[옥동수학학원][수학의 기초] 삼차함수 적분 공식[팁][더플러스수학학원]

울산 옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원에서 삼차함수의 적분공식을 정리해보았습니다. 이 공식은 문제풀 때, 많이 이용하지는 않지만 혹시 삼차함수의 적분에서 계산 과정을 좀 줄일 수 있습니다.
 
https://youtu.be/1LcKkT19nw8(구독과 좋아요를)

공식
삼차함수 $\displaystyle f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ 에 대하여
$$\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)dx= \frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3 \left(\textcolor{blue}{ \gamma- \frac{\alpha+\beta}{2}}\right)$$
이다. 

이것을 증명하기 위해 다음을 먼저 보이자.
$$\int_{a}^{b} a(x-\alpha) \left(x- \frac{\alpha+\beta}{2} \right)(x-\beta)dx=0~~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$
(증명) $\displaystyle t=x-\frac{\alpha+\beta}{2}$로 치환하면 $\displaystyle dt=dx$, $\displaystyle x=\alpha$일 때, $\displaystyle t=- \frac{\beta-\alpha}{2}$이고, $\displaystyle x=\beta$일 때, $\displaystyle t= \frac{\beta-\alpha}{2}$이므로
(i)의 적분은
$$\begin{align} \int_{a}^{b} a(x-\alpha) \left(x- \frac{\alpha+\beta}{2} \right)(x-\beta)dx&=\int_{-\frac{\beta-\alpha}{2}}^{\frac{\beta-\alpha}{2}} a t \left(t- \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \left(t+ \frac{\beta-\alpha}{2}\right) dt =0\end{align}$$
왜냐하면 함수 $$a t \left(t- \frac{\beta-\alpha}{2} \right) \left(t+ \frac{\beta-\alpha}{2}\right) $$는 원점에 대칭인 함수이기 때문이다.
또, $$\int_{a}^{b} a(x-\alpha) (x-\beta)dx=- \frac{a} {6}(\beta-\alpha)^3 ~~\cdots\cdots~(\mathrm{ii})$$

따라서 (i)과 (ii)를 이용하면
$$\begin{align}\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)dx &=\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\frac{\alpha+\beta}{2} +\frac{\alpha+\beta}{2}- \gamma)dx\\&= a \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) \left( x-\frac{\alpha+\beta}{2} \right)dx \\&~~~~~~~~~~~-a\int_{\alpha}^{\beta} \left(\gamma-\frac{\alpha+\beta}{2} \right) (x-\alpha)(x-\beta) dx \\&=0+ \frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3 \left( \gamma- \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\\&= \frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3 \left( \gamma- \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\end{align}$$
 
이 공식을 이용하여
2019/12/14 - [분류 전체보기] - [수학의 기초] 3차함수의 적분공식-부분적분 활용2

[수학의 기초] 3차함수의 적분공식-부분적분 활용2

이 공식을 증명할 수 있다.

$\displaystyle f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^2$은 $\displaystyle f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$의 그래프에서 $\displaystyle \beta=\gamma$이므로 첫번째 공식의 $\displaystyle \gamma$ 대신 $\displaystyle \beta$를 넣으면 된다.
$$\begin{align} \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)^2 &= \frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3 \left(\textcolor{blue}{ \beta- \frac{\alpha+\beta}{2}}\right)\\&=\frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3 \left( \frac{\beta-\alpha}{2} \right)\\&= \frac{a}{12} (\beta-\alpha)^4\end{align}$$
 
이 공식을 적용하는 문제를 한 번 찾아보았다. 그렇게 많는 것은 아니다. 또, 이 공식을 적용하게끔 문제를 내기기 어렵다. 왜냐하면 이 공식을 적용하게 내면 계산과정이 너무 복잡해지기 때문이다. 혹시 모의고사에 적분하기 좀 어려운데 이 공식을 적용하면 쉬운 문제가 있으면 적용해 보자.
 
예제 $\displaystyle  0 \leq a \leq 2 $ 일 때, 곡선 $\displaystyle  y=x \left ( x-a \right ) \left ( x-2 \right ) $ 와 $\displaystyle x $축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 최소가 되는 $\displaystyle a $의 값을 구하여라. [$ 4.5 $점]
① $\displaystyle  1 $                          ② $\displaystyle  2 $                         ③ $\displaystyle 3 $
④ $\displaystyle 4 $                         ⑤ $\displaystyle 5 $
 
 
 
[정답] ①
[풀이] $\displaystyle y=x \left ( x-a \right ) \left ( x-2 \right ) $의  그래프는 아래 그림과 같으므로 색칠한 부분의 넓이를 $\displaystyle S \left ( a \right ) $라 하면

$\displaystyle \begin{align} S \left ( a \right ) &= \int _ {0} ^ {a} x \left ( x-a \right ) \left ( x-2 \right ) dx - \int _ {a} ^ {2} x \left ( x-a \right ) \left ( x-2 \right ) dx \\& = \left [ \frac {1} {4} x ^ {4} - \frac {a+2} {3} x ^ {3} +ax ^ {2} \right ]_0 ^ {a }  - \left [ \frac {1} {4} x ^ {4} - \frac {a+2} {3} x ^ {3} +ax ^ {2} \right ] _ {a} ^ {2} \\& =- \frac {1} {6} a ^ {4} + \frac {2} {3} a ^ {3} - \frac {4} {3} a+ \frac {4} {3} \end{align}$
이 과정을 위의 공식을 이용하여 구해보자. 아래에 보듯이 밑줄친 부분의 적분의 좀 쉬워진다.
$\displaystyle \begin{align} S \left ( a \right ) &= \underline{\int _ {\textcolor{blue}{0}} ^ {\textcolor{red}{a}} (x-\textcolor{blue}{0}) \left ( x-\textcolor{red}{a} \right ) \left ( x-\textcolor{green}{2} \right ) dx - \int _ {\textcolor{red}{a}} ^ {\textcolor{green}{2}} (x-\textcolor{blue}{0}) \left ( x-\textcolor{red}{a} \right ) \left ( x-\textcolor{green}{2} \right ) dx} \\& =\frac{1}{6}(\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{0})^3 \left(\textcolor{green}{2}-\frac{\textcolor{blue}{0}+\textcolor{red}{a}}{2} \right) -\frac{1}{6}(\textcolor{green}{2}-\textcolor{red}{a})^3 \left(\textcolor{blue}{0}-\frac{\textcolor{red}{a}+\textcolor{green}{2}}{2} \right) \\&=\frac{a^3 (4-a)}{12}+ \frac{(2-a)^3 (a+2)}{12} \\&=- \frac {1} {6} a ^ {4} + \frac {2} {3} a ^ {3} - \frac {4} {3} a+ \frac {4} {3} \end{align}$
$$\displaystyle \begin{align} S ' \left ( a \right ) &=- \frac {2} {3} a ^ {3} +2a ^ {2} - \frac {4} {3}  =- \frac {2} {3} \left ( a ^ {3} -3a ^ {2} +2 \right ) \\&=- \frac {2} {3} \left ( a-1 \right ) \left ( a ^ {2} -2a-2 \right ) \end{align}$$
$\displaystyle 0 \leq a \leq 2 $에서 $\displaystyle a ^ {2} -2a-2<0 $이므로 $\displaystyle S ' \left ( a \right ) =0 $의 해는 $\displaystyle a=1 $
증감을 조사하면 $\displaystyle a=1 $에서 $ \displaystyle S \left ( a \right ) $는 극소이면서 최소이다.
 
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