[더플러스수학] 2014학년도 부산대 수리논술

[2014학년도 부산대 수리논술] ※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

피보나치 수열(Fibonacci sequence) $ \left\{ a _ {n} \right\} _ {n=1} ^ {\infty } $은 귀납적으로 $ a _ {1} =1,~a _ {2} =1,  ~ a _ {n+2} =a _ {n+1} +a _ {n} $   (모든 $ n \geq 1 $) 으로 정의된 수열이다. 이 수열의 항을 순서대로 적어보면 $1,~ 1, ~2, ~3, ~5,~ 8, ~13, ~21, ~34, ~55, ~89$, $ bold {\cdots } $ 이다. 이 때 극한 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } } $이 존재하고, 그 극한값 $ g= \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {a _ {n+1} } {a _ {n} } } $를 황금비(golden ratio)라고 한다.

1. 황금비 $ g $ 가 이차방정식 $ x ^ {2} -x-1=0 $ 의 근임을 보이고, $ g $의 값을 구하시오. (15점)

2. $ \beta $가 이차방정식 $ x ^ {2} -x-1=0 $ 의 근이면, 모든 $ n \geq 2 $ 에 대하여, $ \beta ^ {n} =a _ {n} \beta +a _ {n-1} $이 성립함을 증명하시오. (15점)

3. 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여, $ a _ {n} = \frac {1} {\sqrt {5} } \left\{ \left ( \frac {1+ \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} - \left ( \frac {1- \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} \right\} $이 성립함을 증명하시오. (15 점)

4. 모든 $ n \geq 1 $에 대하여, 실수 $ \frac {1} {\sqrt {5} } g ^ {n} $ 에 가장 가까운 자연수가 $ a _ {n} $ 임을 증명하시오. (15점)

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