 만나는 교점의 $\displaystyle x $좌표의 최솟값 $\displaystyle a $와 최댓값 $\displaystyle b $를 구하시오. [$\displaystyle 1 $점]

 

(2) 구간 $\displaystyle [a,~b] $에서 두 평면 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $와 $\displaystyle y=g ( x) $로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S _ {n} $이라 할 때, 극한값 $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {S _ {n} } $을 구하시오. ($\displaystyle 4 $점)

 

 

 

[문제2] $\displaystyle 3 $차원 공간상에 원점 $\displaystyle \mathrm { O} ( 0,~0,~0) $가 중심이고 반지름이 $\displaystyle R $인 구 $\displaystyle S $와 두 점 $\displaystyle \mathrm { P} ( 1,~0,~-1) $, $\displaystyle \mathrm { Q} ( 0,~1,~1) $를 지나는 직선 $\displaystyle l $을 생각하자. 구 $\displaystyle S $의 반지름 $\displaystyle R $을 구간 $\displaystyle 0 \leq R \leq 1 $에서 균일하게 분포되어 있는 확률변수로 생각하자. (즉, $\displaystyle R $의 확률밀도함수는 $\displaystyle 0 $과 $\displaystyle 1 $사이에서 $\displaystyle 1 $로 주어진다. ) (총$\displaystyle 5 $점)

(1) 직선 $\displaystyle l $을 포함하고 구 $\displaystyle S $에 접하는 평면이 $\displaystyle 2 $개 존재할 확률을 구하시오. (2점)

(2) 직선 $\displaystyle l $을 포함하고 구 $\displaystyle S $에 접하는 두 접평면에서의 접점을 각각 $\displaystyle A $와 $\displaystyle B $라고 하자. 이렇게 $\displaystyle 2 $개의 접평면이 존재할 때, $\displaystyle \overrightarrow {OA} $와 $\displaystyle \overrightarrow {OB} $의 내적이 $\displaystyle 0 $보다 클 확률을 구하시오. (3점)

 

 

 

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2020학년도 카이스트 심층면접-학교장 추전, 고른기회전형

 

[문제3] 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle 0 $보다 크거나 같은 값을 갖는 확률변수 $\displaystyle X _ {n} $의 확률밀도함수가

$$\displaystyle f _ {n} \left ( x \right ) =c _ {n} x ^ {n} e ^ {-x} ,~ x \geq 0 $$

으로 주어져다. ($\displaystyle e $는 자연로그의 밑, $\displaystyle c _ {n} $은 $\displaystyle n $에 따라 달라지는 양의 상수이다.)

단, 모든 $\displaystyle n $에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {x ^ {n} e ^ {-x} =0} $임이 알려져 있다. (총 $\displaystyle 5 $점)

(1) $\displaystyle n=2 $인 경우인 $\displaystyle f _ {2} ( x) $가 확률밀도함수가 되는 상수 $\displaystyle c _ {2} $의 값을 구하시오. ($\displaystyle 2 $점)

(2) 자연수 $\displaystyle n $과 고정된 양의 상수 $\displaystyle r>0 $에 대하여 확률 $\displaystyle \mathrm { P} ( a \leq X _ {n} \leq a+r) $가 최대가 되는 양의 상수 $\displaystyle a $를 $\displaystyle r $과 $\displaystyle n $을 사용하여 표현하고 최대인 근거를 설명하시오. (3점)

 

 

 

[문제4] $\displaystyle n $개의 실수 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} ,~ \cdots ,~x _ {n} $이 주어졌다. (총$\displaystyle 4 $점)

(1) $\displaystyle n $개의 양의 실수 $\displaystyle \omega _ {1} ,~ \cdots ,~ \omega _ {n} $에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _ {i=1} ^ {n} \omega _ {i} \times \left ( x _ {i} -a \right ) ^ {2} $이 최소가 되는 상수 $\displaystyle a $의 값을 구하시오.

 

(2) $\displaystyle x _ {1} \leq x _ {2} \leq \cdots \leq x _ {n-1} \leq x _ {n} $라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _ {i=1} ^ {n} |x _ {i} -b| $가 최소가 되는 상수 $\displaystyle b $의 값을 정하시오. (2점)