[수학의 기초] 이차곡선과 극선-1

 

원의 방정식에서 극선을 시작합니다. 예를 통해 원에서 극선을 정의할께요. 

원의 극선

원 $x^2+y^2=1$과 원 밖의 점 $\mathrm {P} (2,~3)$을 생각하자. 다음 그림처럼 점 $\mathrm P$에서 원에 접선을 그으면 접선이 두 개 나오는데 그 접점을 $\mathrm A ,~\mathrm B$라 할 때, 두 점 $\mathrm A ,~\mathrm B$를 지나는 직선 $l$을 점 $\mathrm P$의 극선(polar line)이라고 하고 점 $\mathrm P$를 극(점)-pole이라고 합니다. 

여기서 직선 $l$의 방정식이 마치 점 $\mathrm P$를 접점인 것처럼 원 $x^2+y^2=1$에 잘못 접선을 구한 직선이 극선 $l$이다. 즉 직선 $l$이

$$\textcolor{red}{2}x+\textcolor{red}{3}y=1$$

이다.  왜 이런일이 일어날까요?

https://youtu.be/4u-NQjVDEnY

YouTube

 

먼저 $x^2 +y^2 =r^2$ 위의 점 $(x_1 ,~y_1)$에서 그은 접선의 방정식은 $$\textcolor{red}{x_1}x+\textcolor{red}{y_1}y=r^2$$

임을 알고 있는 것으로 하자.

이제 시작합시다.

점 $\mathrm A $의 좌표를 $(a,~b)$, 점 $\mathrm B$의 좌표를 $(c,~d)$라 할 때,  점 $\mathrm A$에서 그은 접선의 방정식 $\mathrm{\overleftrightarrow{AP}}$는

$$\textcolor{blue}{a}x+\textcolor{blue}{b}y=1~~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$

또, 점 $\mathrm B $에서 그은 접선의 방정식 $\mathrm{\overleftrightarrow{BP}}$는

$$\textcolor{blue}{c}x+\textcolor{blue}{d}y=1~~\cdots\cdots~(\mathrm{ii})$$

(i), (ii)가 모두 $(2,~3)$을 지나므로 대입하면

$$\textcolor{blue}{a} \times \textcolor{red} {2}+\textcolor{blue}{b}\times\textcolor{red}{3}=1~~\cdots\cdots~(\mathrm{iii})$$

$$\textcolor{blue}{c}\times\textcolor{red} {2}+\textcolor{blue}{d}\times\textcolor{red}{3}=1~~\cdots\cdots~(\mathrm{iv})$$

여기서 주의 !  신경쓰자. (iii), (iv)을 다시 보자. 생각을 다르게 해보자. 다음 직선을 생각해보자. 

$$\textcolor{blue}{x}\times\textcolor{red} {2}+\textcolor{blue}{y}\times\textcolor{red}{3}=1~~\cdots\cdots~(\mathrm{v})$$

(v) 식에 $(a,~b),~(c,~d)$를 대입하면 (iii), (iv)가 성립하므로 식 (v)는 $(a,~b),~(c,~d)$를 지나고 일차식이므로 $\mathrm{A,~B}$를 지나는 직선이다. 따라서 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은

$$\textcolor{blue}{x}\times\textcolor{red} {2}+\textcolor{blue}{y}\times\textcolor{red}{3}=1$$

이다. 

위의 방법은 '기하'책의 2차곡선에 나오는 포물선, 타원, 쌍곡선에도 동일하게 적용하면 된다.

다르게 증명해보자. 이 방법은 원의 방정식의 성질을 이용하므로 원에만 적용되는 방법이다.

점 $\mathrm {A,~B}$가 접점이므로 $\mathrm{\angle CAP=\angle CBP}=90^{\circ}$이다. 또, $\mathrm{PC}=\sqrt{2^2 +3^2}=sqrt{13}$, 반지름이 $1$이므로

$$\mathrm{\overline{PA}}=\sqrt{13-1}=\sqrt {12}$$

위의 그림에서 보듯이 점 $\mathrm P (2,~3)$을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt {12}$인 원을 생각해 보자.

$$(x-2)^2 +(y-3)^2 =12$$

극선 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 두 원 $x^2+y^2=1,~(x-2)^2 +(y-3)^2 =12$의 공통현의 방정식이므로 

$$x^2+y^2-1+(-1)\left \{(x-2)^2 +(y-3)^2 -12\right\}=0$$

즉 $$\textcolor{blue}{x}\times\textcolor{red} {2}+\textcolor{blue}{y}\times\textcolor{red}{3}=1$$

이다. 

 

 

이제 일반화하자. 

극선의 방정식

점 $\mathrm P (x_1 ,~y_1 )$에서  원 $x^2+y^2=r^2$에 그은 극선 $l$의 방정식은

$$l~:~\textcolor{red}{x_1}x+\textcolor{red}{y_1}y=r^2$$

또, 점 $\mathrm P (x_1 ,~y_1 )$에서  원 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$에 그은 극선 $m$의 방정식은

$$m~:~\textcolor{red}{(x_1-a)}(x-a)+\textcolor{red}{(y_1-b)}(y-b)=r^2$$

 

 

Note! 위의 식의 증명은 먼저 점 $\mathrm P (x_1 ,~y_1 )$, 원 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 $x$축으로 $-a$, $y$축으로 $-b$만큼 평행이동하면

$$ \mathrm P (x_1 -a,~y_1-b ),~~~ ~x^2+y^2=r^2 $$

여기서 극선의 방정식을 구하면

$$\textcolor{red}{(x_1-a)}x +\textcolor{red}{(y_1-b)} y =r^2$$

이 직선을 $x$축으로 $a$, $y$축으로 $b$만큼 평행이동하자.

$$m~:~\textcolor{red}{(x_1-a)}(x-a)+\textcolor{red}{(y_1-b)}(y-b)=r^2$$

 

 

 

구체적으로 극선을 이용하는 문제를 찾아 풀어보자. (블랙라벨 수학(상) 원의 방정식 3rd step)

---

직선 $ l $은 반지름의 길이가 $ 1 $인 원의 중심에서 $ 2 $만큼 떨어져 있다. 직선 $ l $ 위의 임의의 한 점 $ \mathrm P $에서 이 원에 두 접선을 그을 때, 두 접점 $ \mathrm {A,~B} $를 지나는 직선은 점 $ \mathrm P $의 위치에 관계없이 한 점 $ \mathrm Q $를 지난다. 이때, 원의 중심과 점 $ \mathrm Q $ 사이의 거리를 구하시오.

---

 

 

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

답. $ \Large \frac {1} {2} $

중심이 $(0,~0)$이고, 반지름의 길이가 $1$인 원 $x^2 +y^2 =1$와 중심 $(0,~0)$에서 $2$ 떨어진 직선 $l$을 $x=2$라 생각하자. 

$l$ 위의 점 $\mathrm P$의 좌표 $(2,~a)$에서 원에 그은 두 접선의 접점 $\mathrm{A,~B}$에 대해 직선 $\mathrm{\overleftrightarrow{AB}}$는 위에서 고찰한 극선이다. 극선의 방정식을 구해보면

$$\mathrm{\overleftrightarrow{AB}}~:~\textcolor{red}{2}x+\textcolor{red}{a}y=1$$

이 직선이 $a$에 관계없이 지나는 점 $\mathrm Q$은 $\mathrm Q \large \left( \frac{1}{2},~0\right)$이므로 $(0,~0)$과 $\mathrm Q$ 사이의 거리는 $$\textcolor{red}{\frac{1}{2}}$$이다.

https://youtu.be/y5v3J0zGMlc

YouTube

 

다음편에서는 포물선, 타원, 쌍곡선으로 넘어가고, 기회가 되면 두 원에서 한 원의의 점에서 다른 원에 그은 극선의 자취방정식이 포물선, 타원, 쌍곡선이 됨을 지오지브라로 그려보고, 직접 수식으로 증명해보자.